На каком курсе изучают дифференциальные уравнения

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №26. Простейшие дифференциальные уравнения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение области применения дифференциальных уравнений

2) Определение дифференциального уравнения

3) Решение простейших дифференциальных уравнений

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для выполняется равенство F’ (x) = f(x).

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения. ( Пример: y’ – y = 0 – дифференциальное уравнение 1-го порядка; y’’ + y = 0 – дифференциальное уравнение 2-го порядка).

Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = f(x), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тело движется по оси абсцисс, начиная движение от точки А(10; 0) со скоростью v=4t+4 Найдите уравнение движения тела, и определите координату х через 1 с

Воспользуемся определением первообразной, т.к. х(t)=v₀t+at 2 /2

Найдем все первообразные функции 4t+4

При этом с=10, т.к. это есть начальная координата тела из условия задачи.

Следовательно, закон движения будет выглядеть следующим образом:

Подставим t=1c в данное уравнение и найдем координату тела за данное время х = 2+4+10=16

Ответ: х=2t 2 +4t+10

№2. Найдите c при частном решении, у’ = x, если при х = 1 у = 0 .

Найдем все первообразные уравнения у’ , это будет общее решение уравнения :

Найдем число С , такое х = 1 у = 0 .

Подставим х = 1, y = 0 , в общее решение и получим:

№3. Используя уравнение у'(x)= 4х+5, найди его решение и определи число С, если у(-2)=10

Найдем все первообразные функции 4х+5

Статья о разрыве методической линии преподавания дифференциальных уравнений в 10-11 классах математического профиля

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Роль дифференциальных уравнений в углубленном профиле математики в 10-11 классах

В основу разработки нового ФГОС СОО положена целевая установка, предусматривающая переход от «догоняющей» к «опережающей» модели развития российского образования, предполагающая отказ от прямого копирования западных моделей образования.
Одной из особенностей нового стандарта является принцип образования, создающий индивидуальные траектории для каждого обучающегося.
Итак, новым ФГОС для 10-11 классов определен профильный характер обучения. В свете этого, в общеобразовательных учреждениях появляются индивидуальные образовательные траектории физико-математического профиля. Что делает вопрос наполненности и согласованности программ по алгебре острым.

Раздел дифференциальных уравнений является одним из самых больших элементов теории современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных секторов математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.

Воспринимая математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую модель (некую идеализированную форму), то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошных сред, химических реакций, физических явлений и процессов.

Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и пограничных условий, исследователь получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными.

Область применения дифференциальных уравнений для решения практических задач физики, химии, астрономии, экономики, медицины обширна. Применение теоретических знаний на практике, практикоориентированное образование, разносторонне развитые личности на пороге окончания школы, обладающие системными, фундаментальными знаниями – это основная цель образования по ФГОС. В классах с углубленным изучением естественных наук уделяется много учебных часов успешному освоению теории и практики, что невозможно без грамотного и полного математического языка. Дифференциальные уравнения дают возможность решать различные задачи, в том числе и задачи на оптимизацию. И хотя, в школьном курсе математики, в профильных физико-математических классах, дифференциальные уравнения изучаются в общих чертах, но важность их изучения отрицать не стоит, так как, в дальнейшем обучении по профилю, выпускники получают возможность более успешно осваивать этот раздел высшей математики в обучении.

Одним из стержневых вопросов в школьном курсе математики является изучение уравнений. Уравнения широко применяются как в самой математике (при решении геометрических и алгебраических задач, при решении текстовых задач), так и в физике, биологии, химии, вычислительной технике, экономике, радиотехнике и других областях. Основным способом, с помощью которого математика применяется в производстве, является составление уравнения задачи; без уравнений нет математики как способа познания природы».

Изучение практики преподавания математики показывает, что в знаниях большинства учеников, всё ещё есть существенный недостаток: непрочная связь общего с конкретным, неумение в полной мере распорядиться знаниями при рассмотрении основных фактов изучения курса алгебры и математического анализа. Главной причиной этого является недостаточное внимание к формированию обобщенных знаний об уравнениях. Формирование знаний является целью и средством обучения, воспитания и развития учащихся. Овладение приемами является одним из необходимых условий успешного обучения и применения знаний.

Изучение уравнений в курсе алгебры и математического анализа средней школы занимает ведущее место не только по содержанию, но и по приемам и способам решения, они используются в процессе решения огромного числа задач теоретического и прикладного характера.

Научить в школе решению всех уравнений, которые могут встретиться, невозможно. Но, можно научить учащихся подходам к решению задач, которые связаны с необходимостью владения общими правилами и приемами. Поэтому, овладение общими подходами к изучению теории и решению задач является неотъемлемым условием творческой работы в любой деятельности учащихся. Следовательно, теоретическое обобщение при изучении математических знаний должно занимать важное место.

По мере продвижения к более сложным типам уравнений необходимость в таком обобщении все увеличивается и становится особенно ясной в последнем классе.

До недавнего времени дифференциальные уравнения не входили в программу математики средней школы, и это делало содержательно-методическую линию уравнений незавершенной.

Теория дифференциальных уравнений, начиная со своего возникновения, развивалась в неразрывной связи с физикой, механикой и математическими проблемами техники.

Введение в содержание математического образования сведений о дифференциальных уравнениях играет большую роль в формировании научного мировоззрения учащихся, в прикладной направленности обучения математике, в реализации межпредметных связей, которые содействуют пониманию строения всей системы наук и роли научного метода в познании и практике.

Изучение темы «Дифференциальные уравнения» расширяет понятие об уравнениях. Для того, чтобы учащиеся понимали общность дифференциальных и ранее изученных уравнении (алгебраических и трансцендентных) ,целесообразно соблюдать преемственность в изложении этих тем.

Преемственность математического образования — понятие многоплановое. Оно связано с реализацией внутрипредметных связей, трактовкой основных понятий, последовательностью изложения учебного материала, уровнями возрастания его сложности и трудности и т. д.

Были изучены вопросы непрерывного образования, вопросы преемственности обучения математике, внутри и межпредметных связей.

Противоречие между объективной потребностью преемственности обучения математике в школе и ее фактическим отсутствием, когда преподавание на разных этапах обучения ведется практически независимо друг от друга, выявило проблему данного исследования и определило ее актуальность.

Дифференциальные уравнения — завершающий этап развития методической линии уравнений в школе. К сожалению, не во всех УМК по алгебре даже в профильных физико-математических классах этот раздел уравнений присутствует. Так в чём же его значимость? В процессе преподавания в профильных классах, учителя естественно — научного профиля сталкиваются с затруднениями в освоении теоретического материала учениками. Одной из причин является неполное освоение курса уравнений в курсе математики. В частности, отсутствие дифференциальных уравнений, делает теоретический раздел алгебры, посвященный производным и первообразной, незавершенным. Тем самым нарушается преемственность между методической линией алгебры в школе в среднеспециальных и высших учебных заведениях. Образуется разрыв программы. Более того, отсутствие хотя бы простейших понятийных знаний об дифференциальных уравнениях, умение решать элементарные из них мешает освоению теоретического и практического материала в физике, химии, экономике. Рассмотрим простой пример. В первом полугодии ученики 10 класса физико-математического профиля (как в прочем и базового, социально-гуманитарного, и химико-биологического) начинают изучать раздел физики «Механика». В этом разделе особую роль отводят понятию «мгновение»: мгновенная скорость, мгновенное ускорение. Это величины характеризующие скорость изменения координаты, или скорость изменения быстроты изменения координаты в отрезке времени, стремящемся к нулю. Можно упрощенно объяснить суть этих понятий на примере бесконечно малой убывающей хорды, стягивающей бесконечно малую убывающую дугу. Но, знание одного понятия не даёт возможности ученику успешно решать практические задачи, ввиду отсутствия очень важного математического инструмента – умения видеть, анализировать, составлять и решать дифференциальные уравнения. Важно так же уметь проанализировать полученный результат. Итог – учитель предметник наряду с объяснением физики, читает курс математики, чтобы подготовить учащихся к успешному восприятию и пониманию содержания учебного материала.

Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, являясь мощным орудием исследования задач естествознания и техники, они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто объективные законы, которым подчиняются те или иные явления (процессы), записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения являются средством для количественного выражения этих законов. На пример, законы механики Ньютона, позволяют механическую задачу описания движения системы материальных точек или твердого тела, свести к математической задаче нахождения решений дифференциальных уравнений. Расчет радиотехнических схем и вычисление траектории спутников, исследование устойчивости самолета в полете и выяснение течения химических реакций – все это производится путем изучения и решения дифференциальных уравнений. Современное занятие в образовании — это время, когда дети сами ищут, спорят, сопоставляют, обобщают, делают выводы. Одним словом, активно участвуют в обсуждении того, что и как происходит в процессе решения практикоориентированных задач. Введение задач на решение дифференциальных уравнений решает огромный круг задач в образовании.

Образуется преемственность и сохраняется системность в образовании на этапе окончания школы и поступления в высшие и среднеспециальные учреждения образования. Ведь не секрет, что зачастую студенты первого курса технических ВУЗов испытывают значительные сложности в освоении программы по дисциплинам связанным с высшей математикой и решением прикладных задач физики, химии, биологии, статистики, экономики, астрономии. Провал образуется из-за нарушения преемственности в изучении теоретического материала программы алгебры в 10-11 классах. Зачастую изучение производной, дифференциала, графика производной – это, то немногое на чем начинается и заканчивается изучение данного раздела в школе. Такой «обрыв» методической линии сам по себе пагубен. Тем более существует еще одна проблема. Физика профильного уровня в 10-11 классах предполагает, как должное, что для освоения учебного материала программы ученик должен владеть совершенным математическим языком и аппаратом для решения разных функциональных задач. С самого первого раздела 10 класса «Кинематика» подразумевается владение понятием и уверенное применение производных для нахождения мгновенных кинематических величин, нахождение максимумов и минимумов функций.

Естественно, необходимо умение решать хотя бы простейшие дифференциальные уравнения. Несовпадение во времени прохождения смежных и согласующихся тем приводят к тому, что учащимся сложно усвоить учебный материал по физике или химии, а позднее прохождение этих тем в алгебре, лишает учащихся решения интересных практических задач, так как к тому времени по смежным предметам изучение соприкасающихся тем уже закончено. В целом те учебно — методические комплексы, о которых говорилось выше, способны ликвидировать содержательный разрыв в методической линии по решению уравнений в школьном курсе математики начиная с самых простейших, заканчивая функциональными уравнениями. Однако, открыт вопрос о добровольном выборе УМК каждой школой в условиях постоянно меняющихся списков рекомендованных учебников, ведь смена УМК в старшем звене, ведет к смене учебников по всей вертикали, а это не дешево. В условиях, когда в школе есть деление на профили, вопрос обеспечения соответствующими профильной направленности учебниками всех серьезно усложняется.

Аммосова Н.В. Методико-математическая подготовка будущих учителей математики в соответствии с задачами современности: монография. — Астрахань: Изд-во АИПКП, 2-е изд., 2015. — 256 с.

Аммосова Н.В., Коваленко Б.Б. Интеграция деятельности общеобразовательных школ и учреждений дополнительного образования как фактор активизации процессов обучения и воспитания школьников // Проблемы математики, информатики, физики и химии: тезисы докл. XLI Всерос. конф. (Москва, 2005 г.). Педагогические секции. — М.: Изд-во РУДН, 2005. — С. 55-56.

Аммосова Н.В., Коваленко Б.Б. Обучение учащихся решению задач, допускающих неоднозначную трактовку условий / Гуманитарное и естественнонаучное образование // Математика. Компьютер. Образование: Сб. науч. трудов. Выпуск 21, №2. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2014.

Аносов Д.В. Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем. — М.: МЦНМО, 2008. — 200 с.

Крюкова В.Л. Интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики: Автореферат диссертация кандидата пед. наук. — Орел, 2005. — 20 с.

Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении. — М: Наука,

Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики: Книга для учителя. — М.: Просвещение, 1990. — 96 с.

Izvorska D., Kovalenko B.B., Ammosova N.V. Использование мыслительных операций как базы синергетического подхода при обучении математике // Education, science and economics at universities, integration to international educational area: International conference. — Plock, Poland, 2008. — P. 246-250.

Burden P.R., Byrd D.M. Methods for Effective Teaching. — 2 nd ed. — Boston-London: Allyn and Bacon, 1999. — 418 p.

Аммосова Н.В., Лобанова Н.И. Решение неопределенных уравнений первой степени с двумя неизвестными в системе дополнительного образования // Сибирский педагогический журнал. 2016. №2. С. 24-34.

Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. — Минск: «Высшая школа», 1973. — 560 с.

Дифференциальные уравнения и их приложения
элективный курс по алгебре (11 класс) на тему

Программа элективного курса «Дифференциальные уравнения и их приложения» образовательной области «Математика» ориентирована на обучающихся старшей школы. Курс может рассматриваться в группах с естественнонаучным и физико-математическим профилем. Основная цель курса — дать учащимся представление о дифференциальных уравнениях, как о важнейшем вычислительном аппарате классической физики, геометрии, биологии.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Элективный курс «Дифференциальные уравнения и их приложения»

Программа элективного курса «Дифференциальные уравнения и их приложения» образовательной области «Математика» ориентирована на обучающихся старшей школы. Курс может рассматриваться в группах с естественнонаучным и физико-математическим профилем. Он может читаться параллельно с их изложением основного курса математического анализа или с некоторым опережением. Основная цель курса — дать учащимся представление о дифференциальных уравнениях, как о важнейшем вычислительном аппарате классической физики, геометрии, биологии. «Законы природы выражаются дифференциальными уравнениями» – высказал И. Ньютон. При этом представляется важным формулировать основные понятия математического анализа физическим и геометрическим языком, избегая математической формализации изложения.

Основной задачей курса является обучение слушателей составлению дифференциального уравнения как методу моделирования физического, биологического или любого другого процесса, проходящего в природе.

Содержание курса соответствует современным тенденциям развития школьного курса математики, идеям дифференциации, углубления и расширения знаний учащихся. Данный курс дает учащимся возможность познакомиться с нестандартными способами решения математических задач, способствует формированию и развитию таких качеств, как интеллектуальная восприимчивость и способность к усвоению новой информации, гибкость и независимость логического мышления.

Крупные открытия и исследования очень часто обеспечиваются и подготавливаются кропотливым трудом многих ученых. Это относится не только ко всей математике, но и к одному из самых обширных ее разделов – теории дифференциальных уравнений, которая в настоящее время представляет собой трудно обозримую совокупность фактов, идей и методов, очень полезных для приложений и стимулирующих теоретические исследования во всех других разделах математики.

Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке. Поэтому мной была выбрана тема элективного курса «Дифференциальные уравнения и их приложения». П риведённые задачи не являются полностью математическими. Точнее, речь идёт о задачах на составление и решение дифференциальных уравнений, включая доведение задачи до числового ответа, что важно в приложениях.

При успешной реализации курса обучающиеся учатся работать с устной, печатной и ИКТ информацией. От обучающихся требуется больших умственных и волевых усилий, развитого внимания, воспитания таких качеств, как активность, творческая инициатива, коллективно-познавательный труд.

При составлении настоящего элективного курса использовались материалы сети Интернет. Основными методами элективного курса стали исследовательская деятельность и метод учебного проекта. В каждом разделе курса были созданы творческие группы исторического, математического, физического направления и искусство. Результаты представлены в виде презентаций.

Элективный курс рассчитан на 34 часа в год, 1 час в неделю.

Данный курс апробирован в течение 2 лет в МБОУ СОШ №4 с УИОП в старших классах физико-математического профиля.

• формирование способности строить и исследовать простейшие математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин, углубление знаний об особенностях применения математических методов к исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
• воспитание средствами математики культуры личности: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимание значимости математики для общественного прогресса;
• формировать построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин и реальной жизни; проверки и оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом;
• развитие самостоятельной работы с источниками информации, анализа, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт.
• развитие логического мышления, математическую интуицию, творческие способности, необходимые для применения их в дальнейшей будущей профессиональной деятельности;

• дать учащимся представление о дифференциальных уравнениях, как о важнейшем вычислительном аппарате классической физики, геометрии, биологии, археологии, медицине;
• обобщить и систематизировать знания учащихся по таким разделам математики, как пределы функции, производная и первообразная функции;
• познакомить учащихся с некоторыми методами и приемами решения дифференциальных уравнений, выходящих за рамки школьного курса математики;
• формировать умения применять полученные знания при решении нестандартных задач;
• выработать умения работать в творческой группе.

• развивать интерес и положительную мотивацию изучения математики;
• помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования;
• формировать умение находить пределы функции, производную и первообразную функций ;
• повышать мотивацию школьников к изучению математики на основе метапредметной интеграции;
• формировать у учащихся основные информационно-коммуникативные компетентности в исследовательской и проектной деятельности;
• формирование навыков дистанционного обучения;
• демонстрация межпредметных связей математики с другими дисциплинами;
• развивать и совершенствовать навыки самообразования, направленные на выполнение творческих работ, на самостоятельное составление задач;
• развивать навыки самостоятельной работы с информацией.

К результатам освоения курса и организации продуктивной деятельности обучающихся относятся следующие:

в направлении личностного развития:

• знакомство с фактами исторического развития дифференциальных уравнений;
• готовность и способность к самообразованию; творческой и ответственной деятельности;
• готовность и способность вести диалог со сверстниками, находить общие цели и сотрудничать для их достижения;
• формирование навыков сотрудничества со сверстниками и педагогами в учебно-исследовательской, проектной деятельности;
• полученные знания и умения помогут успешно обучаться в профильном классе и сдать государственную итоговую аттестацию.

• анализировать задачи и их решение, комментировать ход решения задачи, самостоятельно составлять задачи, решаемые с помощью дифференциальных уравнений;
• составлять и решать некоторые простейшие типы дифференциальных уравнений;
• использовать чертеж для схематичной записи условия задачи;
• составлять дифференциальные уравнения в ходе решения задачи;
• проводить полные обоснования при решении разнообразных задач математики и смежных областей знаний, производственной практики;
• составлять алгоритмы решения задач с помощью производной и первообразной функции;
• находить общее решение простейших дифференциальных уравнений;
• сформировать алгоритм решения задачи Коши;
• рассмотреть решение уравнений с разделяющимися переменными;
• освоить способы деятельности, применимых на занятиях с интеграцией в физику, биологию, экологию, археологию, демографию населения и численности фауны.

в метапредметном направлении:

• самостоятельно определять цель и составлять план деятельности, осуществлять и корректировать деятельность, использовать все возможные ресурсы для реализации проектной деятельности;
• владение умениями совместной деятельности: согласование и координация деятельности с другими ее участниками; объективное оценивание своего вклада в решение общих задач коллектива;
• владеть навыками учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов (наблюдение, сравнение, моделирование и др.)
• использование для решения познавательных и коммуникативных задач различных источников информации, включая энциклопедии, словари, Интернет-ресурсы и другие базы данных;
• умение самостоятельно оценивать свои учебные достижения;
• создание письменных высказываний, адекватно передающих прослушанную и прочитанную информацию с заданной степенью свернутости (кратко, выборочно, полно);
• приведение примеров, подбор аргументов, формулирование выводов;
• отражение в устной и письменной форме результатов своей деятельности;
• осознавать социальную, практическую и личную значимость учебного материала;
• создать содержательные и организационные условия для развития умений решать задачи с помощью дифференциальных уравнений; осознанное определение сферы своих интересов и возможностей;
• развивают логическое и критическое мышление, культуру речи, способности к умственному эксперименту;
• соблюдение правил здорового образа жизни.

Структура курса представляет собой 6 логически законченных и содержательно взаимосвязанных тем, изучение которых обеспечит системность и практическую направленность современных компетенций обучающихся. Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для обучающихся различной степени подготовки. Содержание курса можно варьировать с учетом склонностей, интересов и уровня подготовленности учеников.

Отбор содержания основан на принципах научности, доступности, преемственности, практической направленности.

Формы занятий с учащимися: лекционные и семинарские занятия, групповые и индивидуальные формы работы: лекции, собеседования по изученному материалу, самостоятельное изучение материала, практикумы, исследовательские работы, решение задач.

Формы и методы контроля: тестирование, доклады, тематические презентации.

1. История возникновения и развития понятия дифференциальных уравнений (1 час).

2. Производная и первообразная (8 часов)

Понятие предела. Свойства пределов. Мгновенная скорость.

Производная функции в точке, геометрический смысл, касательная к графику функции.

Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные элементарных функций.

Показательная и логарифмическая функции. Экспонента как ненулевая функция, совпадающая со своей производной.

Нахождение перемещения по графику скорости. Первообразная, определённый интеграл и формула Ньютона-Лейбница.

Простейшие приёмы интегрирования.

Общие правила интегрирования.

Интегралы от некоторых элементарных функций.

3.Простейшие дифференциальные уравнения. Уравнение (12 часов).

Дифференциальное уравнение и его решения. Задача Коши.

Закон Мальтуса. Учёт рождаемости и смертности. Биотический потенциал живых организмов.

Модель неограниченного роста. Примеры реально зафиксированных вспышек роста живых организмов и их влияние на экосистемы.

Закон радиоактивного распада. Уравнение радиоактивного распада.

Изменение атмосферного давления с высотой.

Задача о трении намотанного каната.

4. Дифференциальные уравнения вида (5 часов).

Модель изменения численности с учётом конкуренции за ресурс (модель Ферхюльста). Логистическая кривая.

Задача о нагревании или остывании тела во внешней среде с постоянной температурой.

Задача о вытекании воды из сосуда под действием тяжести.

5. Простейшие типы дифференциальных уравнений (5 часов).

Обзор некоторых простейших типов дифференциальных уравнений. Уравнения с разделяющимися переменными.

Геометрические и физические задачи, приводящие к уравнениям с разделяющимися переменными.

Определение возраста горной породы.

Модель роста численности «хищник-жертва». Уравнения Лоттки — Вольтерра.

Задача о падении тела в воздухе.

Реактивное движение. Формула Циолковского.

Модель сердечно-сосудистой системы человека. Модель Каараслана – Солодянникова.

6. Дифференциальные уравнения и искусство. Графика А.Т. Фоменко (2 часа).

Учебно-методическое и материально-техническое обеспечение

Учебники и учебные пособия:

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, профильный уровень10 класс, учебник. М.: Мнемозина,2013г.
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа, профильный уровень11 класс, учебник М.: Мнемозина,2013г.
3. Шубин М. А. «Математический анализ для решения физических задач» М., МЦНМО, 2003.
4. Агафонов С.А. Дифференциальные уравнения,М., МГТУ им. Баумана, 2004.
5. Боярчук А.К. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. М., Эдиториал, 2001
6. Алгебра и начала анализа для 9–10 классов: Под ред. А.Н.Колмогорова. – М.: Просвещение, 1986.
7. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т. 1. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
8. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX–X кл.: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983.
9. http://www.chronologia.org/art/index.html#manin
10. http://virtualmathmuseum.org/gallery4.html

Технические средства обучения:

• мультимедийный компьютер;
• интерактивная доска.