Нахождение неизвестного уменьшаемого решение уравнений

Уравнение (нахождение неизвестного уменьшаемого)

Разделы: Математика

Л.Г. Петерсон. Математика. 1 класс (1-4)

Часть III.

Урок 15.

Цели:

• научить решать уравнения с неизвестным уменьшаемым на основе взаимосвязи между частью и целым;
• закрепить умение решать текстовые задачи, навыки быстрого счета в пределах девяти;
• развивать мыслительные операции, внимание, память, речь, познавательные интересы, творческие способности.

Оборудование у учителя: пословицы, алгоритмы с прошлых уроков, алгоритм к новой теме, иллюстрации к «Городу Уравнений», правила поведения в «Городе Уравнений».

У детей: листочки с заданиями, тетрадь, учебник, карточки с цифрами, схемы к задачам.

I. Самоопределение.

— Здравствуйте! Продолжим наше путешествие по загадочному «Городу Уравнений». В нем почти каждый житель – «мистер Х». Чтобы с ними познакомиться, нужно знать правила. А мы знаем эти правила? (На доске написан алгоритм. По мере того, как дети озвучивают правило, учитель последовательно открывает алгоритм).

1) Назови части и целое.
2) Назови неизвестное.
3) Проговори правило, по которому нужно найти неизвестное.
4) Действуй по правилам.

— А еще что мы умеем делать на уроках математики? (Решать задачи, считать, …) Сейчас мы отправляемся в путь искать новых друзей. Помогать нам в пути будет народная мудрость.

— Пока пословицы закрыты, но с помощью знаний мы их откроем.

— Итак, хотите ли вы узнать что-то новое на уроке? (Да). Тогда в путь.

II. Актуализация знаний. (У детей на столе карточки с цифрами).

1) Игра «День-ночь».

— Закройте глаза, считайте про себя. В конце игры поднимите карточку с правильным ответом. Удачи вам!

— 8-7+0+6-5+3-0+4-6+3 (6) (Дети поднимают карточку с правильным ответом).

— Какие знания вам пригодились, чтобы правильно посчитать? (Знание состава числа).

— Расскажите всё о числе 6.

— Как можно получить число 6?

— Все справились? (Да). (Открывается первая часть пословицы: «Больше науки — …»).

— Чтобы прочитать пословицы, решите задачи и подберите к ним схемы. (У детей в конвертах на столе схемы).

— У Пятачка было 3 желтых шарика, а красных на 1 шарик больше. Сколько красных шариков было у пятачка? (Дети выбирают нужную схему, «одевают». После этого на доске открывается схема для самоконтроля).

— Проверим, что ищем? (Большее число).

— Каким действием? (Сложением).

— Какая схема подойдет? (Дети поднимают схему).

— Измените условие задачи так, чтобы задача решалась в два действия. (Сколько всего шариков у Пятачка?).

— Какая будет схема? (Дети поднимают карточку).

— Что нужно найти? (целое).

— Все справились? (Открываю вторую часть пословицы: «… — умнее руки».)

III. Постановка учебной задачи. (У детей листочки с уравнениями и уравнение на доске

— Следующее задание у вас на листочках.

— Что нужно сделать? (Решить уравнение).

— Чем для этого нужно воспользоваться? (Нашим алгоритмом).

— Решили? (Не все уравнения получились).

— А почему? (Мы же знаем правила и умеем их применять).

— В чем трудность? (Уравнения только похожи на те, которые мы раньше решали, а в двух последних – «Незнакомцы» другие).

— Чем же они отличаются? (Это уменьшаемое).

— Что же мы должны научиться делать? (Находить неизвестные уменьшаемые).

— Какая же цель урока, ребята? (Вывести правило нахождения неизвестного уменьшаемого).

— А какая же тема урока? (Уравнения с неизвестным уменьшаемым). (На доске открывается тема урока).

IV. Построение проекта выхода из затруднения.

— Можем ли мы воспользоваться известными правилами поведения? (Да).

— Почему? (Другое неизвестное, но можно идти по алгоритму).

— Как же мы поступим? (Назовем части и целое). (Дети комментируют уравнение: называют части и целое «компоненты»).

— Как найти неизвестное уменьшаемое (целое)? (Нужно сложить известные части). (К доске выходят дети, решают уравнения, комментируя).

(В каждом уравнении выделяется целое и части).

— Какое же правило у нас получилось? (Чтобы найти уменьшаемое или целое, нужно сложить части).

— Можно ли использовать наше правило для всех случаев? (Можно).

— А как это записать в общем виде? (Ученик выходит к доске и, комментируя, записывает).

— Что значит в общем виде? (В буквенном. А вместо букв можно подставлять и числа, и значки).

— Вы знаете, у меня получилась такая же запись. (Открываю на доске).

— Давайте проверим, не ошиблись ли мы. А как мы можем проверить? (В учебнике).

— Правильно. Откройте страницу 28 учебника, проверьте.

— Мы хорошо потрудились? (Да).

— Вот вам подарочек. (Открываю пословицу: «Без хорошего труда нет плода»).

— А что стало плодом наших стараний? (Правило).

— Кто может нам его еще раз озвучить? (Ученик проговаривает правило).

— Давайте отдохнем. (Физ. минутка).

Почтальон потянулся,
Раз нагнулся, два нагнулся,
Руки в стороны развел,
Почтовый ящик не нашел.
Чтобы ящик отыскать,
Нужно на носочки встать.

V. Первичное закрепление.

— Всё? Теперь мы все умеем. На этом и закончим или нужно сделать что-то еще? (Потренироваться, а то вдруг забудем).

— Хорошо. Откройте учебники на 28 странице. Выберите задание, которое на ваш взгляд относится к теме урока. (№2а,б). (К доске поочередно выходят два ученика и решают уравнения с комментированием).

VI. Самостоятельная работа.

— Раз теперь все понятно, теперь можно и самостоятельно поработать.

— Выберите себе задание на странице 28.

х=цап+ля х=мол+от

х=цапля х=молот

(Учитель идет по классу, проверяет. Тот, кто все вделал правильно, может помочь учителю проверить).

— Какой получился ответ? (Дети называют).

— Проверьте по алгоритму. (На доске алгоритм. Дети проверяют).

— Кто ошибся? Почему? Как исправить? (Нужно еще раз проговорить алгоритм и выполнить по правилу).

— Оцените свою работу. У кого все получилось, поставьте плюс.

VII. Включение в систему знаний и повторения.

— Выполните задание на странице 28 №3а,б,в.

— Что нужно сделать? (Решить уравнение).

— Как будеи решать? (Вспомним правило поведения и правило нахождения неизвестных). (Дети по-одному выходят к доске, комментируют, решают уравнение).

— Что неизвестно? Как найти? (Проговаривают правило).

Задача.

На полке в магазине лежало 8 мячей, а пирамид на 2 меньше. Сколько всего игрушек лежало на полке?

— О чем в задаче идет речь? (Об игрушках).

— Что известно в задаче? Что не известно? Можно ли сразу ответить на вопрос? Почему? Как найти, сколько было игрушек? (Сначала нужно найти, сколько было пирамид, а потом найти сколько было игрушек всего). (Дети на доске составляют краткую запись, схему решения).

VIII. Итог урока.

— Прежде, чем я вас о чем-то спрошу, прочитайте пословицу. (Открываю пословицу: «Не говори, чему учился, а говори, что узнал»).

— Что же вы узнали? (Как найти неизвестное уменьшаемое).

— Как же это нужно сделать? (Дети озвучивают правило).

— Трудным был путь? (Нет).

— Осталось что-нибудь непонятное?

— Если да, то что нужно сделать? (Еще раз выполнить аналогичное задание, проговаривая правило).

— В заключении я дарю вам еще одну народную мудрость. (На доске открывается пословица: «У пространства нет размера, а у знаний нет предела»).

— Как вы думаете, что я хотела сказать вам этой пословицей? (…)

Нахождение неизвестного слагаемого, множителя: правила, примеры, решения

Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров. В первую очередь надо научиться решать уравнения, слева у которых стоит разность, сумма, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа другое число. Иными словами, в этих уравнениях есть одно неизвестное слагаемое и либо уменьшаемое с вычитаемым, либо делимое с делителем и т.д. Именно об уравнениях такого типа мы с вами поговорим.

Эта статья посвящена основным правилам, позволяющим найти множители, неизвестные слагаемые и др. Все теоретические положения будем сразу пояснять на конкретных примерах.

Нахождение неизвестного слагаемого

Допустим, у нас есть некоторое количество шариков в двух вазах, например, 9 . Мы знаем, что во второй вазе 4 шарика. Как найти количество во второй? Запишем эту задачу в математическом виде, обозначив число, которое нужно найти, как x. Согласно первоначальному условию, это число вместе с 4 образуют 9 , значит, можно записать уравнение 4 + x = 9 . Слева у нас получилась сумма с одним неизвестным слагаемым, справа – значение этой суммы. Как найти x ? Для этого надо использовать правило:

Для нахождения неизвестного слагаемого надо вычесть известное из суммы.

В данном случае мы придаем вычитанию смысл, который является обратным смыслу сложения. Иначе говоря, есть определенная связь между действиями сложения и вычитания, которую можно в буквенном виде выразить так: если a + b = c , то c − a = b и c − b = a , и наоборот, из выражений c − a = b и c − b = a можно вывести, что a + b = c .

Зная это правило, мы можем найти одно неизвестное слагаемое, используя известное и сумму. Какое именно слагаемое мы знаем, первое или второе, в данном случае неважно. Посмотрим, как применить данное правило на практике.

Возьмем то уравнение, что у нас получилось выше: 4 + x = 9 . Согласно правилу, нам нужно вычесть из известной суммы, равной 9 , известное слагаемое, равное 4 . Вычтем одно натуральное число из другого: 9 — 4 = 5 . Мы получили нужное нам слагаемое, равное 5 .

Обычно решения подобных уравнений записывают следующим образом:

1. Первым пишется исходное уравнение.
2. Далее мы записываем уравнение, которое получилось после того, как мы применили правило вычисления неизвестного слагаемого.
3. После этого пишем уравнение, которое получилось после всех действий с числами.

Такая форма записи нужна для того, чтобы проиллюстрировать последовательную замену исходного уравнения равносильными и отобразить процесс нахождения корня. Решение нашего простого уравнения, приведенного выше, правильно будет записать так:

4 + x = 9 , x = 9 − 4 , x = 5 .

Мы можем проверить правильность полученного ответа. Подставим то, что у нас получилось, в исходное уравнение и посмотрим, выйдет ли из него верное числовое равенство. Подставим 5 в 4 + x = 9 и получим: 4 + 5 = 9 . Равенство 9 = 9 верное, значит, неизвестное слагаемое было найдено правильно. Если бы равенство оказалось неверным, то нам следовало бы вернуться к решению и перепроверить его, поскольку это знак допущенной ошибки. Как правило, чаще всего это бывает вычислительная ошибка или применение неверного правила.

Нахождение неизвестного вычитаемого или уменьшаемого

Как мы уже упоминали в первом пункте, между процессами сложения и вычитания существует определенная связь. С ее помощью можно сформулировать правило, которое поможет найти неизвестное уменьшаемое, когда мы знаем разность и вычитаемое, или же неизвестное вычитаемое через уменьшаемое или разность. Запишем эти два правила по очереди и покажем, как применять их при решении задач.

Для нахождения неизвестного уменьшаемого надо прибавить вычитаемое к разности.

Например, у нас есть уравнение x — 6 = 10 . Неизвестно уменьшаемое. Согласно правилу, нам надо прибавить к разности 10 вычитаемое 6 , получим 16 . То есть исходное уменьшаемое равно шестнадцати. Запишем все решение целиком:

x − 6 = 10 , x = 10 + 6 , x = 16 .

Проверим получившийся результат, добавив получившееся число в исходное уравнение: 16 — 6 = 10 . Равенство 16 — 16 будет верным, значит, мы все подсчитали правильно.

Переходим к следующему правилу.

Для нахождения неизвестного вычитаемого надо вычесть разность из уменьшаемого.

Воспользуемся правилом для решения уравнения 10 — x = 8 . Мы не знаем вычитаемого, поэтому нам надо из 10 вычесть разность, т.е. 10 — 8 = 2 . Значит, искомое вычитаемое равно двум. Вот вся запись решения:

10 — x = 8 , x = 10 — 8 , x = 2 .

Сделаем проверку на правильность, подставив двойку в исходное уравнение. Получим верное равенство 10 — 2 = 8 и убедимся, что найденное нами значение будет правильным.

Перед тем, как перейти к другим правилам, отметим, что существует правило переноса любых слагаемых из одной части уравнения в другую с заменой знака на противоположный. Все приведенные выше правила ему полностью соответствуют.

Нахождение неизвестного множителя

Посмотрим на два уравнения: x · 2 = 20 и 3 · x = 12 . В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.

Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.

Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a · b = c при a и b , не равных 0 , c : a = b , c : b = c и наоборот.

Вычислим неизвестный множитель в первом уравнении, разделив известное частное 20 на известный множитель 2 . Проводим деление натуральных чисел и получаем 10 . Запишем последовательность равенств:

x · 2 = 20 x = 20 : 2 x = 10 .

Подставляем десятку в исходное равенство и получаем, что 2 · 10 = 20 . Значение неизвестного множителя было выполнено правильно.

Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x · 0 = 11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на 0 , а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.

Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от 0 . Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.

Нахождение неизвестного делимого или делителя

Еще один случай, который нам нужно рассмотреть, – это нахождение неизвестного делимого, если мы знаем делитель и частное, а также нахождение делителя при известном частном и делимом. Сформулировать это правило мы можем с помощью уже упомянутой здесь связи между умножением и делением.

Для нахождения неизвестного делимого нужно умножить делитель на частное.

Посмотрим, как применяется данное правило.

Решим с его помощью уравнение x : 3 = 5 . Перемножаем между собой известное частное и известный делитель и получаем 15 , которое и будет нужным нам делимым.

Вот краткая запись всего решения:

x : 3 = 5 , x = 3 · 5 , x = 15 .

Проверка показывает, что мы все подсчитали верно, ведь при делении 15 на 3 действительно получается 5 . Верное числовое равенство – свидетельство правильного решения.

Указанное правило можно интерпретировать как умножение правой и левой части уравнения на одинаковое отличное от 0 число. Это преобразование никак не влияет на корни уравнения.

Переходим к следующему правилу.

Для нахождения неизвестного делителя нужно разделить делимое на частное.

Возьмем простой пример – уравнение 21 : x = 3 . Для его решения разделим известное делимое 21 на частное 3 и получим 7 . Это и будет искомый делитель. Теперь оформляем решение правильно:

21 : x = 3 , x = 21 : 3 , x = 7 .

Удостоверимся в верности результата, подставив семерку в исходное уравнение. 21 : 7 = 3 , так что корень уравнения был вычислен верно.

Важно отметить, что это правило применимо только для случаев, когда частное не равно нулю, ведь в противном случае нам опять же придется делить на 0 . Если же частным будет нуль, возможны два варианта. Если делимое также равно нулю и уравнение выглядит как 0 : x = 0 , то значение переменной будет любым, то есть данное уравнение имеет бесконечное число корней. А вот уравнение с частным, равным 0 , с делимым, отличным от 0 , решений иметь не будет, поскольку таких значений делителя не существует. Примером может быть уравнение 5 : x = 0 , которое не имеет ни одного корня.

Последовательное применение правил

Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.

У нас есть уравнение вида 3 · x + 1 = 7 . Вычисляем неизвестное слагаемое 3 · x , отняв от 7 единицу. Получим в итоге 3 · x = 7 − 1 , потом 3 · x = 6 . Это уравнение решить очень просто: делим 6 на 3 и получаем корень исходного уравнения.

Вот краткая запись решения еще одного уравнения ( 2 · x − 7 ) : 3 − 5 = 2 :

( 2 · x − 7 ) : 3 − 5 = 2 , ( 2 · x − 7 ) : 3 = 2 + 5 , ( 2 · x − 7 ) : 3 = 7 , 2 · x − 7 = 7 · 3 , 2 · x − 7 = 21 , 2 · x = 21 + 7 , 2 · x = 28 , x = 28 : 2 , x = 14 .

Конспект урока по математике. 4 класс ТЕМА: НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО УМЕНЬШАЕМОГО, НЕИЗВЕСТНОГО ВЫЧИТАЕМОГО.
план-конспект урока по математике (4 класс) по теме

ТЕМА: НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО УМЕНЬШАЕМОГО, НЕИЗВЕСТНОГО ВЫЧИТАЕМОГО.

ЦЕЛИ:

Образовательные: познакомить с решением уравнений на основе связи уменьшаемого с вычитаемым и разностью, выраженной в виде выражения;

Развивающие: совершенствовать навыки сложения и вычитания многозначных чисел; закреплять умение преобразовывать величины; решать задачи, развивать внимание, познавательные способности учащихся, формировать коммуникативные умения и навыки.

Воспитательные: воспитывать интерес к предмету, расширять кругозор, через игру и занимательный материал, чувство коллективизма, взаимопомощи, адекватной самооценки.

Здоровьесберегающие: создание благоприятных условий на уроке.

Скачать:

Предварительный просмотр:

КОНСПЕКТ УРОКА ПО МАТЕМАТИКЕ

ТЕМА: НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО УМЕНЬШАЕМОГО, НЕИЗВЕСТНОГО ВЫЧИТАЕМОГО.

Образовательные: познакомить с решением уравнений на основе связи уменьшаемого с вычитаемым и разностью, выраженной в виде выражения;

Развивающие: совершенствовать навыки сложения и вычитания многозначных чисел; закреплять умение преобразовывать величины; решать задачи, развивать внимание, познавательные способности учащихся, формировать коммуникативные умения и навыки.

Воспитательные: воспитывать интерес к предмету, расширять кругозор, через игру и занимательный материал, чувство коллективизма, взаимопомощи, адекватной самооценки.

Здоровьесберегающие : создание благоприятных условий на уроке.

Не садятся на мель,

А по курсу идут

Сквозь туман и метель?

Потому что, потому что,

Вы заметьте — ка,

Ребята, сегодня мы отправимся с вами в морское путешествие. Каждый из вас будет капитаном судна, которое вы построите сами. ( Работа в паре)

Молодцы! Теперь нам нужно определить курс нашего путешествия, и чтобы не сесть на мель, нужно преодолеть много испытаний и препятствий.

Продумать маршрут нашего путешествия.

х — 160 = 420 х : 8 = 240

60 + х = 130 х * 8 = 240

2. Актуализация знаний.

— Найдите «лишнее» число в каждом ряду. Увеличь его в 2 раза, в 3 раза, в 4 раза.

Объяснить, почему это число « лишнее».

-100,900, 202, 500, 800.

— 873, 524, 1004, 678, 346.

— 8004, 4567, 2345,908, 7853.

Рыба — меч живет 6 лет, а дельфин — 26 лет. На сколько лет дольше живет дельфин, чем рыба – меч?

Как узнали? ( Чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, нужно из большего вычесть меньшее.)

Масса атлантического осетра 320 кг, а щука в 8 раз меньше. Сколько весит щука?

Для того чтобы подняться на корабль нужно преодолеть препятствие:

92: 2 * 3 + 2: 10: 2 * 1000 = 7000

Расшифруйте курс нашего путешествия, записывайте ответ и букву из шифра.

н — 24 * 10 : 8 и — 600- 120: 2

а — 54 * 10 : 9 у- 810: 9 * 10

в — 420 — 280 : 7 е- 450 : 5 * 10

Наш курс » Уравнение»

3. Постановка цели урока.

— Среди данных записей подчеркните уравнения. ( Работа в парах)

159 — 104 = 55 х + 15. 22

с . к 75 — х = 9 * 7

х — 34 = 48 : 3 120 + 65 + 15 = 200

— На какие группы можно разделить эти записи? ( Равенства, неравенства, уравнения)

— Прочитайте уравнения, которые вы подчеркнули. (75 – х = 9 * 7, х – 34 = 48 : 3)

— Что вы можете сказать об этих уравнениях?

— Что нужно найти в этих уравнениях.

— Какую цель поставим на этом уроке. ( Научиться решать уравнения на основе связи уменьшаемого с вычитанием и разностью)

4. «Открытие» детьми нового знания.

— Работа в тетради.

Найди закономерность и продолжи ряд чисел:

Работа по учебнику.

— Что значит решить уравнение?

— А что мы называем уравнением?

-Как называются числа при вычитании.

-Как находим неизвестные уменьшаемое, вычитаемое?

С.63 Объясни решение уравнений и их проверку.

Вспомните алгоритм решения уравнений, который мы получили на прошлом уроке.

Алгоритм решения уравнения:

— найти значение числового выражения;

— определить компоненты действий;

— применить правило его нахождения;

— выполнить действие и получить ответ;

Первичное закрепление с. 63 № 284

Самостоятельная работа. ( Два ученика работают у доски)

Проверка (работу учащихся проверяет класс, высказывают свое мнение).

6. Повторение ранее изученного.

Пора обедать! Но обед не готов, т.к. кок не может решить примеры и просчитать меню. Поможем ему.

№ 285 — фронтальная работа у доски

Решение задачи № 287

— Чтение задачи. Самостоятельное выполнение.

Индивидуальная работа со слабоуспевающими.

— Проверка решения задачи.

№ 290 — самостоятельная работа. Взаимопроверка.

№ 289, № 288. Выполнить устно.

7. Подведение итогов урока

— Что нового узнали об уравнениях. ( Уравнения бывают составными)

— Кто еще не усвоил алгоритм решения уравнений?

— Кому они показались не очень сложными?

— Кто довел свой корабль до конца пути без затруднений в новой теме? Поздравьте друг друга с удачным плаванием и прибытием на берег!