Можно ли все уравнение возвести в квадрат

Возведение обеих частей уравнения в квадрат

2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Пусть даны два уравнения (1) и . Если — корень первого уравнения, то верно равенство . Из равенства двух чисел вытекает равенство их квадратов, т.е. , а это означает, что — корень уравнения (2). Значит из уравнения (1) следует уравнение (2).

В то же время из равенства квадратов чисел не следует равенство этих чисел (числа могут быть противоположенными). Поэтому из уравнения (2) не следует уравнение (1). Отсюда вытекает, что если при решении уравнения использовалось возведение обеих частей уравнения в квадрат, то нужно повести дополнительное исследование, позволяющее исключить «посторонние» корни, если они появились.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат.

; .Тогда , .

Если , то , равенство не верно, следовательно, -1- не является корнем исходного уравнения.

Если , то 4=4, равенство верно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень: 4.

3. Выполнение в одной части (или в обеих частях) уравнения тождественных преобразований, приводящих к расширению области определения равнения.

Если некоторое тождественное преобразование привело к расширению области определения уравнения, то получаем уравнения — следствие. При этом могут существовать такие значения переменной, которые являются корнями исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Выполнив приведение подобных слагаемых, получим: . Тогда , .

Если , то выражение не имеет смысла.

Если , то , равенство верно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень:5.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. или . Тогда , .

Если , то выражение не имеет смысла.

Если , то , равенство верно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень:-2.

Если при решении уравнения мы заменили его уравнением — следствием, то указанная выше проверка является неотъемлемой частью решения уравнения. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в следствие.

Рассмотрим уравнение (3) и умножим обе части его на одно и тоже выражение , имеющее смысл при всех значениях . Получим уравнение: (4), корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни уравнения .

Значит, уравнение (4) есть следствие уравнения (3). Ясно, что уравнения (3) и (4) равносильны, если «постороннее» уравнение не имеет корней. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если обе части уравнения умножить на , то получится уравнение, являющееся следствием исходного. Если уравнение не имеет корней, то полученное уравнение равносильно исходному (если область допустимых значений не уже области допустимых значений переменной данного уравнения).

Пример 1. .

Заметим, что подобное преобразование, т.е. переход от уравнения (4) к уравнению (3) делением обеих частей уравнения (4) на выражение , как правило, недопустимо, поскольку можно привести к потери корней, в этом случае могут «потеряться» корни уравнения .

Пример 2. Уравнение имеет два корня: 3 и 4.

Деление обеих частей уравнения на приводит к уравнению , имеющий только один корень 4, т.е. произошла потеря корня.

Снова возьмем уравнение (3) и возведем обе его части в квадрат. Получим уравнение: (5), корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни «постороннего» уравнения . Ясно, что уравнения (3) и (5) равносильны, если у «постороннего» уравнения нет корней.

Пример 3. Уравнение имеет корень 4. Если обе части этого уравнения возвести в квадрат, то получится уравнение , имеющие два корня: -2 и 4. Значит, уравнение — следствие уравнения . При переходе от уравнения к уравнению появился «посторонний» корень: -2.

Теорема 2. При возведении обеих частей уравнения в квадрат (и вообще в любую четную степень) получается уравнение, являющееся следствием исходного.

Пример 1. .

При решении иррационального уравнения чаще всего стараются заменить его более простым, но равносильным исходному. Поэтому важно знать равносильные преобразования.

Определение 10. Уравнение, имеющее одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными. Другими словами два уравнения называют равносильными, если множества их решений совпадают. Равносильность обозначается следующим образом: .

Пример 1. Уравнения и равносильны, т.к. каждое из них имеет единственный корень – число 3. .

Пример 2. Уравнения и не равносильны, т.к. первое имеет только один корень: 6, а второе имеет два корня: 6 и -6.

Пример 3. Уравнения и равносильны, т.к. множества их решений пусты. .

Определение 11. Пусть даны уравнения и и некоторое множество М. Если любой корень первого уравнения, принадлежащий множеству М, удовлетворяют второму уравнению, а любой корень второго уравнения, принадлежащий множеству М, удовлетворяет первому уравнению, то эти уравнения называются равносильными на множестве М.

Пример 1. и не являются равносильными на множестве всех действительных чисел, т.к. первое уравнение имеет единственный корень 1, а второе имеет два корня: -1 и 1. Но эти уравнения равносильны на множестве всех неотрицательных чисел, т.к. каждое из них имеет на этом множестве единственный корень: 1.

Отметим, что часто множество М совпадает либо с ОДЗ уравнения , либо множеством всех действительных чисел.

Имеется ряд теорем о равносильности уравнений.

Теорема 3. При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень получается уравнение, равносильное исходному.

Пример 1. .

Теорема 4. Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное исходному.

Пример 1. .

Теорема 5. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже отличное от ноля число, то получится уравнение, равносильное исходному.

Пример 1. (обе части первого уравнения разделили на 2).

Теорема 6. Если в какой либо части уравнения выполнить тождественные преобразования, не меняющие области определения уравнения, то получится уравнение, равносильное исходному.

В школьной практике при решении иррациональных уравнений чаще всего используются два основных метода:

1) обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

2) введение новых (вспомогательных) переменных.

Эти методы будем считать стандартными. В обязательном школьном курсе обычно этими методами и ограничиваются. Однако иногда приходится применять нестандартные методы и искусственные приемы решения иррациональных уравнений.

Типичная ошибка при решении иррациональных уравнений состоит в том, что школьники без дополнительных пояснений используют преобразования, нарушающие равносильность, что приводит к потере корней и появлению «посторонних» корней.

При возведении обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень надо иметь в виду, что если степень — не четное число, то получим равносильное уравнение, если же степень — четное число, то получим уравнение — следствие. Поэтому при решении иррациональных уравнений в большинстве случаев необходима проверка найденных решений.

Проверки можно избежать, если решать иррациональные уравнения с помощью равносильных замен. Для этого полезно знать следующие теоремы.

Теорема 7. Уравнение вида равносильно смешанной системе

Уравнение вида

Теорема 8. Уравнение вида или .

Уравнение вида .

Далее рассмотрим более подробно типы иррациональных уравнений и методы их решения.

Можно ли все уравнение возвести в квадрат

Пусть на некоторых числовых множествах `X_1`, `X_2` заданы соответственно функции `f(x)`, `g(x)`. Отношения вида `f(x)>g(x)`, `f(x)

Областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства или уравнения называют множество всех значений переменной `x`, при которых одновременно определены обе части неравенства или уравнения, т. е. пересечение множеств `X_1` и `X_2`.

Решить неравенство (уравнение) – это значит найти все числа `a`, после подстановки которых, вместо `x` получается верное числовое неравенство (равенство), или доказать, что неравенство (уравнение) не имеет решений.

Ясно, что число `a` является решением только тогда, когда `a` принадлежит ОДЗ.
При решении неравенств и уравнений фундаментальное значение имеет понятие равносильности, и в нашем задании это будет играть большую роль.

или два уравнения

называются равносильными на множестве `X`, если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству `X`, является решением второго, и, наоборот, каждое решение второго, принадлежащее `X`, является решением первого; или ни одно из неравенств (уравнений) на `X` не имеет решений, т. е. множества решений этих неравенств (уравнений) совпадают.

Отсюда следует, что вместо того, чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на `X`, называют равносильным переходом на `X`. Равносильный переход обозначают двойной стрелкой `hArr`. Например, `x^2 4 x + 5 ≤ 2 \sqrt<4x+5>\leq2 и `4x+5

Решение неравенств: основные ошибки и полезные лайфхаки

Вы умеете решать неравенства? Уверены?

Вспомним для начала, что вообще можно делать с неравенствами и чего с ними делать нельзя.

При решении неравенств мы можем:

1. Умножать обе части неравенства на число или выражение, не равное нулю.
При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется.

При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

2. Можем возводить обе части неравенства в квадрат при условии, что они неотрицательны

3. Имея дело с показательным или логарифмическим неравенством, мы можем «отбрасывать» основания или логарифмы. Если основание степени или логарифма больше единицы – знак неравенства будет тот же. Если основание степени или логарифма положительно и меньше единицы – знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» основания степеней или логарифмы. Мы пользуемся свойствами монотонности соответствующих функций. Если основание степени больше единицы, показательная функция монотонно возрастает. Если основание положительно и меньше единицы – показательная функция монотонно убывает. Аналогично ведет себя и логарифмическая функция.

4. При решении показательных или логарифмических неравенств применяется метод рационализации (замены множителя).

5. Общее правило. Если неравенство можно хоть как-то упростить – это необходимо сделать! Иначе его решение может занять восемь страниц и два часа времени.

Чего нельзя делать при решении неравенств? Вот 7 ловушек, в которые часто попадают абитуриенты.

1. Нельзя умножать (или делить) неравенство на выражение, знака которого мы не знаем.

Например, в неравенстве > нельзя поделить левую и правую часть на . Правильный способ: перенести всё в левую часть неравенства, разложить на множители и решить неравенство методом интервалов.

Получаем, что . «Сократив» на , который может быть отрицательным, мы не получили бы правильного ответа.

2. Извлекать из неравенства корень тоже нельзя. Такого действия просто нет.

Как, например, решить неравенство

Перенесем все в левую часть неравенства, чтобы в правой остался ноль.

Разложим левую часть на множители.

Решим неравенство, пользуясь свойствами квадратичной функции , и запишем ответ: .

Запомним: ответы типа « > » абсурдны.

Как решать неравенство > 0? Это типичная «ловушка для абитуриентов». Так и хочется сказать, что > 0 (то есть извлечь корень из неравенства). Но этого делать нельзя. Выражение положительно при всех , кроме нуля. Правильное решение неравенства: .

4. Возводить обе части неравенства в квадрат можно только если они неотрицательны.

5. Помним о том, в каких случаях знак показательного или логарифмического неравенства меняется, а в каких – остается тем же. «Отбрасывая» логарифмы, делаем это грамотно.

6. Если в неравенстве есть дроби, корни четной степени или логарифмы – там обязательно будет область допустимых значений.

7. Сложная тем для старшеклассников – задачи с модулем. Проверьте, умеете ли вы их решать.

При решении неравенств большое значение имеет правильное оформление. Рекомендуется оформлять решение как цепочку равносильных переходов: от исходного неравенства к равносильному ему неравенству или системе.

Обратите внимание на приемы, позволяющие решать неравенства легко, быстро и без лишних вычислений.

А теперь – полезный лайфхак для решения дробно-рациональных неравенств.

Что будет, если действовать «по шаблону» — то есть собрать всё в левой части неравенства и привести к одному знаменателю? — Будет много вычислений и выражение четвертой степени.

Может быть, сделаем проще? Представим дробь в виде суммы дробей и .

Продолжаем упрощать левую часть:

Теперь можно и привести дроби к одному знаменателю.

Все, больше ничего не пишем. Решаем неравенство методом интервалов.