Нахождение центра и радиуса окружности по уравнению

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Этот калькулятор проверяет, является ли введенное уравнение общим уравнением окружности, и вычисляет координаты центра и радиуса окружности, если это возможно. Описание способа решения подобных задач находится под калькулятором

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Уравнение НЕ является общим уравнением окружности

Приведение общего уравнения окружности к стандартному виду

Калькулятор выше можно применять для решения задач на уравнение окружности. Чаще всего вы имеете дело с уравнением окружности, выраженном в так называемом стандартном виде

Из этого уравнения достаточно легко найти центр окружности — это будет точка с координатами (a,b), и радиус окружности — это будет квадратный корень из правой части уравнения.

Однако, если возвести в квадрат выражения в скобках и перенести правую часть налево, то уравнение станет выглядеть примерно так:

Это — уравнение окружности в общем виде. Здесь радиус и центр окружности уже не выделены явно, и в задачах обычно просят их найти именно по общему виду уравнения окружности.

Способ решения такого рода задач следующий:

Перегруппируем слагаемые уравнения

Как видим, выражение в конце это уравнение окружности в стандартном виде, из которого уже легко получить и координаты центра окружности и ее радиус. Если же справа получилось отрицательное число — значит заданное вначале уравнение не является уравнением окружности (бывают задачи и на такую проверку). Калькулятор тоже проверяет это условие.

Для решения обратной задачи — нахождения общего уравнения окружности по координатам центра и радиусу — можно использовать калькулятор Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Найти центр и радиус окружности

Если окружность задана уравнением вида

найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.

Определить по уравнению окружности координаты её центра и радиуса:

Таким образом, центр данной окружности — точка (3;7), радиус R=2.

a=-2, b=5, R²=1. Окружность с центром в точке (-2;5) и радиусом 1.

Центр окружности — (0;-3), радиус R=3.

Центр — в точке (6;0), радиус R=√5.

Это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат. Центр — O(0;0), радиус R=√11.

Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением вида

нужно дополнить его до полных квадратов, чтобы привести к привычному виду.

Для этого сначала сгруппируем слагаемые

затем прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого из формулы квадрата разности (2ax- удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Первое — x, второе — a)

При a²+b²-c>0 это уравнение задаёт окружность с радиусом

При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).

При a²+b²-c

Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:

Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.

Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.

Нахождение центра и радиуса окружности по уравнению

(оно удовлетворяет условиям 1) и 2) § 38) представляет окружность при условии, что коэффициенты удовлетворяют неравенству

Тогда центр и радиус окружности можно найти по формулам

Замечание. Неравенство (2) выражает, что квадрат радиуса должен быть положительным числом (ср. последнюю формулу (3)). Если неравенство (2) не выполняется, то уравнение (1) не представляет никакой линии (см. ниже пример 2). Пример 1. Уравнение

подходит под вид (1); здесь

Неравенство (2) выполняется. Значит, уравнение (4) представляет окружность. По формулам (3) находим:

т. е. центр есть (1; -2), а радиус R = 3.

Второй способ. Разделив уравнение (4) на коэффициент при членах второй степени, т. е. на 5, получим:

Дополним суммы до квадратов. Для этого прибавим к первой сумме 1, а ко второй 4. Для компенсации прибавим те же числа к правой части уравнения. Получим:

Пример 2. Уравнение

подходит под вид (1), но неравенство (2) не выполняется. Значит, уравнение (5) не представляет никакой линии.

К этому выводу можно прийти и так (ср. пример 1).

Дополним сумму до квадрата, прибавив к ней 1. Для компенсации прибавим 1 также и к правой части. Получим т. е. Но сумма квадратов (действительных) чисел не может равняться отрицательному числу. Поэтому нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяли бы данному уравнению.