Можно ли сокращать уравнение прямой

Уравнение прямой

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

где k — угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁) и N( x ₂, y ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂ и y ₁ ≠ y ₂, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x ₀ y = m t + y ₀

где N( x ₀, y ₀) — координаты точки лежащей на прямой, a = < l , m >— координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N( x ₀, y ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x — 1 2 — 1 = y — 7 3 — 7

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1 y = -4 t + 7

Решение. Так как M _y — N _y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁, z ₁) и N( x ₂, y ₂, z ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂, y ₁ ≠ y ₂ и z ₁ ≠ z ₂, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

	x = l t + x 0
	y = m t + y 0
	z = n t + z 0

где ( x ₀, y ₀, z ₀) — координаты точки лежащей на прямой, — координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M( x ₀, y ₀, z ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

Общее уравнение прямой на плоскости. Неполные уравнения прямой

Общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0. Этим уравнением можно задать любую прямую. Коэффициенты А, В, С при этом определяются не однозначно, а с точностью до пропорциональности.

Уравнение Ax + By + C = 0 называется неполным уравнением прямой на плоскости, если хотя бы один из его коэффициентов А, В, С равен нулю.

Если коэффициент B = 0, A ≠ 0 ≠ C , то из уравнения Ax + By + C = 0 следует x = — C / A = a. Это уравнение прямой, параллельной оси Оу, отсекающей от оси Ох отрезок величиной а.

Если коэффициент A = 0, B ≠ 0 ≠ C то из уравнения Ax + By + C = 0 следует y = — C / B = b. Это уравнение прямой, параллельной оси Ох, отсекающей от оси Оу отрезок величиной b.

Если C = 0, то уравнение Ax + By + C = 0 принимает вид Ax + By = 0. Ясно, что эта прямая проходит через начало координат.

Если в уравнении Ax + By = 0 коэффициент B ≠ 0 , то отсюда получаем y = — x. Обозначив через

k = — , получаем уравнение, которое носит название уравнения прямой с угловым коэффициентом

Если в уравнении Ax + By = 0 A ≠ B = 0, то Ax = 0 и, сокращая на А, получаем уравнение оси Оу: x = 0.

Если в уравнении Ax + By = 0 B ≠ A = 0, то By = 0 и, сокращая на В, получаем уравнение оси Ох: y = 0.

Подведем итог исследования общего уравнения прямой Ax + By + C = 0:

1) Если A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0 , то уравнение Ax + By + C = 0 может быть записано в виде уравнения прямой в отрезках: x /a + y / b = 1 – прямая, отсекающая от осей координат отрезки величиной а и b соответственно.

2) Если A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, то уравнение может быть записано в виде: y = b – прямая параллельная оси Ох и отсекающая от оси Оу отрезок величины b.

3) Если A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, то уравнение может быть записано в виде: x = a – прямая параллельная оси Оу и отсекающая от оси Ох отрезок величины а.

4) Если A = 0, B ≠ 0, C = 0, то уравнение прямой имеет вид: y = 0 – прямая совпадает с осью Ох.

5) Если A ≠ 0, B = 0, C = 0, то уравнение прямой имеет вид: x = 0 – прямая совпадает с осью Оу.

6) Если A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, то уравнение может быть записано в виде: y = k * x – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

17. Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой в «отрезках» (с выводом)

Общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0. Этим уравнением можно задать любую прямую. Коэффициенты А, В, С при этом определяются не однозначно, а с точностью до пропорциональности.

Уравнение прямой в отрезках: + = 1.Здесь знаменатели а и b – это координаты точек пересечения прямой с соответствующими координатными осями. С помощью такого уравнения невозможно задать прямую, проходящую через начало координат или параллельную одной из осей.

Пусть ни один из коэффициентов А, В, С общего уравнения прямой Ax + By + C = 0, не равен нулю. Перенесем свободный член С в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на (– С):

.

Обозначим . Тогда последнее уравнение можно записать в виде: : + = 1 – это уравнение прямой в отрезках

Для построения прямой достаточно взять две точки на этой прямой. Для построения прямой в отрезках удобно найти ее точки пересечения с координатными осями:

М(а, 0) – точка пересечения прямой : + = с осью Ох и

N(0, b) – точка пересечения прямой : + = с осью Оу.

Говорят, что прямая отсекает от координатных осей отрезки ОМ и ОN величина которых равна числам а и b соответственно. Под величиной отрезка ОА здесь понимается не его длина , а координата точки М, т.е. число а. Аналогично, величина отрезка ОN равна числу b.

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Глава 3

Аналитическая геометрия на плоскости

Аналитическая геометрия,раздел геометрии, который исследует простейшие геометрические объекты средствами элементарной алгебры на основе метода координат. Создание аналитической геометрии обычно приписывают Р.Декарту, изложившему ее основы в последней главе своего трактата Рассуждение о методе, озаглавленной Геометрия (1637).

Методы аналитической геометрии применимы к фигурам на плоскости и к поверхностям в трехмерном пространстве, а также допускают естественное обобщение и на пространства более высоких размерностей. Мы начнем с аналитической геометрии на плоскости.

Отрезок на координатной плоскости

Проекцией отрезка AB на ось Ox (Oy) называется отрезок [A_x; B_x] ([A_y; B_y]), где A_x и B_x(A_y, B_y) соответственно проекции точек A и B на ось Ox (Oy).

Если A₁ (x₁; y₁), A₂ (x₂; y₂) две произвольные точки плоскости Oxy, а d – расстояние между ними, то d вычисляется из соотношения d 2 = (x₁ – x₂) 2 + (y₁ – y₂) 2 _.

Если A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) – произвольные разные точки плоскости Oxy, то координаты (x; y) середины отрезка AB вычисляют по формулам

Прямая на плоскости

2.1. Понятие уравнения линии

Пусть х и у — две произвольные переменные величины. Соотношение вида F(x, y) = 0, будем называть уравнением с двумя переменными х, у если F(x, у)=0 есть равенство, верное не всегда, т.е.не для всяких пар чисел х, у.

Говорят, что два числа х=х₀, у=y_о удовлетворяют некоторому уравнению с двумя переменными, если при подстановке их в это уравнение вместо переменных получается верное равенство.

Пусть на плоскости дана какая-нибудь линия и пусть вместе с тем выбрана некоторая система координат. Уравнением данной линии (в выбранной системе координат) называется такое уравнение F(x,y)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.

Пересечение двух линий

Даны уравнения двух линий: F(x,y)= 0, Ф(х,у) = 0. Каждая точка пересечения данных линий есть их общая точка. Следовательно, координаты такой точки должны удовлетворять как уравнению F(x, у)=0, так и уравнению Ф (х, у) = 0. Каждое решение системы

определяет одну из искомых точек.

Общее уравнение прямой

Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.

Уравнение вида Аx + Вy + С = 0 где А, В, С – вещественные числа, при условии, что А и В одновременно не равны нулю, задает прямую в плоскости Oxy, и наоборот, уравнение произвольной прямой может быть записано в указанном виде. Это общее уравнение прямой.

В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

а) А = 0, В ≠ 0. Уравнение определяет прямую, параллельную оси абсцисс и пересекающую ось ординат в точке с координатой

б) В = 0, А ≠ 0. Уравнение определяет прямую, параллельную оси ординат и пересекающую ось абсцисс в точке с координатой

в) С = 0. Уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат.

Любой вектор параллельный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой. Любой вектор перпендикулярный прямой l, называется нормальным вектором прямой. Если взять на прямой какие-либо две фиксированные точки М₀ и М₁ то вектор в частности, будет направляющим вектором прямой М₀ М₁

Для любой прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0, вектор перпендикулярен прямой, а вектор параллелен ей.

Пусть прямая проходит через точку М₀(х₀;у₀) параллельно вектору .

Уравнение называется каноническим уравнением прямой, с направляющим вектором

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Число k называется угловым коэффициентом прямой и равно тангенсу угла между положительной полуосью абсцисс и лучом прямой, лежащей в одной с положительной полуосью ординат полуплоскости относительно оси абсцисс.

Условие параллельности прямых. Если две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.

Условие перпендикулярности прямых. Если две прямые перпендикулярны, то

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

Предположим, что прямая проходит через точку M₀ (x₀,y₀) и образует с осью OX угол j. Составим уравнение этой прямой.

Y

y – y₀ = k · (x – x₀) — уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀ (х₀,у₀) в данном направлении.

Пример. Через точку М₀(1,-2) провести прямую ℓ параллельную прямой у = 2х — 1

Решение. Уравнение прямой ℓ запишем в виде у-у₀=К(х-х₀). Х₀ и у₀ – нам даны, это х₀=1, у₀=-2, К – угловой коэффициент найдем из условия параллельности двух прямых К=2. у+2=2(х — 1) – искомое уравнение или 2х – у — 4=0