Асимптоты графиков функций
Вертикальные асимптоты |
Наклонные асимптоты |
Горизонтальные асимптоты как частный случай наклонных асимптот |
Поиск наклонных асимптот графиков функций |
Вертикальные асимптоты
Во многих разделах нашего справочника приведены графики различных функций. Для многих функций существуют прямые, к которым графики функций неограниченно приближаются. Такие прямые называют асимптотами, и их точное определение мы дадим чуть позже. Как мы увидим далее, асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными. С вертикальными и горизонтальными асимптотами графика функции мы уже встречались, в частности, в разделе «Гипербола на координатной плоскости. График дробно-линейной функции». С наклонными асимптотами, за исключением горизонтальных, мы пока еще дела не имели.
Определение 1. Говорят, что x стремится к x0 слева и обозначают
Говорят, что x стремится к x0 справа и обозначают
Определение 2. Прямую
называют вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к с справа, если функция y = f (x) определена на некотором интервале (с, d) и выполнено соотношение выполнено соотношение
при x → c + 0
называют вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к с слева, если функция y = f (x) определена на некотором интервале (d, c) и выполнено соотношение выполнено соотношение
при x → c – 0
Пример 1. Прямая
является вертикальной асимптотой графика функции
как справа, так и слева (рис. 1)
Пример 2. Прямая
является вертикальной асимптотой графика функции
при x , стремящемся к 0 справа (рис. 2)
Наклонные асимптоты
Определение 3. Прямую
называют наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение
называют наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение
Горизонтальные асимптоты как частный случай наклонных асимптот
Определение 4. Прямую
называют горизотальной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение
называют горизотальной асимптотой графика функции y f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение
Замечание . Из определений 3 и 5 вытекает, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты y = kx + b, когда угловой коэффициент прямой k = 0 .
Пример 3. Прямая
является горизонтальной асимптотой графика функции
как при x , стремящемся к , так и при x , стремящемся к (рис. 3)
Пример 4. Прямая
является горизонтальной асимптотой графика функции
при x , стремящемся к (рис. 4)
имеет две горизонтальные асимптоты: прямая
является горизонтальной асимптотой графика функции при , а прямая
является горизонтальной асимптотой графика функции при .
Поиск наклонных асимптот графиков функций
Для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции y = f (x) при (или убедиться, что наклонной асимптоты при не существует), нужно совершить 2 операции.
Первая операция. Вычислим предел предел
(1) |
Если предел (1) не существует или существует, но равен существует, но равен , то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.
переходим ко второй операции.
Вторая операция. Вычислим предел предел
(2) |
Если предел (2) не существует или существует, но равен существует, но равен , то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.
делаем вывод о том, что прямая
является наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при .
Совершенно аналогично поступаем для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции y = f (x) при (или убедиться, что наклонной асимптоты при не существует).
Первая операция. Вычислим предел предел
(3) |
Если предел (3) не существует или существует, но равен существует, но равен , то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.
переходим ко второй операции.
Вторая операция. Вычислим предел предел
(4) |
Если предел (4) не существует или существует, но равен существует, но равен , то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.
делаем вывод о том, что прямая
является наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при .
Пример 5. Найти асимптоты графика функции
(5) |
и построить график этой функции.
Решение. Функция (5) определена для всех и вертикальных асимптот не имеет.
Найдем наклонные асимптоты графика функции (5). При получаем
Отсюда вытекает, что прямая
– наклонная асимптота графика функции (5) при .
При получаем
Отсюда вытекает, что прямая
– наклонная асимптота графика функции (5) при .
Итак, y’ > 0 при x > 0 , y’ при x y’ = 0 при x = 0 . Точка x = 0 – стационарная, причем производная функции (5) при переходе через точку x = 0 меняет знак с «–» на «+» . Следовательно, x = 0 – точка минимума функции (5). Других критических точек у функции (5) нет.
Теперь мы уже можем построить график функции (5):
Заметим, что график функции (5) находится выше асимптот y = x и y =v– x , поскольку справедливо неравенство:
.
Асимптоты
п.1. Понятие асимптоты
Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Например:
Вертикальная асимптота x=3 | Горизонтальная асимптота y=1 |
Наклонная асимптота y=x |
п.2. Вертикальная асимптота
Таким образом, практически каждой точке разрыва 2-го рода (см. §40 данного справочника) соответствует вертикальная асимптота.
Вертикальных асимптот может быть сколько угодно, в том числе, бесконечное множество (например, как у тангенса – см. §6 данного справочника).
Например:
Исследуем непрерывность функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\)
ОДЗ: \(x\ne \left\<-3;1\right\>\)
\(\left\
Исследуем \(x_0=-3\). Найдем односторонние пределы: \begin
Точка \(x_0=-3\) — точка разрыва 2-го рода.
Исследуем \(x_1=1\). Найдем односторонние пределы: \begin
Точка \(x_1=1\) — точка разрыва 2-го рода.
Вывод: у функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\) две точки разрыва 2-го рода \(\left\
п.3. Горизонтальная асимптота
Число горизонтальных асимптот не может быть больше двух.
Например:
Исследуем наличие горизонтальных асимптот у функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\)
Ищем предел функции на минус бесконечности: \begin
Ищем предел функции на плюс бесконечности: \begin
Вывод: у функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\) одна горизонтальная асимптота \(y=0\). На плюс и минус бесконечности функция стремится к асимптоте сверху.
Итоговый график асимптотического поведения функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\):
п.4. Наклонная асимптота
Число наклонных асимптот не может быть больше двух.
Чтобы построить график асимптотического поведения, заметим, что у функции \(y=\frac
График асимптотического поведения функции \(y=\frac
п.5. Алгоритм исследования асимптотического поведения функции
На входе: функция \(y=f(x)\)
Шаг 1. Поиск вертикальных асимптот
Исследовать функцию на непрерывность. Если обнаружены точки разрыва 2-го рода, у которых хотя бы один односторонний предел существует и бесконечен, сопоставить каждой такой точке вертикальную асимптоту. Если таких точек не обнаружено, вертикальных асимптот нет.
Шаг 2. Поиск горизонтальных асимптот
Найти пределы функции на плюс и минус бесконечности. Каждому конечному пределу сопоставить горизонтальную асимптоту. Если оба предела конечны и равны, у функции одна горизонтальная асимптота. Если оба предела бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Шаг 3. Поиск наклонных асимптот
Найти пределы отношения функции к аргументу на плюс и минус бесконечности.
Каждому конечному пределу k сопоставить наклонную асимптоту, найти b. Если только один предел конечен, у функции одна наклонная асимптота. Если оба значения k конечны и равны, и оба значения b равны, у функции одна наклонная асимптота. Если оба предела для k бесконечны, наклонных асимптот нет .
На выходе: множество всех асимптот данной функции.
п.6. Примеры
Пример 1. Исследовать асимптотическое поведение функции и построить схематический график:
a) \( y=\frac<4x>
1) Вертикальные асимптоты
Точки, подозрительные на разрыв: \(x=\pm 1\)
Односторонние пределы в точке \(x=-1\) \begin
Односторонние пределы в точке \(x=1\) \begin
Функция имеет две вертикальные асимптоты \(x=\pm 1\)
График асимптотического поведения функции \(y=\frac<4x>
2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: \begin
График асимптотического поведения функции \(y=e^<\frac<1>
в) \( y=\frac
Заметим, что \( \frac
3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: \begin
Ищем свободный член: \begin
График асимптотического поведения функции \(y=\frac
2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: \begin
Функция не имеет горизонтальных асимптот.
График асимптотического поведения функции \(y=xe^<\frac<1><2-x>>\)
Асимптоты графика функции
Вы будете перенаправлены на Автор24
Достаточно часто на практике приходится иметь дело с функциями, которые определены не на всей числовой прямой, либо принимают не любые значения из множества действительных чисел.
В таких случаях при построении графиков функций получаем, что график функции не является непрерывной линией, а имеет некоторые разрывы. В результате чего становится целесообразным ввести понятие «асимптота».
Асимптота — это такая прямая, к которой график заданной функции приближается сколько угодно близко, но не пересекает ее.
Среди асимптот выделяют следующие виды:
- вертикальная асимптота (параллельна оси ОY);
- горизонтальная асимптота (параллельна оси ОХ);
- наклонная асимптота (расположена под углом к осям координат).
Отметим, что асимптоты на графике функции изображаются пунктирной линией.
Вертикальная асимптота — это прямая, определяемая уравнением $x=a$, для которой выполняются условия $\mathop<\lim >\limits_
Вертикальная асимптота может быть только в точках разрыва функции $y=f(x)$, т.е. в тех точках, где данная функция неопределенна.
Найти вертикальную асимптоту графика данной функции: $y=\frac<5>
Следовательно, прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой (см. рис.).
Горизонтальная асимптота — это прямая, определяемая уравнением $y=b$, для которой выполняются условия $\mathop<\lim >\limits_
Готовые работы на аналогичную тему
Найти горизонтальную асимптоту графика данной функции: $y=5^
Следовательно, прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой (см. рис.).
График функции может иметь только правую либо только левую горизонтальную асимптоту.
Наклонная асимптота — это прямая, определяемая уравнением $y=kx+b$, для которой выполняется условие $\mathop<\lim >\limits_
Условия существования наклонной асимптоты определяются следующей теоремой.
Если функция $y=f(x)$ имеет конечные пределы $\mathop<\lim >\limits_
Частным случаем наклонной асимптоты при $k=0$ является горизонтальная асимптота.
Наклонная асимптота может быть левой (график приближается справа), правой (график приближается слева) или двусторонней (график приближается с обоих сторон).
Найти наклонную асимптоту графика данной функции: $y=\frac
Следовательно, прямая $y=x+2$ является наклонной асимптотой (см. рис.). В данном случае имеем двустороннюю наклонную асимптоту.
Найти наклонную асимптоту графика данной функции: $y=\frac
Следовательно, график данной функции не имеет наклонной асимптоты.
График функции может иметь одновременно несколько асимптот, например, вертикальную и наклонную.
Найти асимптоты графика данной функции: $y=\frac <3x^<2>>
Область определения функции: $D_
Следовательно, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой (см. рис.).
Следовательно, прямая $y=3x+3$ является наклонной асимптотой (см. рис.). В данном случае имеем двустороннюю наклонную асимптоту.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 17 02 2022
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/asimptoty/
http://spravochnick.ru/matematika/obschiy_plan_issledovaniya_funkciy_i_postroeniya_grafikov/asimptoty_grafika_funkcii/