Нахождение множества решений систем линейных неоднородных уравнений

Пусть задана неоднородная система линейных алгебраических уравнений размерности m × n .

Матрица называется расширенной матрицей системы, если наряду с коэффициентами при неизвестных, она содержит столбец свободных членов. Следовательно, размерность равна m × (n+1) .

Исследование любой системы линейных алгебраических уравнений начинается с преобразования ее расширенной матрицы методом Гаусса , который основан на следующих элементарных преобразованиях:

– перестановка строк матрицы;

– умножение строк матрицы на действительное отличное от руля число;

– поэлементное сложение строк матрицы;

– вычеркивание нулевой строки;

– транспонирование матрицы (в этом случае преобразования производятся по столбцам).

Элементарные преобразования приводят первоначальную систему к системе, ей эквивалентной. Системы называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Элементарные преобразования ранга матрицы не меняют.

На вопрос о наличии решений у неоднородной системы линейных уравнений отвечает следующая теорема.

Теорема 1.3 (теорема Кронекера-Капелли). Неоднородная система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу ее главной матрицы, то есть

Обозначим количество строк, оставшихся в матрице после метода Гаусса, через r (соответственно, в системе остается r уравнений). Эти строки матрицы называются базисными.

Если r = n , то система имеет единственное решение (является совместной определенной), ее матрица элементарными преобразованиями приводится к треугольному виду. Такую систему можно решить также методом Крамера и с помощью обратной матрицы .

Если r n (количество переменных в системе больше количеств а уравнений), матрица элементарными преобразованиями приводится к ступенчатому виду. Такая система имеет множество решений и является совместной неопределенной. В данном случае для нахождения решений системы необходимо выполнить ряд операций.

1. Оставить в левых частях уравнений системы r неизвестных (базисные переменные), остальные n — r неизвестных перенести в правые части (свободные переменные). После разделения переменных на базисные и свободные система принимает вид:

2. Из коэффициентов при базисных переменных составить минор (базисный минор), который должен быть отличен от нуля.

3. Если базисный минор системы (1.10) равен нулю, то одну из базисных переменных следует заменить на свободную; полученный базисный минор снова проверить на отличие от нуля.

4. Применяя формулы (1.6) метода Крамера, считая правые части уравнений их свободными членами, найти выражение базисных переменных через свободные в общем виде. Полученный при этом упорядоченный набор переменных системы является ее общим решением.

5. Придавая свободным переменным в (1.10) произвольные значения, вычислить соответствующие значения базисных переменных. Получаемый при этом упорядоченный набор значений всех переменных называется частным решением системы, соответствующим данным значениям свободных переменных. Система имеет бесконечное множество частных решений.

6. Получить базисное решение системы – частное решение, получаемое при нулевых значениях свободных переменных.

Заметим, что количество базисных наборов переменных системы (1.10) равно числу сочетаний из n элементов по r элементов C_n r . Так как каждому базисному набору переменных соответствует свое базисное решение, следовательно, количество базисных решений у системы также равно C_n r .

Пусть строки матрицы обозначены соответственно l ₁ ; l ₂ ;…; l_n . Строка l называется линейной комбинацией строк l ₁ ; l ₂ ;…; l_n матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа, то есть , .

Однородная система уравнений всегда совместна, так как имеет хотя бы одно – нулевое (тривиальное) решение. Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n переменными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель ∆ был равен нулю. Это означает, что ранг r ее главной матрицы меньше числа n неизвестных ( r n ) . В этом случае исследование однородной системы уравнений на общее и частные решения проводится аналогично исследованию неоднородной системы. Решения однородной системы уравнений обладают важным свойством: если известны два различных решения однородной системы линейных алгебраических уравнений, то их линейная комбинация также является решением этой системы. Нетрудно убедиться в справедливости следующей теоремы.

Теорема 1.4. Общее решение неоднородной системы уравнений представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы уравнений

Пример 1.7. Исследовать заданную систему уравнений и найти одно частное решение:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и применим к ней элементарные преобразования:

Так как r ( A ) =2 и , то по теореме 1.3 (Кронекера-Капелли) заданная система линейных алгебраических уравнений совместна. Количество переменных n =2 , т.е. r n , значит, система является неопределённой. Количество базисных наборов переменных системы равно . Следовательно, базисными могут быть 6 комплектов переменных: < x ₁ ; x ₂ >, < x ₁ ; x ₃ >, < x ₁ ; x ₄ >, < x ₂ ; x ₃ >, < x ₂ ; x ₄ >, < x ₃ ; x ₄ > . Рассмотрим один из них < x ₁ ; x ₂ > . Тогда систему, полученную в результате метода Гаусса, можно переписать в виде . Главный определитель . С помощью метода Крамера ищем общее решение системы.

По формулам (1.6) имеем

Данное выражение базисных переменных через свободные представляет собой общее решение системы:

При конкретных значениях свободных переменных из общего решения получаем частное решение системы. Например, частное решение соответствует значениям свободных переменных x ₃ = x ₄ = 17 . При x₃=0 x₄=0 получаем базисное решение системы

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определение количества решений, нахождение нормальной фундаментальной системы решений.

С помощью данной математической программы вы можете решить и исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Ввод дробного числа в виде десятичной дроби.
При вводе десятичной дроби, целую часть от дробной части можно отделять точкой или запятой :
Ввод: -2.34
Результат: $ -2<,>34 $

Ввод: -1,15
Результат: $ -1<,>15 $

Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: $$ -\frac<2> <3>$$

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 5&8/3
Результат: $$ 5\frac<8> <3>$$
Помните, что на ноль делить нельзя!

RND CFracNum Fill RND int Fill Start MathJax
Сюда ввести строку с GET параметрами :

Немного теории.

Системы линейных алгебраических уравнений

Основные определения

Система $m$ линейных алгебраических уравнений с $n$ неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида
$ \left\< \begin a_<11>x_1 + a_<12>x_2 + \cdots + a_<1n>x_n = b_1 \\ a_<21>x_1 + a_<22>x_2 + \cdots + a_<2n>x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_x_1 + a_x_2 + \cdots + a_x_n = b_m \end \right. \tag <1>$

Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от $n$ переменных $ x_1 , \ldots x_n $, а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.

Числа $a_ \in \mathbb $ называют коэффициентами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения $i$ и номером неизвестного $j$. Действительные числа $ b_1 , \ldots b_m $ называют свободными членами уравнений.

СЛАУ называют однородной, если $ b_1 = b_2 = \ldots = b_m = 0 $. Иначе её называют неоднородной.

Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных $ x_1^\circ, \ldots , x_n^\circ $, при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.

Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.

СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.

Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной. При $m=n$, т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.

Формы записи СЛАУ

Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.

Рассматривая коэффициенты $a_$ СЛАУ при одном неизвестном $x_j$ как элементы столбца, а $x_j$ как коэффициент, на который умножается столбец, из (1) получаем новую форму записи СЛАУ:
$ \begin a_ <11>\\ a_ <21>\\ \vdots \\ a_ \end x_1 + \begin a_ <12>\\ a_ <22>\\ \vdots \\ a_ \end x_2 + \ldots + \begin a_ <1n>\\ a_ <2n>\\ \vdots \\ a_ \end x_n = \begin b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end $
или, обозначая столбцы соответственно $ a_1 , \ldots , a_n , b $,
$ x_1 a_1 + x_2 a_2 + \ldots + x_n a_n = b \tag <2>$

Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца $b$ в виде линейной комбинации столбцов $ a_1, \ldots, a_n $. Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.

Поскольку $A \;,\; X$ и $B$ являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде $AX=B$ называют матричной. Если $B=0$, то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид $AX=0$.

Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида $AX=B$
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.

Критерий совместности СЛАУ

«Триединство» форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).

Матрицу
$ A = \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ \end $
называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу
$ (A|B) = \left( \begin a_ <11>& a_ <12>& \cdots & a_ <1n>& b_1 \\ a_ <21>& a_ <22>& \cdots & a_ <2n>& b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_ & a_ & \cdots & a_ & b_m \end \right) $
расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ $AX=B$ необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы $A$ был равен рангу её расширенной матрицы $ (A|B) $.

Формулы Крамера

Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера :
$$ x_i = \frac<\Delta_i> <|A|>\;,\quad i=\overline <1,n>\tag <3>$$
где $\Delta_i$ — определитель матрицы, получающейся из матрицы $A$ заменой $i$-го столбца на столбец свободных членов.

Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.

Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.

Однородные системы

Теорема. Если столбцы $ X^<(1)>, X^<(2)>, \ldots , X^ <(s)>$ — решения однородной СЛАУ $AX=0$, то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Естественно попытаться найти такие решения $ X^<(1)>, \ldots , X^ <(s)>$ системы $AX=0$, чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.

Определение. Любой набор из $k=n-r$ линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ $AX=0$, где $n$ — количество неизвестных в системе, а $r$ — ранг её матрицы $A$, называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице $A$ однородной СЛАУ $AX=0$ фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независимыми.

Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ $AX=0$ с $n$ неизвестными и $ \textA = r $. Тогда существует набор из $k=n-r$ решений $ X^<(1)>, \ldots , X^ <(k)>$ этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.

Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений называют фундаментальной нормальной системой решений.

Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой :
$$ X = c_1X^ <(1)>+ \ldots + c_kX^ <(k)>$$
где постоянные $ c_i \;, \quad i=\overline <1,k>$, принимают произвольные значения.

Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.

Неоднородные системы

Рассмотрим произвольную СЛАУ $AX=B$. Заменив столбец $B$ свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ $AX=0$, соответствующую неоднородной СЛАУ $AX=B$. Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.

Теорема. Пусть столбец $X^\circ$ — некоторое решение СЛАУ $AX=B$. Произвольный столбец $X$ является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление $X = X^\circ + Y $, где $Y$ — решение соответствующей однородной СЛАУ $AY=0$.

Следствие. Пусть $X’$ и $X»$ — решения неоднородной системы $AX=B$. Тогда их разность $ Y = X’ — X» $ является решением соответствующей однородной системы $AY=0$.

Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.

Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых, найти частное решение $X^\circ$ этой системы, чтобы свести её к однородной системе.

Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть $X^\circ$ — частное решение СЛАУ $AX=B$ и известна фундаментальная система решений $ X^<(1)>, \ldots , X^ <(k)>$ соответствующей однородной системы $AX=0$. Тогда любое решение СЛАУ $AX=B$ можно представить в виде $$ X = X^\circ + c_1 X^ <(1)>+ c_2 X^ <(2)>+ \ldots + c_k X^ <(k)>$$
где $ c_i \in \mathbb \;, \quad i=\overline <1,k>$.
Эту формулу называют общим решением СЛАУ.

Неоднородные системы

Рассматривается неоднородная система линейных уравнений Ах = b с n-неизвест-ными.

12°. (Кронекер-Капелли). Система Ах = b совместна тогда, и только тогда, когда ранг главной матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы rangA =rangÃ (Ã = (A|b)).

◀ 1) Пусть система Ах = b – совместна Þ $с такой, что Ас = b т.е. c₁S₁ + c₂S₂ +…+ c_nS_n=b. Таким образом, последний столбец матрицы Ã является линейной комбинацией столбцов матрицы А Þ rangA = rangÃ .

13°. Если неоднородная система линейных уравнений совместна и rangA = rangÃ = n,то она имеет единственное решение (по теореме Крамера).

Пусть теперь rangA = rangÃ = r ≤ n.

14°. Разность двух различных решений неоднородной системы линейных уравнений является решением соответствующей однородной системы, т.е. если c (2) и c (1) два решения неоднородной системы Ах = b, то c (2) – c (1) решением однородной системы Ах = 0.

◀ А(c (2) – c (1) ) = Аc (2) – Аc (1) = b – b = 0,т.е. c (2) – c (1) = c (0) . Здесь через c (0) обозначено некоторое решение однородной системы. ▶

15°. Сумма любого решения однородной системы c (0) и некоторого решения неоднородной системы c (1) есть решение неоднородной системы.

Предыдущие два утверждения доказывают теорему об общем виде решения неоднородной системы и линейных уравнений.

16°. Общее решение неоднородной системы уравнений есть сумма общего решения однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы. Эту фразу можно записать с помощью легко запоминающейся аббревиатуры:

О. Р. Н. С. = О. Р. О. С. + Ч. Р. Н. С.

Способ решения неоднородных систем линейных уравнений таков:

1). Если rangA = rangÃ = n, то решение единственно и может быть найдено по Крамеру;

2). ЕслиrangA = rangÃ = r (неодн.) = x (частн.) +

Система векторов <e₁, e₂, . e_n_–r> называется фундаментальной системой решений для системы уравнений Ах = 0.

Если М – множество решений неоднородной системы уравнений, x (r) – некоторое частное решение неоднородной системы уравнений, L– пространство решений соответствующей линейной однородной системы, то M = x (r) + L, т.е. М – есть линейное многообразие размерности n – r.

§8. Метод Гаусса РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. (метод исключения неизвестных)

Решить систему уравнений: .

Записав расширенную матрицу системы, преобразуем ее с помощью преобразований не изменяющих ранг матрицы. Цель: в первом столбце все элементы, кроме одного, должны стать равными нулю. Это равносильно тому, что из 2 го , 3 го и 4 го уравнений будет исключена неизвестная х₁. Для достижения цели первую строку, умноженную на 2, –3 и –1 прибавим, соответственно, к 2 ой , 3 ей и 4 ой строке. Получим:

Примечание: здесь и в дальнейшем знак

, стоящий между двумя матрицами означает, что справа и слева от этого знака стоят матрицы одинакового ранга и, следовательно, системы линейных уравнений с такими матрицами имеют одинаковые решения.

Далее вторую строку, умноженную на –1 прибавим к 4 ой строке, тем самым исключив х₂ из третьего и четвертого уравнений и, наконец исключим х₃ из 4 го уравнения, прибавив третью строку, умноженную на –1 к четвертой:

Имеем rangA = rangÃ = 3. Система совместна. n – r =5 –3 = 2, dimL =dimM =2. Так как, размерность пространства решений однородной системы равна 2, то в системе имеется две свободных неизвестных. Выберем в качестве свободных переменных х₃, х₄. Отделим в матрице свободные неизвестные вертикальной пунктирной линией: .

Далее рассмотрим однородную систему уравнений с матрицей . Тогда

Если положить х₄ = х₅ = 0, то получим х₃ = 14, х₂ = –3, х₁ = –3, т.е. (–3, –3, 14, 0, 0) еще одно частное решение данной системы. Следовательно, общее решение исходной системы можно записать и в таком виде: х = (–3, –3, 14, 0, 0) + a(2, 2, –6, 1, 0) + b(2, 2, –7, 0, 1), где a, b – любые.

Нужно обратить внимание и на то, что разность двух частных решений неоднородной системы (–3, –3, 14, 0, 0) – (1, 1, 1, 1, 1) есть решение соответствующей однородной системы уравнений.

§9. «Альтернатива Фредгольма»

Для квадратной системы (j =1, 2, …, п):

а) или система имеет решение, притом единственное при любых b_j, если соответствующая однородная система имеет только тривиальное решение (detA ≠0),

б) или соответствующая однородная система имеет ненулевые решения (detA = 0) и, следовательно, есть такие b_j, при которых система не имеет решений.

источники:

http://www.math-solution.ru/math-task/slau

http://helpiks.org/3-38311.html