На рисунке приведено графическое решение уравнения

Графический метод. Описание, примеры решения уравнений

Эта статья посвящена одному из направлений функционально-графического метода решения уравнений, а именно, графическому методу. Сначала дано описание графического метода: раскрыта его суть, сказано, на чем базируется метод, приведено его обоснование, обговорены особенности метода, связанные с точностью. Дальше идет практическая часть: записан алгоритм решения уравнений графическим методом и показаны решения характерных примеров.

В чем состоит метод и на чем он базируется

Графический метод решения уравнений состоит в использовании графиков функций, отвечающих частям уравнения, для нахождения с их помощью решения уравнения. Базируется он на следующем утверждении:

Решение уравнения f(x)=g(x) есть множество абсцисс точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) .

Обоснованием этого утверждения займемся в следующем пункте. А сейчас выудим из него полезные сведения.

Основное из них таково: по количеству точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) можно судить о количестве корней уравнения f(x)=g(x) , а по абсциссам точек пересечения можно судить о корнях этого уравнения. Проиллюстрируем сказанное.

Взглянем на чертеж, на котором изображены графики функций и .

Очевидно, в видимой области графики изображенных функций не имеют точек пересечения. За пределами видимой области графики тоже не имеют точек пересечения. Это мы можем утверждать в силу известного нам поведения графиков степенных функций и линейных функций. Отсутствие точек пересечения позволяет нам сделать вывод, что уравнение не имеет решений.

Другой пример. На следующем рисунке изображены графики функций и .

Сколько точек пересечения мы видим? Две. Известное поведение графиков показательных функций и линейных функций позволяет утверждать, что за пределами видимой области точек пересечения нет. Значит, графики функций и пересекаются в двух точках, следовательно, уравнение имеет два корня. А каковы значения этих корней? Для ответа на этот вопрос определяем абсциссы точек пересечения графиков. По рисунку находим, что абсциссы точек пересечения есть −2 и 1 . Через проверку подстановкой убеждаемся, что это действительно корни уравнения :

Здесь стоит заметить, что к проверке подстановкой мы обратились не случайно. Дело в том, что найденные по графикам значения корней можно считать лишь приближенными до проведения проверки. Подробнее об этом мы поговорим в одном из следующих пунктов этой статьи, раскрывающем особенности графического метода.

Обоснование метода

Докажем, что множество решений уравнения f(x)=g(x) есть множество абсцисс точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) . Для этого достаточно показать, во-первых, что если x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) , то x₀ – это абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) , и, во-вторых, если x₀ – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) , то x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) . Приступаем к доказательству.

Пусть x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) . Тогда f(x₀)=g(x₀) – верное числовое равенство. Это равенство можно трактовать так: значения функции y=f(x) и y=g(x) в точке x₀ совпадают. А из этого следует, что x₀ – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) .

Первая часть доказана. Переходим к доказательству второй части.

Пусть x₀ – абсцисса одной из точек пересечения графиков функций y=f(x) и y=g(x) . Это означает, что значения функций y=f(x) и y=g(x) в точке x₀ равны, значит, f(x₀)=g(x₀) . А из этого равенства следует, что x₀ – корень уравнения f(x)=g(x) .

Так доказана вторая часть.

Особенности метода

Графический метод предполагает использование графиков функций. В общем случае построение графиков функций – дело непростое. Поэтому, графический метод решения уравнения обычно применяется лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, и при этом не видно другого аналитического метода решения. Это одна из особенностей графического метода решения уравнений.

Другая особенность касается получаемых по графикам результатов. Полученные по графикам результаты можно считать лишь приближенными. Дело здесь в том, что сами по себе графики функций — вещь не совсем точная (но при этом очень наглядная и во многих отношениях удобная), особенно если говорить о графиках, построенных от руки. Это следует из принципов, которыми мы руководствуемся при построении графиков функций. Что мы делаем для построения графика функции в общем случае? Проводим исследование функции, чтобы получить ряд «опорных» точек, таких как граничные точки области определения, максимумы-минимумы, точки перегиба, и понять поведение функции на всех интервалах ее области определения. После этого определяем несколько контрольных точек. Дальше переносим все определенные в ходе исследования точки на координатную плоскость и, сейчас внимание, соединяем их плавной линией в соответствии с выясненным в ходе исследования поведением функции. Эта «плавная линия» и есть график функции. О какой точности можно здесь говорить? Понятно, что она определяется точностью нашего построения.

С приближенными, найденными по графикам, значениями корней уравнения можно так или иначе работать. В некоторых случаях определенные по графикам значения корней оказываются точными значениями, в чем позволяет убедиться проверка подстановкой. В других случаях есть возможность уточнить значения корней до требуемой степени точности, для этого существуют специальные методы уточнения значений корней. А вот если по графикам нет возможности определить количество корней, не говоря уже об их значении, то, почти наверняка, стоит отказываться от графического метода решения уравнения. Добавим наглядности сказанному.

Давайте посмотрим на изображенные в одной прямоугольной системе координат графики функций и y=−x 2 +6·x−5 .

По этому чертежу сложно судить даже о количестве корней уравнения , не говоря уже про их значения с приемлемой степенью точности. Здесь можно лишь грубо сказать, что если корни есть, то их значения находятся на промежутке от нуля до трех. Такую прикидку мы даем по той причине, что графики функций в обозначенном промежутке очень близки, почти совпадают. Если есть возможность построить графики более точно в обозначенном промежутке, то это немного проясняет картину:

Сейчас мы видим три точки пересечения, даже можем приближенно указать их абсциссы: 1 , 2 и 2,7 . Но опять же, это не более чем приближенные результаты, нуждающиеся в проверке и строгом обосновании.

Учитывая оговоренные особенности графического метода решения уравнения, для себя можно принять следующее: к графическому методу стоит обращаться лишь тогда, когда функции, отвечающие частям уравнения, довольно простые в плане построения графиков, когда по построенным графикам можно с уверенностью указать точное количество точек их пересечения, и когда не просматривается альтернативный метод решения.

Алгоритм решения уравнений графическим методом

Анализ приведенной выше информации позволяет записать алгоритм решения уравнений графическим методом. Чтобы решить уравнение графически, надо:

• Построить в одной прямоугольной системе координат графики функций, отвечающие левой и правой частям уравнения.
• По чертежу определить все точки пересечения графиков:
  • если точек пересечения нет, то решаемое уравнение не имеет корней,
  • если точки пересечения имеются, то переходим к следующему шагу алгоритма.
• По чертежу определить абсциссы всех точек пересечения графиков – это приближенные значения всех корней исходного уравнения.
• Если есть основания полагать, что некоторые или все определенные на предыдущем шаге значения являются точными значениями корней решаемого уравнения, то осуществить их проверку, например, подстановкой.

Дадим краткий комментарий к последнему шага алгоритма. Иногда определенные по чертежу приближенные значения корней оказываются точными. Обычно это касается целых значений. Но, опять же, прежде чем утверждать, что найденные значения является точными корнями уравнения, сначала нужно осуществить проверку этих значений, например, проверку подстановкой.

Решение примеров

Графический метод решения уравнений начинает входить в арсенал изучающих математику в 7 классе сразу же после знакомства с координатной плоскостью и самой первой функцией – линейной функцией y=k·x+b . Именно тогда мы сталкиваемся с заданиями, наподобие следующего: с помощью графика линейной функции y=2·x−6 определить, при каком значении x будет y=0 [1, с. 50-51]. Для ответа на поставленный вопрос мы строим график указанной линейной функции y=2·x−6 .

По чертежу находим точку пересечения графика с осью Ox (ось Ox отвечает графику функции y=0 ), и определяем абсциссу точки пересечения: x=3 . По сути, мы решаем уравнение 2·x−6=0 графическим методом.

Чуть позже в 7 классе изучается функция y=x 2 . После этого опять заходит разговор о графическом методе решения уравнений, но уже более детальный, где метод уже называется своим именем и дается его алгоритм [1, с. 149-151; 2, с. 109]. Там с его помощью решаются уравнения, одной части которых отвечает функция y=x 2 , а другой – линейная функция y=k·x+b . Например, уравнение x 2 =x+1 . Для его решения строятся в одной системе координат соответствующие графики функций y=x 2 и y=x+1 :

Графики, очевидно, пересекаются в двух точках. Можно определить приближенные значения их абсцисс: .

В 8 классе изучаются новые виды функций: y=k/x , квадратичная функция y=a·x 2 +b·x+c , . И, естественно, рассматривается графический метод решения соответствующих уравнений. Особенно тщательно разбирается графическое решение квадратных уравнений. В учебнике Мордковича А. Г. приведены аж пять способов графического решения уравнения x 2 −2·x−3=0 [2, с. 127-131].

И так далее: изучаются функции , степенные функции, тригонометрические, показательные, логарифмические, …, — рассматривается решение соответствующих уравнений графическим методом. Так к концу школьного курса математики мы начинаем воспринимать графический метод решения уравнений как общий метод, позволяющий решать уравнения не только определенных видов, но и уравнения, в которых уживаются самые разнообразные функции: показательные с корнями, тригонометрические с логарифмическими и т.д. Покажем решение такого уравнения.

Решите уравнение

В заключение вспомним, что в этой статье при разговоре об особенностях графического метода решения уравнений мы обращались к иррациональному уравнению . В качестве «благодарности» этому уравнению за помощь в обретении знаний приведем ссылку на его решение графическим методом.

Урок-исследование по теме: «Графическое исследование уравнений»

Разделы: Математика

Цели.

• Развить навыки решения целого уравнения высших степеней, графическое решение систем уравнений.
• Обобщить и систематизировать свойства графиков некоторых функций, алгоритмы их построения.

Ход урока.

1. Мотивационно–ориентировочная часть. Этап актуализации знаний.

Устная работа. Блочное повторение свойств графиков: параболы, гиперболы, окружности, прямой.

Рассмотрим таблицу, в которой изображены некоторые известные нам графики и записаны их уравнения.

Учащиеся объясняют таблицу.

1. График уравнения х 2 — 1/2y = 2 — парабола. В этом легко убедиться, если выразить переменную у через х. Получится уравнение вида у = 2х 2 — 4.

2. Графиком уравнения ху = — 6 служит гипербола вида у = — 6/х.

3. Графиком уравнения х 2 + у 2 = 16 является окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 4.

4. Графики уравнений х + 2у = 4 и 2у – 5 = 0 – прямые.

5. Графиком уравнения у 2 — 4х 2 = 0 является объединение двух прямых у = 2х и у = — 2х. В самом деле, разложив левую часть уравнения на множители, получим: (у — 2х)(у + 2х) = 0.

Отсюда ясно, что уравнение распадается на два: 1) у — 2х = 0; 2) у + 2х =0. Из первого получаем у = 2х, а из второго у = — 2х.

Давайте повторим свойства графиков функций, начнем с графика функции … . Отгадайте какого?

“В меня поэты влюблены,
Буквально все восхищены.
Литературный я прием
И график функции притом”. (Учащиеся узнают гиперболу. )

Вопросы. (Учащиеся по карточкам отвечают на вопросы. )

1. Назовите уравнение, графиком которого является гипербола.

(у = к/х, ху = к, 0. )

2. Как называется функция данного вида?

3. Какова ее область определения? область значений?

4. Как располагаются ветви гиперболы в зависимости от знака числа к?

5. Среди предложенных шаблонов укажите шаблон гиперболы.

6. Определите, график какой функции изображен на рисунке. (Чтение графика функций у = — 8/х и у = 12/х. )

Угадайте следующий график.

“Люблю я петь и веселиться,
В веселом танце покружиться.
Когда вокруг оси вращаюсь,
Фигурой важной обращаюсь.

А кавалеры подбегают,
К автомобилю провожают.
И каждый хочет пригласить —
На крыше дома погостить”.

Вопросы.

1. О чем шла речь в этой загадке?

(О применении оптического свойства параболы и параболоида вращения, об его использовании в устройствах антенн и автомобильных фар. )

2. Графиком какой функции является парабола?

3. Изобразите параболу на рисунке (или определите соответствующий шаблон).

4. Как определить направление ветвей параболы?

5. Запишите уравнение данной параболы. (Координаты вершины, направление ветвей, уравнение оси симметрии. )

6. Как по уравнению определить координаты вершины, уравнение оси симметрии?

Угадайте следующий график.

“Я очень замкнута, скромна,
Хоть степень выше у меня.
Друзей лишь только тесный круг.
Никто не нужен мне вокруг”

Вопросы.

1. О какой степени шла речь?

2. Запишите общий вид уравнения окружности.

3. Запишите уравнение окружности, походящей через начало координат радиуса R.

Угадайте следующий график.

“А я бесхитростна, проста –
Такой характер у меня.
Смеются надо мной друзья:
Мол, нет извилин у меня.
Но я с дороги не сверну,
Ведь жить иначе не могу”.

Вопросы.

1. Назовите общее уравнение прямой на плоскости.

2. Графиком какой функции является прямая?

3. Что такое прямая пропорциональность?

4. Как располагается ее график в зависимости от значения числа к?

5. При каком условии линейная функция у = кх + в является возрастающей? При каком – убывающей?

2. Этап объяснения нового материала.

Пример 1. Решить уравнение х 3 +х-5=0.

“Лобовая” атака здесь явно не подходит: мы не располагаем никакими формулами для решения уравнений третьей степени, а попытка разложить на множители левую часть уравнения также не приводит к успеху. Поэтому воспользуемся графиками.

Если бы мы смогли построить график функции у=х?+х-5, то сумели бы найти и корни уравнения х?+х-5=0, — это абсциссы точек пересечения графика с осью х. Однако строить графики функций подобного вида мы не умеем. Выход из положения: перепишем уравнение в виде х? = -х + 5. Это позволит нам воспользоваться графиками функций у=х? и у=-х+5, которые легко построить.

На рисунке 1 графики функций у= х 3 и у = -х + 5 построены в одной системе координат. Они пересекаются в единственной точке. Абсцисса точек пересечения графиков – это то значение переменной х, при котором выражения х 3 и 5 — х принимают равные значения. Значит, эта абсцисса и есть корень уравнения х 3 = 5 — х. По рисунку видно, что корень находится в промежутке (1;2) и приблизительно равен 1,5: х1,5.

Ответ. х1,5.

Чтобы найти корни уравнения f(x)=g(x) графическим способом, нужно в одной и той же системе координат построить график функции у=f(x) и у=g(x), отметить точки пересечения графиков и найти абсциссы этих точек; это и будут корни уравнения.

Решить уравнение + х = 6.

Запишем уравнение в виде =-х+6 и построим графики функций у = и у = — х + 6. Они пересекаются в единственной точке (рисунок 2), абсцисса которой равна 4. Значит корень уравнения – число 4.

Подставив х = 4 в уравнение, получаем верное равенство: = — 4 + 6.

Имеет ли корни уравнение х 3 + х = 300, и если имеет, то сколько?

Перепишем уравнение в виде х 3 =300-х. В тетради в одном масштабе графики уравнений у=х 3 и у=300-х построить практически невозможно. Однако простой рисунок, показывающий взаимное расположение графиков, поможет нам ответить на вопрос. (Учащиеся строят схематически).

По рисунку видно, что графики должны иметь точку пересечения в правой полуплоскости. В какой-то точке они встретятся. Значит, данное уравнение имеет, по крайней мере, один корень. Понятно, что этот корень — единственный. В самом деле, первая функция возрастающая, а вторая – убывающая, и, встретившись, их графики продолжат движение в своих направлениях, поэтому другой точки пересечения у них не будет. Из рисунка видно, что корень положительный и меньше 300.

Графические соображения, а также использование свойств функций часто помогают сделать некоторые качественные заключения о корнях уравнения – проверить наличие корней, найти их число, указать промежутки, которым принадлежат корни.

3. Операционно-исполнительная часть. Этап закрепления.

1. Фронтальная работа.

№478. На рис. 3 и рис. 4.

изображен график функции у=f(x). Запишите уравнение вида f(x)=0, корни которого можно найти с помощью этого графика. Сколько корней имеет уравнение? Найдите эти корни. Есть ли среди найденных корней точные?

а) у = х 3 — 6х — 4; б) у= х 3 — 3х + 2.

№479. Запишите уравнение, графическое решение которого приведено на рис. 5 и найдите его корни.

№480. Графики функций у= и у=2х-6 пересекаются в точке (4;2). Найдите:

а) корни уравнения =2х-6;

б) решение системы уравнений:

№482. Имеет ли уравнение корни, и если имеет, то сколько? Укажите корни уравнений:

а) х 2 = 1,5х + 1; б) х 3 + х – 2 = 0; в) х 2 + 8/х – 1 = 0.

№487. Выберите из данных промежутков те, в которых находится корень уравнения х 3 = 4 — х 2 :

№489. С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение -4х — vx + 4 = 0. Найдите приближенное значение большего корня с двумя знаками после запятой.

2. Самостоятельная работа.

Решите уравнение графическим способом.

4. №211. 1) (экз. ). С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение: х 2 + 4х + 1/х = 0.

Решите уравнение графическим способом.

2. -х 2 -2х+4=.

4. №211. 2) (экз. ). С помощью графиков определите, сколько корней имеет уравнение: 3/х — х 2 — 4х = 0.

4. Задание на дом.

Имеет ли уравнение корни, и если имеет, то сколько? Укажите знаки корней:

Найдите подбором корень уравнения и, используя графические представления, докажите, что других корней нет:

а)=12-х;

5. Рефлексивно-оценочный этап.

а) за теоретический опрос.

б) за фронтальную работу.

в) за самостоятельную работу.

2. Какой момент был наиболее интересен на уроке?

3. Где пришлось более всего концентрироваться, задумываться?

4. Трудное ли домашнее задание?

Литература:

Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова и др. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл. “Дрофа”.

Графический метод решения задач с параметрами

Теперь вы узнали, что такое параметр, и увидели решение самых простых задач.

Но подождите — рано успокаиваться и говорить, что вы все знаете. Есть множество типов задач с параметрами и приемов их решения. Чтобы чувствовать себя уверенно, мало посмотреть решения трех незатейливых задач.

Вот список тем, которые стоит повторить:

1. Элементарные функции и их графики. Парабола, синус, логарифм, арктангенс и все остальные — всех их надо знать «в лицо».

Только после этого можно переходить к самому простому и наглядному способу решения задач с параметрами — графическому. Конечно, он не единственный. Но начинать лучше всего именно с него.

Мы разберем несколько самых простых задач, решаемых графическим методом. Больше задач — в видеокурсе «Графический метод решения задач с параметрами» (бесплатно).

1. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно 2 различных решения?

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

В первом уравнении выделим полный квадрат:

Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом равным 2. Обратите внимание — графики будем строить в координатах х; а.

Уравнение задает прямую, проходящую через начало координат. Нам нужны ординаты точек, лежащих на окружности и не лежащих на этой прямой.

Для того чтобы точка лежала на окружности, ее ордината а должна быть не меньше 0 и не больше 4.

Кроме того, точка не должна лежать на прямой , которая пересекает окружность в точках и Координаты этих точек легко найти, подставим в уравнение окружности.

Точка С также не подходит нам, поскольку при мы получим единственную точку, лежащую на окружности, и единственное решение уравнения.

2. Найдите все значения a, при которых уравнение имеет единственное решение.

Уравнение равносильно системе:

Мы возвели обе части уравнения в квадрат при условии, что (смотри тему «Иррациональные уравнения»).

Раскроем скобки в правой части уравнения, применяя формулу квадрата трехчлена. Получаем систему.

Приводим подобные слагаемые в уравнении.

Заметим, что при прибавлении к правой и левой части числа 49 можно выделить полные квадраты:

Решим систему графически:

Уравнение задает окружность с центром в точке , где радиус

Неравенство задает полуплоскость, которая расположена выше прямой , вместе с самой этой прямой.

Исходное уравнение имеет единственное решение, если окружность имеет единственную общую точку с полуплоскостью. Другими словами, окружность касается прямой, заданной уравнением

Пусть С — точка касания.

На координатной плоскости отметим точки и , в которых прямая пересекает оси Y и Х.

Рассмотрим треугольник ABP. Он прямоугольный, и радиус окружности PC является медианой этого треугольника. Значит по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.

Из треугольника ABP найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора.

Решая это уравнение, получаем, что

3. Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.

График уравнения — окружность с центром и радиусом равным 2.

График уравнения — две симметричные окружности и радиуса 2 c центрами в точках и

Второе уравнение при задает окружность с центром в точке и радиусом a.

Вот такая картинка, похожая на злую птицу. Или на хрюшку. Кому что нравится.

Система имеет единственное решение в случаях, когда окружность , задаваемая вторым уравнением, касается только левой окружности или только правой

Если a — радиус окружности , то это значит, что (только правая) или (только левая).

Пусть А — точка касания окружности и окружности

, (как гипотенуза прямоугольного треугольника МNР с катетами 3 и 4),

В — точка касания окружности и окружности

длину MQ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника KMQ с катетами 7 и 4; Тогда для точки В получим:

Есть еще точки С и D, в которых окружность касается окружности или окружности соответственно. Однако эти точки нам не подходят. В самом деле, для точки С:

, но и это значит, что окружность с центром в точке М, проходящая через точку С, будет пересекать левую окружность и система будет иметь не одно, а три решения.

Аналогично, для точки D:

и значит, окружность с центром М, проходящая через точку D, будет пересекать правую окружность и система будет иметь три решения.

4. При каких значениях a система уравнений имеет 4 решения?

Конечно же, решаем графически. Только непуганый безумец возьмется решать такую систему аналитически : -)

И в первом, и во втором уравнении системы уже можно разглядеть известные «базовые элементы» (ссылка) — в первом ромбик, во втором окружность. Видите их? Как, еще нет? — Сейчас увидите!

Просто выделили полный квадрат во втором уравнении.

Сделаем замену Система примет вид:

Вот теперь все видно! Рисовать будем в координатах

Графиком первого уравнения является ромб, проходящий через точки с координатами и

Графиком второго уравнения является окружность с радиусом и центром в начале координат.

Когда же система имеет ровно 4 решения?

1) В случае, когда окружность вписана в ромб, то есть касается всех сторон ромба.

Запишем площадь ромба двумя способами — как произведение диагоналей пополам и как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Диагонали нашего ромба равны 8 и 6. Значит,

Сторону ромба найдем по теореме Пифагора. Видите на рисунке прямоугольный треугольник со катетами 3 и 4? Да, это египетский треугольник, и его гипотенуза, то есть сторона ромба, равна 5. Если h — высота ромба, то

При этом Мы помним, что если окружность вписана в ромб, то диаметр этой окружности равен высоте ромба. Отсюда

Мы получили ответ:

2) Есть второй случай, и мы его найдем.

Давайте посмотрим — если уменьшить радиус окружности, сделав , окружность будет лежать внутри ромба, не касаясь его сторон. Система не будет иметь решений, и нам это не подходит.

Пусть радиус окружности больше, чем , но меньше 3. Окружность дважды пересекает каждую из четырех сторон ромба, и система имеет целых 8 решений. Опять не то.

Пусть радиус окружности равен 3. Тогда система имеет 6 решений.

А что, если ? Окружность пересекает каждую сторону ромба ровно 1 раз, всего 4 решения. Подходит!

Значит, Объединим случаи и запишем ответ:

Больше задач и методов решения — на онлайн-курсе Анны Малковой. И на интенсивах ЕГЭ-Студии в Москве.