Можно ли возводить уравнение в степень

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Продолжаем изучать методы решения уравнений. Сейчас мы в деталях разберем метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Начнем с теории: рассмотрим, для решения каких уравнений применяется метод, опишем, в чем он состоит, приведем теоретическое обоснование метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, запишем соответствующие алгоритмы решения уравнений. После этого сосредоточимся на практике и рассмотрим разнообразные примеры решения уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Для решения каких уравнений применяется

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень в первую очередь применяется для решения иррациональных уравнений. Это объясняется тем, что возведение в натуральную и большую единицы степень позволяет избавляться от корней. Например, возведение в степень позволяет избавляться от корней при решении следующих уравнений:

• , C≥0 , в частности, , и т.п. Возведение в квадрат обеих частей первого уравнения позволяет перейти к уравнению , и дальше – к сравнительно простому уравнению без знаков корней x 2 −5=4 . Аналогично, возведение обеих частей второго уравнения в шестую степень приводит к уравнению и дальше — к элементарному уравнению 4−5·x=0 .
• , например, , и др. В первом случае избавиться от корня позволяет возведение обеих частей уравнения в квадрат, а во втором случае – в куб.
• и , таких как , и подобные им. Для первого уравнения напрашивается возведение его обеих частей в квадрат, для второго – в шестую степень.
• уравнений с двумя, тремя корнями в записи, например, и . В таких случаях для избавления от знаков радикалов к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же степень приходится обращаться дважды: первый раз в самом начале, второй раз – после преобразований и уединения радикала.
• уравнений, в которых под знаком корня находятся другие корни, к примеру, . Здесь также к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же степень приходится прибегать два раза.
• и это не весь список.

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень используется и для решения некоторых уравнений, в которых переменная находится в основаниях степеней с дробными показателями. Например, уравнение можно решить методом возведения его обеих частей в дробную степень 6/11 .

Также метод возведения частей уравнения в степень применяется при решении некоторых степенных уравнений, в которых фигурируют иррациональные показатели. В пример приведем два уравнения и . Возведение их обеих частей в одну и ту же степень (в первом случае в степень , во втором – в степень ) позволяет избавиться от степеней с иррациональными показателями и перейти к сравнительно простым уравнениям.

В чем состоит метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Метод состоит в переходе к уравнению, которое получается из исходного путем возведения его обеих частей в одну и ту же степень, и нахождении решения исходного уравнения по решению полученного уравнения.

На практике наиболее часто прибегают к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень, большую единицы, то есть, в квадрат, куб и т.д. Делается это на базе следующего утверждения:

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень дает уравнение-следствие, а возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень, большую единицы, дает равносильное уравнение (см. равносильные уравнения и уравнения-следствия).

Реже приходится обращаться к возведению обеих частей уравнения в другие степени, в частности, в дробные рациональные и иррациональные. В этих случаях отталкиваются от такого утверждения:

Уравнение A(x)=B(x) , на области допустимых значений переменной x для которого A(x)>0 или A(x)≥0 , B(x)>0 или B(x)≥0 , равносильно уравнению A r (x)=B r (x) , где r – положительное действительное число.

Обоснование метода

Обоснованием метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень является доказательство утверждений из предыдущего пункта. Приведем эти доказательства.

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень дает уравнение-следствие, а возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень дает равносильное уравнение.

Докажем его для уравнений с одной переменной. Для уравнений с несколькими переменными принципы доказательства те же.

Пусть A(x)=B(x) – исходное уравнение и x₀ – его корень. Так как x₀ является корнем этого уравнения, то A(x₀)=B(x₀) – верное числовое равенство. Мы знаем такое свойство числовых равенств: почленное умножение верных числовых равенств дает верное числовое равенство. Умножим почленно 2·k , где k – натуральное число, верных числовых равенств A(x₀)=B(x₀) , это нам даст верное числовое равенство A 2·k (x₀)=B 2·k (x₀) . А полученное равенство означает, что x₀ является корнем уравнения A 2·k (x)=B 2·k (x) , которое получено из исходного уравнения путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную натуральную степень 2·k .

Для обоснования возможности существования корня уравнения A 2·k (x)=B 2·k (x) , который не является корнем исходного уравнения A(x)=B(x) , достаточно привести пример. Рассмотрим иррациональное уравнение , и уравнение , которое получено из исходного путем возведением его обеих частей в квадрат. Несложно проверить, что нуль является корнем уравнения , действительно, , что то же самое 4=4 — верное равенство. Но при этом нуль является посторонним корнем для уравнения , так как после подстановки нуля получаем равенство , что то же самое 2=−2 , которое неверное. Этим доказано, что уравнение, полученное из исходного путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную степень, может иметь корни, посторонние для исходного уравнения.

Так доказано, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень приводит к уравнению-следствию.

Остается доказать, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень дает равносильное уравнение.

Покажем, что каждый корень уравнения является корнем уравнения, полученного из исходного путем возведения его обеих частей в нечетную степень, и обратно, что каждый корень уравнения, полученного из исходного путем возведения его обеих частей в нечетную степень, является корнем исходного уравнения.

Пусть перед нами уравнение A(x)=B(x) . Пусть x₀ – его корень. Тогда является верным числовое равенство A(x₀)=B(x₀) . Изучая свойства верных числовых равенств, мы узнали, что верные числовые равенства можно почленно умножать. Почленно умножив 2·k+1 , где k – натуральное число, верных числовых равенств A(x₀)=B(x₀) получим верное числовое равенство A 2·k+1 (x₀)=B 2·k+1 (x₀) , которое означает, что x₀ является корнем уравнения A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Теперь обратно. Пусть x₀ – корень уравнения A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Значит числовое равенство A 2·k+1 (x₀)=B 2·k+1 (x₀) — верное. В силу существования корня нечетной степени из любого действительного числа и его единственности будет верным и равенство . Оно в свою очередь в силу тождества , где a – любое действительное число, которое следует из свойств корней и степеней, может быть переписано как A(x₀)=B(x₀) . А это означает, что x₀ является корнем уравнения A(x)=B(x) .

Так доказано, что возведение обеих частей иррационального уравнения в нечетную степень дает равносильное уравнение.

Доказанное утверждение пополняет известный нам арсенал, использующийся для решения уравнений, еще одним преобразованием уравнений – возведением обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень. Возведение в одну и ту же четную степень обеих частей уравнения является преобразованием, приводящим к уравнению-следствию, а возведение в нечетную степень – равносильным преобразованием. На этом преобразовании базируется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

Утверждение, касающееся возведения обеих частей уравнения в одну и ту же положительную действительную степень, доказывается аналогично с опорой на единственность степени положительного числа с действительным показателем.

Алгоритмы решения уравнений методом возведения частей в одну и ту же степень

Есть смысл записать три алгоритма решения уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень: первый – для возведения в нечетную степень, второй – для возведения в четную степень, третий – для возведения в ненатуральную положительную степень.

Алгоритм решения уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же нечетную степень:

1. Обе части уравнения возводятся в одну и ту же нечетную степень 2·k+1 .
2. Решается полученное уравнение. Его решение есть решение исходного уравнения.

Алгоритм решения уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же четную степень:

1. Обе части уравнения возводятся в одну и ту же четную степень 2·k .
2. Решается полученное уравнение.
   • Если полученное уравнение не имеет корней, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения.
   • Если полученное уравнение имеет корни, то проводится отсеивание посторонних корней любым методом, не завязанным на области допустимых значений, например, через проверку подстановкой.

Обратите внимание: этот алгоритм, в отличие от предыдущего, содержит пункт, касающийся отсеивания посторонних корней. Это связано с тем, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень приводит к равносильному уравнению, а возведение обеих частей уравнения в четную степень в общем случае приводит к уравнению-следствию. Поэтому, в результате возведения в нечетную степень посторонние корни не возникают, а при возведении в четную степень посторонние корни могут появиться. Таким образом, при возведении частей уравнения в четную степень возникает необходимость в отсеивании посторонних корней. Почему отсеивание посторонних корней в этом случае нужно проводить методом, не использующим ОДЗ? Потому что возведение обеих частей уравнения в четную степень может приводить к появлению посторонних корней в пределах ОДЗ, и отсеять их по ОДЗ или по условиям ОДЗ невозможно.

Наконец, запишем алгоритм решения уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же положительную дробную рациональную или иррациональную степень:

1. Убеждаемся, что выражения в левой и правой части уравнения не принимают отрицательных значений на ОДЗ для решаемого уравнения.
2. Возводим обе части уравнения в одну и ту же положительную степень.
3. Решаем полученное уравнение. Его решение дает искомое решение исходного уравнения.

Примеры решения уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Большое количество попадающих под разбираемую тему примеров с подробными решениями приведено в статье решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же степень. В добавление к этим примерам стоит разобрать решение уравнения через возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, не являющуюся натуральным числом.

Решите уравнение

Решать заданное уравнение можно несколькими разными методами. Например, можно провести решение методом логарифмирования. Также можно преобразовать уравнение к виду и перейти к уравнению на основании метода освобождения от внешней функции, или, сославшись на единственность степени с данным основанием и данным показателем. Но в рамках текущей статьи нас интересует решение уравнения методом возведения его обеих частей в одну и ту же степень, поэтому, проведем решение именно этим методом.

Учитывая свойство степени в степени (см. свойства степеней), несложно догадаться, что избавиться от иррациональных показателей позволяет возведение обеих частей уравнения в степень . Здесь мимоходом заметим, что — положительное число (при необходимости смотрите сравнение чисел), и при этом не натуральное. Мы вправе осуществить задуманное возведение частей уравнения в положительную ненатуральную степень, так как степени, находящиеся в левой и правой части исходного уравнения, на ОДЗ для исходного уравнения не принимают отрицательных значений. При этом мы получим равносильное уравнение, что было обосновано в одном из предыдущих пунктов текущей статьи.

Итак, проводим возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень . Имеем . Это уравнение равносильно исходному, значит, решив его, мы будем иметь интересующее нас решение.

Решаем полученное уравнение:

Так мы пришли к кубическому уравнению x 3 −x 2 +2=0 . Один его корень x=−1 легко подбирается. Разделив многочлен x 3 −x 2 +2 на двучлен x+1 , получаем возможность представить кубическое уравнение в виде (x+1)·(x 2 −2·x+2)=0 . Квадратное уравнение x 2 −2·x+2=0 не имеет решений, так как его дискриминант отрицательный. Из этого заключаем, что уравнение x 3 −x 2 +2=0 имеет единственный корень x=−1 .

В процессе решения мы дважды отмечали, что нам будет необходимо сделать проверку найденных корней. Сейчас пришло это время. Проверку выполним через подстановку найденного корня x=−1 в исходное уравнение , имеем

можно ли возводить в степень обе части уравнения ? ( слева и справа от знака равно )

Вопрос решен и закрыт.

Лучший ответ

ovod (73) 7 (86376) 8 18 75 11 лет

Можно (а иногда это единственный способ решить уравнение), но это может привести к появлению лишних корней, если возводить в четную степень.
Поэтому необходимо либо определить область допустимых значений неизвестных в исходном уравнении и потом сравнить с ней найденные решения, либо сделать проверку всех найденных решений в исходном уравнении.

Ответы

Mirona (29) 5 (3166) 13 27 11 лет

FunTime 6 (13045) 3 27 55 11 лет

лол. да.
обе стороны в одинаковую степень.
часто что бы избавиться от квадратного корня возводятся в степень обе стороны уравнения.

Arix 6 (16373) 3 11 25 11 лет

можно. если обе части и в одинаковую) в квадрат,к примеру, чтобы избавиться от корня

TvojaPsihi4ka (29) 6 (7304) 6 36 69 11 лет

можно ,а иногда даже нужно возводить всё уравнение в степень! хД т.е. и то что до и то что после знака равно хД главное что бы тебе это надо было,а не просто так хД

Похожие вопросы

а так хотелось, солнце моё, ответить в рифму!

Каждый день приношу продукты и помогаю в уборке. она не ветеран, но она прошла войну, прошла подростком, потом в эвакуации, потом в плен почти попали, пережила раскулачивание и много чего ещё. сейчас одна, все родственники либо её возраста либо за границей либо уже давно на том свете.

согласна, многие именно тогда и вспоминают. жаль. с каждым годом всё меньше и меньше.. я в прошлом году (когда поздравлять ходила) многим могла цветы подарить, пообщаться.. сегодня я еле еле нашла 10 ветеранов. аж страшно становится .

может инженерный калькулятор?

там кнопка есть x^y.

набираешь то что хочешь возвести в степень, жмёшь на кнопку, набираешь нужную степень, жмёшь равно.

Показательные уравнения

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.