Лекция 2. Вывод уравнения колебания струны
Рассмотрим струну длины l
Струной будем называть тонкую туго натянутую упругую нить.
При построени математической модели колебаний струны будем рассматривать малые колебания, происходящие в одной и той же плоскости. Пусть в состояниии покоя струна расположена вдоль оси Ox на отрезке [0,l] и при колебании каждая точка перемещается перпендикулярно оси (поперечные колебания). Тогда отклонение любой точки струны в произвольный момент времени U есть функция U(x,t) (см. рис.2).
Предположим, что натяжение столь велико, что силой тяжести и сопротивлением при изгибе можно пренебречь. Кроме того, в силу малости колебаний, будем пренебрегать также величинами высшего порядка малости по сравнению с производной Ux.
Рис. 3
Выделим малый участок струны (см. рис.3) и рассмотрим силы, действующие на него. Так как струна не сопротивляется изгибу, то ее натяжение 
направлено по касательной к струне в точке x. Более того, в рамках наших предположений можно считать величину силы натяжения постоянной. В самом деле, длина любого участка струны (величиной Ux 2 можно пренебречь). С ледовательно, в соответствии с законом Гука 
.
Пусть ρ ( x )- линейная плотность в точке x , а γ ( x , t )- плотность внешних сил, действующих на струну в момент времени t, и направленных перпендикулярно Ox .
Результирующая сила, действующая на участок струны [ x , x +∆ x ] в направлении перпендикулярном оси OX , равна (см. рис. 3)
.
При выводе этой формулы учитываем, что при малых колебаниях
По второму закону Ньютона произведение массы на ускорение равно действующей силе mw = F , где w=Utt, поэтому
ρ ∆ xUtt = T 0[ Ux ( x + ∆ x , t )- Ux ( x , t )]+ γ ( x , t ) ∆ x .
Разделим обе части равенства на Δx и устремим Δx к нулю:
ρ ( x ) Utt = T 0[ Ux ( x + ∆ x , t )- Ux ( x , t )]/ ∆ x + γ ( x , t ) .
Это уравнение называется уравнением вынужденных колебаний струны. Если струна однородная, то есть ρ ( x )= const , то уравнение (3) обычно записывают в виде
Utt = a 2 Uxx + f ( x , t ),где a 2 = T 0/ ρ ; f ( x , t )= γ ( x , t ) / ρ .
В том случае, когда на струну не действуют внешние силы, получается уравнение свободных колебаний струны
Уравнения (3) и (4) являются одномерными волновыми уравнениями (соответственно, неоднородным и однородным).
Волновыми эти уравнения называются потому, что они описывают распространение слабых возмущений в упругой среде (т.е. механические колебания с малыми амплитудами), которые в физике называют волнами. Волновые уравнения возникают также в задачах об электрических колебаниях, в гидродинамике и акустике, в теории упругости, при изучении электромагнитных полей.
Начальные условия и граничные условия.
Дифференциальные уравнения с частными производными, вообще говоря, имеют бесчисленное множество решений. Чтобы из этого множества выбрать то единственное решение, которое соответствует реальному физическому процессу (например, колебанию данной струны), надо задать некоторые дополнительные условия. В теории уравнений с частными производными, как и в обыкновенных дифференциальных уравнениях, задаются условия, называемые начальными и краевыми (граничными) условиями. Начальные условия в математической физике соответствуют состоянию физического процесса в начальный момент времени, который обычно принимают за t=0. В результате возникает задача Коши. Однако здесь есть некоторые отличия. Во-первых, начальные условия задаются для нестационарных уравнений, то есть таких уравнений, которые описывают нестационарные (зависящие от времени) процессы. Такими уравнениями являются, к примеру, волновые уравнения и уравнения теплопроводности. Во-вторых, задача Коши для уравнений с частными производными имеет единственное решение только в том случае, когда соответствующее уравнение рассматривается или на всей прямой, или на всей плоскости, или во всем пространстве. Например, это может быть задача о колебании бесконечной струны или о распространении тепла в бесконечном стержне. На практике к таким задачам приходят в том случае, когда имеется очень длинная струна или очень длинный стержень и интересуются процессами, происходящими далеко от концов, а влиянием концов пренебрегают. Если взять, допустим, длинный провод и слегка качнуть его в середине, то по нему влево и вправо побегут волны. Картина начнет искажаться только тогда, когда волны дойдут до концов провода и, отразившись, пойдут обратно. Следовательно, не учитывая влияния концов, мы тем самым не будем учитывать влияния отраженных волн.
Для волнового уравнения Utt = a 2 Uxx задаются два начальных условия U | t =0 = φ ( x ), Ut | t =0 = ψ ( x ). Иногда их записывают иначе: U ( x , 0) = φ (х), Ut ( x , 0) = ψ (х). Первое условие физически задает начальную форму струны (начальные отклонения точек струны), а второе условие — начальные скорости точек струны. В случае волнового уравнения Utt = a 2 Δ U на плоскости или в пространстве задаются те же два начальных условия, только функции φ и ψ , соответственно, будут зависеть от двух или трех переменных.
Если размеры струны или стержня не очень велики и влиянием концов нельзя пренебречь, то в этих случаях одни начальные условия уже не обеспечивают единственность решения задачи. Тогда необходимо задавать условия на концах. Они называются граничными условиями или краевыми условиями.Для уравнения колебаний струны часто задаются условия U | x =0 = 0, U | x = l = 0. Иначе их записывают еще и гак: U (0, t )=0, U ( l , t ) = 0. Эти условия физически означают, что концы струны закреплены (то есть отклонения при х = 0 и при х = l в любой момент времени равны нулю). Можно задавать и другие условия на концах струны, например, Ux |х=0= 0 , Ux |х= l = 0. Такие условия возникают в следующей задаче.
Пусть концы сруны перемещаются вдоль вертикальных направляющих без трения (см. рис.4).
рис.4
Так как вертикальные силы, действующие на левый и правый концы струны, определяютя выражениями T 0 Ux ( O , t ) и T 0 Ux (l, t ) (см рис. 2), то записанные выше условия означают, что на концы струны не действуют никакие силы(поэтому такие условия называют еще условиями свободных концов).
Как было уже сказано, волновое уравнение Utt = a 2 Uxx описывает не только колебания струны, но и другие волновые процессы, к примеру, продольные колебания пружины, продольные колебания стержня, крутильные колебания вала. В этих задачах возникают граничные условия и других видов. Подробно такие задачи мы изучать не будем. Однако приведем основные типы граничных условий. Обычно рассматривают три типа:
Граничные условия (5), (6) и (7) называются однородными, если правые части g1(t) и g2(t) тождественно равны нулю при всех значениях t. Если хотя бы одна из функций в правых частях не равна нулю, то граничные условия называются неоднородными.
Аналогично формулируются граничные условия и в случае трех или четырех переменных при условии, что одна из этих переменных — время. Г раницей в этих случаях будет или замкнутая кривая Г, ограничивающая некоторую плоскую область, или замкнутая поверхность Ω, ограничивающая область в пространстве. Соответственно изменится и производная от функции, фигурирующая в граничных условиях второго и третьего рода. Это будет производная по нормали n к кривой Г на плоскости или к поверхности Ω в пространстве, причем, как правило, рассматривают нормаль, внешнюю по отношению к области(см.рис. 5 ) .
К примеру, граничное условие (однородное) первого рода на плоскости записывается в виде U|Γ=О, в пространстве U|Ω=0. Граничное условие второго рода на плоскости имеет вид ,а в пространстве . Конечно, физический смысл этих условий разный для различных задач.
При постановке начальных и граничных условий возникает задача об отыскании решения дифференциального уравнения, удолетворяющего заданным начальным и граничным (краевым) условиям. Для волнового уравнения (3) или (4), начальных условий U(x,0)= φ(x), Ut (x,0)=ψ(x) и в случае граничных условий первого рода (5), задача называется первой начально-краевой задачей для волнового уравнения. Если вместо граничных условий первого рода задавать условия второго рода (6) или третьего рода (7), то задача будет называться, соответственно, второй и третьей начально-краевой задачей. Если граничные условия на разных участках границы имеют различные типы, то такие начально-краевые задачи называют смешанными.
Волновое уравнение
Одним из наиболее распространенных в инженерной практике уравнений с частными производными второго порядка является волновое уравнение, описывающее различные виды колебаний. Поскольку колебания — процесс нестационарный, то одной из независимых переменных является время t. Кроме того, независимыми переменными в уравнении являются также пространственные координаты х, у, z. В зависимости от их количества различают одномерное, двумерное и трехмерное волновые уравнения.
Одномерное волновое уравнение – уравнение, описывающее продольные колебания стержня, сечения которого совершают плоскопараллельные колебательные движения, а также поперечные колебания тонкого стержня (струны) и другие задачи. Двумерное волновое уравнение используют для исследования колебаний тонкой пластины (мембраны). Трехмерное волновое уравнениеописывает распространение волн в пространстве (например, звуковых волн в жидкости, упругих волн в сплошной среде и т.п.).
Рассмотрим одномерное волновое уравнение, которое можно записать в виде
(2.63)
Для поперечных колебаний струны искомая функция U(x,t) описывает положение струны в момент t. В этом случае а2 = Т/ρ, где Т — натяжение струны, ρ — ее линейная (погонная) плотность. Колебания предполагаются малыми, т.е. амплитуда мала по сравнению с длиной струны. Кроме того, уравнение (2.63) записано для случая свободных колебаний. В случае вынужденных колебаний в правой части уравнения добавляют некоторую функцию f(x,t), характеризующую внешние воздействия, при этом сопротивление среды колебательному процессу не учитывается.
Простейшей задачей для уравнения (2.63) является задача Коши: в начальный момент времени задаются два условия (количество условий равно порядку входящей в уравнение производной по t):
(2.64)
Эти условия описывают начальную форму струны 
и скорость ее точек 
.
На практике чаще приходится решать не задачу Коши для бесконечной струны, а смешанную задачу для ограниченной струны некоторой длины l. В этом случае задают граничные условия на ее концах. В частности, при закрепленных концах их смещения равны нулю, и граничные условия имеют вид
(2.65)
Рассмотрим некоторые разностные схемы для решения задачи (2.63)-(2.65). Простейшей является явная трехслойная схема типа крест (шаблон показан на рис. 2.21). Заменим в уравнении (2.63) вторые производные искомой функции Uпо tи х их конечно-разностными соотношениями с помощью значений сеточной функции 
в узлах сетки 
:
Рис. 2.21. Шаблон явной схемы
Отсюда можно найти явное выражение для значения сеточной функции на ( j + 1)-ом слое:
(2.66)
Здесь, как обычно в трехслойных схемах, для определения неизвестных значений на (j + 1)-ом слое нужно знать решения на j-ом и (j — 1)-ом слоях. Поэтому начать счет по формулам (2.66) можно лишь для второго слоя, а решения на нулевом и первом слоях должны быть известны. Их находят с помощью начальных условий (2.64). На нулевом слое имеем
(2.67)
Для получения решения на первом слое воспользуемся вторым начальным условием (2.64). Производную 
заменим конечно-разностной аппроксимацией. В простейшем случае полагают
(2.68)
Из этого соотношения можно найти значения сеточной функции на первом временном слое:
(2.69)
Отметим, что аппроксимация начального условия в виде (2.68) ухудшает аппроксимацию исходной дифференциальной задачи: погрешность аппроксимации становится порядка 
, т.е. первого порядка по τ, хотя сама схема (2.66) имеет второй порядок аппроксимации по hи τ. Положение можно исправить, если вместо (2.69) взять более точное представление:
(2.70)
Вместо 
нужно взять 
. А выражение для второй производной можно найти с использованием исходного уравнения (2.63) и первого начального условия (2.64). Получим
Тогда (2.70) примет вид:
(2.71)
Разностная схема (2.66) с учетом (2.71) обладает погрешностью аппроксимации порядка 
При решении смешанной задачи с граничными условиями вида (2.65), т.е. когда на концах рассматриваемого отрезка заданы значения самой функции, второй порядок аппроксимации сохраняется. В этом случае для удобства крайние узлы сетки располагают в граничных точках (х0=0, xI = l). Однако граничные условия могут задаваться и для производной.
Например, в случае свободных продольных колебаний стержня на его незакрепленном конце задается условие
(2.72)
Если это условие записать в разностном виде с первым порядком аппроксимации, то погрешность аппроксимации схемы станет порядка 
. Поэтому для сохранения второго порядка данной схемы по hнеобходимо граничное условие (2.72) аппроксимировать со вторым порядком.
Рассмотренная разностная схема (2.66) решения задачи (2.63) — (2.65) условно устойчива. Необходимое и достаточное условие устойчивости:
(2.73)
Следовательно, при выполнении этого условия и с учетом аппроксимации схема (2.66) сходится к исходной задаче со скоростью O(h2+τ2). Данная схема часто используется в практи-ческих расчетах. Она обеспечивает приемлемую точность получения решения U(x,t), которое имеет непрерывные производные четвертого порядка.
Рис. 2.22. Алгоритм решения волнового уравнения
Алгоритм решения задачи (2.63)-(2.65) с помощью данной явной разностной схемы приведен на рис. 2.22. Здесь представлен простейший вариант, когда все значения сеточной функции, образующие двумерный массив, по мере вычисления хранятся в памяти компьютера, а после решения задачи выводятся результаты. Можно было бы предусмотреть хранение решения лишь на трех слоях, что сэкономило бы память. Результаты в таком случае можно выводить в процессе счета (см. рис. 2.13).
Существуют и другие разностные схемы решения волнового уравнения. В частности, иногда удобнее использовать неявные схемы, чтобы избавиться от ограничений на величину шага, налагаемых условием (2.73). Эти схемы обычно абсолютно устойчивы, однако алгоритм решения задачи и программа для компьютера усложняются.
Построим простейшую неявную схему. Вторую производную по tв уравнении (2.63) аппроксимируем, как и ранее, по трехточечному шаблону с помощью значений сеточной функции на слоях j— 1, j, j + 1. Производную до х заменяем полусуммой ее аппроксимации на (j + 1)-ом и (j— 1)-ом слоях (рис. 2.23):
Рис. 2.23. Шаблон неявной схемы
Из этого соотношения можно получить систему уравнений относительно неизвестных значений сеточной функции на (j+ 1)-ом слое:
(2.74)
Полученная неявная схема устойчива и сходится со скоростью 
. Систему линейных алгебраических уравнений (2.74) можно, в частности, решать методом прогонки. К этой системе следует добавить разностные начальные и граничные условия. Так, выражения (2.67), (2.69) или (2.71) могут быть использованы для вычисления значений сеточной функции на нулевом и первом слоях по времени.
При двух или трех независимых пространственных переменных волновые уравнения принимают вид
Для них также могут быть построены разностные схемы по аналогии с одномерным волновым уравнением. Разница состоит в том, что нужно аппроксимировать производные по двум или трем пространственным переменным, что, естественно, усложняет алгоритм и требует значительно больших объемов памяти и времени счета. Подробнее двумерные задачи будут рассмотрены ниже для уравнения теплопроводности.
Основные типы уравнений математической физики
Основные типы уравнений
К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.
1. Волновое уравнение:
.
Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т. д.
2. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:
.
Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т. д.
3. Уравнение Лапласа:
.
Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т. д.
В выписанных уравнениях искомая функция u зависит от двух переменных t, x или x, y. Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных. Например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид
,
и уравнение Лапласа
.
Уравнение колебаний струны.
Формулировка краевой задачи
В математической физике струной называют гибкую упругую нить. Пусть струна в начальный момент времени расположена на отрезке 0≤x≤l оси 
Ox. Предположим, что ее концы закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от первоначального положения, а потом предоставить самой себе или придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движение. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.
Если предположить, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости, то процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t), которая определяет величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.
Доказано, что при отсутствии внешней силы функция u(x,t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка
.
Для полного определения движения струны одного уравнения недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны (при x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.
Пусть, например, концы струны при x=0 и x=l неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства
Это – граничные условия для рассматриваемой задачи. В начальный момент t=0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f(x), т. е.
Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(x), т. е.
.
Эти два условия называются начальными условиями.
Колебания бесконечной струны.
Формула Даламбера решения задачи Коши
для волнового уравнения
Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, рассмотрим более простую задачу – о колебаниях бесконечной струны. Если представить очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникающие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния.
Рассматривая свободные колебания, мы должны решить однородное уравнение
при начальных условиях
, 
,
где функции f(x) и g(x) заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.
Преобразуем волновое уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик
распадается на два уравнения:
интегралами которых служат прямые
Введем новые переменные ξ=x – at, η=x + at и запишем волновое уравнение для переменных ξ и η.
, 
,
,
,
и подставляя их в исходное уравнение, видим, что уравнение колебания струны в новых координатах будет
.
Интегрируя полученное равенство по η при фиксированном ξ, придем к равенству 
. Интегрируя это равенство по ξ при фиксированном η, получим
,
где φ и ψ являются функциями только переменных ξ и η соответственно. Следовательно, общим решением исходного уравнения является функция
. (8)
Найдем функции φ и ψ так, чтобы удовлетворялись начальные условия:
.
,
.
Интегрируя последнее равенство, получим:
,
где х0 и С – постоянные. Из системы уравнений
Таким образом, мы определили функции φ и ψ через заданные функции f и g, причем полученные равенства должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (8) найденные значения φ и ψ, будем иметь
.
Найденное решение называется формулой Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения
Пример. Решить уравнение при начальных условиях 
, 
.
Используя формулу Даламбера, сразу получаем
.
Решение волнового уравнения
методом разделения переменных
Метод разделения переменных применяется для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение волнового уравнения
, (9)
удовлетворяющее краевым условиям
u(x,0)=f(x), . (12),(13)
Частное решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным условиям (10) и (11), ищут в виде произведения двух функций:
Подставляя функцию u(x,t) в уравнение (9) и преобразовывая его, получим
.
В левой части этого уравнения стоит функция, которая не зависит от x, а в правой – функция, не зависящая от t. Равенство возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от x, ни от t, т. е. равны постоянному числу. Обозначим
, где λ>0. (14)
Из этих уравнений получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
и 
. (15)
Общее решение этих уравнений
,
,
где A, B, C, D – произвольные постоянные.
Постоянные A и B подбирают так, чтобы выполнялись условия (10) и (11), из которых следует, что X(0)=X(l)=0, так как T(t)≠0 (в противном случае u(x,t)=0). Учитывая полученные равенства, находим
А=0 и 
.
Так как B≠0 (иначе, было бы X=0 и u=0, что противоречит условию), то должно выполняться равенство
,
.
Найденные значения λ называют собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции X(x) называются собственными функциями.
Заметим, что, если в равенстве (14) вместо – λ взять число λ (λ>0), то первое из уравнений (15) будет иметь решение в виде
.
Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (10) и (11).
Зная 
, можем записать
.
Для каждого n получаем решение уравнения (9)
.
Так как исходное уравнение (9) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция
(16)
будет решением дифференциального уравнения (9), удовлетворяющим граничным условиям (10) и (11).
Найденное частное решение должно еще удовлетворять начальным условиям (12) и (13). Из условия (12) получим
.
Далее, дифференцируя члены ряда (16) по переменной t, из условия (13) будем иметь
.
Правые части двух последних равенств есть ряды Фурье для функций f(x) и φ(x), разложенных по синусам на интервале (0, l). Поэтому
. (17)
Итак, ряд (16), для которого коэффициенты Cn и Dn определяются по выписанным формулам, если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным и начальным условиям.
Пример. Найти решение краевой задачи для волнового уравнения
, 0
http://3ys.ru/metody-resheniya-differentsialnykh-uravnenij/volnovoe-uravnenie.html
http://pandia.ru/text/79/052/35879.php