Нахождение производной у системы уравнений

Пошаговый калькулятор производных онлайн

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Производная параметрической функции

Результат

Примеры производных функции, заданной параметрически

• Степенные функции
• Тригонометрические функции

Указанные выше примеры содержат также:

• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
• число Пи pi
• комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

Системы уравнений с частными производными. Характеристики

Для решения систем уравнений с частными производными первого порядка могут быть использованы различные разностные схемы метода сеток, разработанные для одного уравнения. С этой целью формально систему уравнений можно записать в векторной форме с помощью одного уравнения, и тогда вид разностных формул сохраняется таким же, как и для скалярного уравнения. Разница состоит в том, что вместо скалярной сеточной функции вводится векторная.

Рассмотрим систему двух квазилинейных уравнений относительно искомых функций :

(2.60)

Коэффициенты этой системы переменные и зависят от х, t, U, V. Введем следующие обозначения: U — искомый вектор; F — вектор правой части; А, В — матрицы коэффициентов:

Запишем систему уравнений (2.60) в векторном виде:

Для решения этого квазилинейного векторного уравнения могут быть использованы различные разностные схемы, которые применяются для решения одного уравнения.

Мы не будем повторять сказанное ранее для одного уравнения, а остановимся на одном частном случае системы (2.60), важном для приложений. Речь идет о системах гиперболического типа. Введем матрицу С где α, β — некоторые числа. Тогда определитель этой матрицы

(2.61)

является квадратичной формой относительно α и β,т.е.

(2.62)

где коэффициенты q1, q2, q3, легко выразить через элементы матриц А, В, раскрывая определитель (2.61).

Система уравнений с частными производными первого порядка (2.60) называется гиперболической,если квадратичная форма (2.62) разлагается на вещественные линейные множители:

причем векторы неколлинеарны. Эти векторы в каждой точке плоскости (х,t) образуют два направления, которые называются характеристическими. Линия, касательная к которой в каждой точке имеет характеристическое направление, называется характеристикой. Через каждую точку проходят две характеристики, соответствующие двум характеристическим направлениям. Таким образом, всю плоскость (х, t) можно покрыть двумя семействами характеристик (рис. 2.18).

Рис. 2.18. Характеристики

Заметим, что в случае системы уравнений (2.60) с постоянными коэффициентами характеристические направления, если они существуют, постоянны для всех точек плоскости. Им соответствуют два семейства прямолинейных характеристик. В самом общем случае, когда коэффициенты системы (2.60) зависят от х, t, U, V, характеристики могут существовать в одной части плоскости (х, t) и отсутствовать в другой. Следовательно, гиперболичность системы (2.60) может быть не на всей плоскости, а лишь в некоторой области.

Наряду с гиперболическими системами существуют также параболические (с одним семейством характеристик) и эллиптические (действительных характеристик нет) системы.

Характеристики можно использовать для построения алгоритма численного решения системы уравнений с частными производными в области ее гиперболичности. Такой способ решения называется методом характеристик.

Не приводя подробных выкладок и опуская сами формулы, изложим идею метода характеристик. Рассмотрим задачу Коши. Пусть при t = 0 заданы начальные значения функций . Выбираем любой отрезок [а,b] на оси х и разбиваем его на части точками (рис. 2.19). В данном случае принято n= 4.

Рис. 2.19. К решению задачи Коши методом характеристик

Из точки А0 проводим характеристику первого семейства, из А1 — второго. Находим точку пересечения В0. Используя некоторые соотношения (характеристические) вдоль отрезков характеристик А0В0 и А1В0,заменяющие исходные уравнения, вычисляем искомые функции в точке В0. Аналогично находим решение в других точках слоя В. При этом в отличие от метода сеток этот слой не является прямолинейным отрезком t= const, а определяется точками пересечения характеристик.

Далее вычисляем искомые значения в точках слоев С, Dи т.д. При этом каждый раз (при решении задачи Коши) при переходе от слоя к слою число узлов уменьшается на единицу, так что на последнем слое получается лишь один узел. Область решения задачи Коши представляет собой криволинейный треугольник с кусочно гладкими сторонами.

При решении краевой задачи используют значения искомых функций на границах. В этом случае расчетная область изменяется: она прилегает к границе х = const, на которой заданы значения функций U(x), V(x). При этом вблизи границы используют характеристики одного семейства, выходящие из границы и попадающие в расчетную область. Если граничные условия задают при двух значениях х, то алгоритм метода характеристик значительно усложняется.

Достоинством метода характеристик является то, что он основан на физической сущности задачи, поскольку возмущения распространяются по характеристикам. Метод позволяет выявить разрывы в решении. Недостатком метода является нерегулярность получаемой сетки, поскольку узлы располагаются неравномерно (в точках пересечения характеристик).

Для устранения этого недостатка разработаны так называемые сеточно-характеристические методы. Их идея состоит в том, что сетка фиксируется заранее, а характеристики проводятся «назад» из узлов (j+ 1)-ого слоя до пересечения с j-ым слоем. Значения U, Vв точках пересечения вычисляются путем интерполяции по ранее найденному решению в узлах j-ого слоя.

Геометрическая интерпретация сеточно-характеристического метода показана на рис. 2.20. Здесь точками отмечены заранее выбранные узлы; штриховые линии — отрезки характеристик. Значения функций в точках пересечения А и В находятся интерполированием решения в узлах и Эти значения используют для определения решения в расчетном узле (i, j+1).

Рис. 2.20. Геометрическая интерпретация сеточно-характеристического метода