Деление многочленов столбиком
Алгоритм деления в столбик применяется в частности при нахождении интегралов.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Пример деления в столбик . Найти частное деления и остаток многочлена:
№1.
| x 3 -12x 2 -42 | x -3 |
| x 3 -3x 2 | x 2 |
| -9x 2 -42 |
№2.
| x 3 -12x 2 -42 | x -3 |
| x 3 -3x 2 | x 2 -9x |
| -9x 2 -42 | |
| -9x 2 + 27x | |
| -27x -42 |
№3.
| x 3 -12x 2 -42 | x -3 |
| x 3 -3x 2 | x 2 -9x -27 |
| -9x 2 -42 | |
| -9x 2 + 27x | |
| -27x -42 | |
| -27x + 81 | |
| -123 |
Целая часть: x 2 -9x -27
Остаток: -123
Таким образом, ответ можно записать как: 
см. также и другие примеры решение столбиком.
Пример №1 . Найти частное и остаток от деления многочлена на многочлен:
P(x)=2x 5 +3x 3 -x 2 +4x+1, Q(x)=2x 2 -x+1
Пример №2 . Не производя деление найти остаток от деления многочлена на двучлен:
P(x)=-x 4 +6x 3 -2x 2 +x-2, Q(x)=x-6
Решение. Выделим общий множитель (x-6).
-x 3 (x-6)-2x(x-6)-12x+x-2 = -x 3 (x-6)-2x(x-6)-11(x-6)-66-2 = -x 3 (x-6)-2x(x-6)-11(x-6)-68
Остаток от деления: -68/(x-6)
Наибольший общий делитель (НОД) двух многочленов
Вычисляет наибольший общий делитель (НОД) двух многочленов методом Евклида с возможн
Калькулятор вычисляет наибольший общий делитель (НОД) двух многочленов методом Евклида. Коэффициенты многочлена могут быть целыми, простыми дробями или комплексными числами с целыми или дробными коэффициентами. Результатом является полином, который делит оба исходных полинома без остатка или единица, если такого полинома не нашлось.
Наибольший общий делитель (НОД) двух многочленов
Проблема взрывного роста коэффициентов остатков
При вычислении НОД для полиномов значительных степеней, коэффициенты остатков довольно быстро растут, это можно увидеть на примере данных по-умолчанию. Поэтому, для сокращения размера коэффициентов используют псевдоделение, что позволяет находить НОД в целых числах и минимизировать коэффициенты. В калькуляторе можно выбрать один из 3-х способов сокращения остатков, не считая тривиального псевдоделения, где просиходит избавление от дробей, но коэффициенты остатков не сокращаются.
Максимальное сокращение коэффициентов можно получить, поделив, коэффициенты остатка на общий НОД коэффициентов, но этот способ может быть вычислительно сложным для полиномов больших степеней со сложными коэффициентами.
В качестве компромиссного варианта используют алгоритмы на основе вычисления субрезультанта псевдоостатков полиномов (Subresultant PRS). Наш калькулятор использует два таких алгоритма (Алгоритм 1 и Алгоритм 3), описанные В.С. Брауном в статье The Subresultant PRS Algorithm 1 .
Для оценки работы алгоритма калькулятор выводит таблицу псевдоостатков и вычисляет НОД их коэффициентов. Чем меньше НОД в этой таблице, тем эффективнее работает алгоритм.
НОД двух многочленов. Greatest Common Factor (GCF)
| Исходный полином f(x) (его коэффициенты) |
| Делим на следующий полином / многочлен |
| Первый многочлен | |||||||||
| Второй многочлен | |||||||||
| Остатки от деления двух полиномов | |||||||||
Рассматривается вычисление наибольшего общего делителя (НОД) двух многочленов. Принцип который используется, такой же как и для нахождения НОД обычных чисел. Отличие нашего калькулятора в том, что 1. Он показывает промежуточные остатки при вычислении 2. Многочлены могут быть комплексными, то есть содержать мнимые числа. Теории больше не будет, и сразу перейдем к примерам вычисления, и вы поймете, как это вычисляется. Найти НОД двух многочленов Сначала выбираем тот полином у которого степень выше и коэффицент при этой степени наибольший. Делим один на другой f(x) на g(x). Можно делать это руками а можно воспользоваться калькулятором деления многочлена на многочлен. Теперь делим уже g(x) на полученный остаток Еще раз проделываем процедуру Если мы еще раз проведем такую же процедуру то получим в остатке ноль. Закончили деление и смотрим на результат. Предпоследнее значение от деления двух многочленов и есть значение НОД. То есть наш ответ Кто хочет получить результат в виде дроби то стоит обратить внимание на Непрерывные, цепные дроби онлайн которая нам это значение в виде дроби и окончательный красивый ответ есть НОД двух функций и Выписыаем коэффициенты полиномов в строку разделяя их пробелом. 1 1 -4 0 5 это у нас первый полином 2 -1 -2 2 а это второй Вводим их в соответсвующие поля и нажимаем рассчитать.
|