Написать дифференциальное уравнение по передаточной функции

Написать дифференциальное уравнение по передаточной функции

Название работы: Дифференциальные уравнения и передаточные функции

Предметная область: Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Описание: Введем понятие звена автоматической системы. При математическом описании системы удобно разбить систему на звенья и для каждого звена записать свое уравнение. Уравнение такого звена связывает две величины: x входная величина или воздействие и y выходная величина или реакция. Пусть момент времени t=0 выбран так что начальные условия на выходе звена являются нулевыми.

Дата добавления: 2015-01-30

Размер файла: 38.88 KB

Работу скачали: 36 чел.

3. Дифференциальные уравнения и передаточные функции.

Введем понятие звена автоматической системы.

При математическом описании системы удобно разбить систему на звенья и для каждого звена записать свое уравнение. Таким образом, звено – это часть системы, описываемая одним уравнением. Как одно звено могут быть рассмотрены отдельные элементы системы, совокупности элементов (подсистемы), а также вся система. Также могут использоваться абстрактные звенья, не имеющие прямого соответствия с реальными элементами системы. Для одной системы существует бесконечное множество способов разбиения на звенья (должен быть выбран самый удобный для конкретной задачи).

Структурной схемой называют наглядное изображение математической модели системы. На структурной схеме каждое звено показывается в виде блока, а связи между блоками показываются стрелками.

Рассмотрим линейное звено с одним входом и одним выходом.

Уравнение такого звена связывает две величины: x (входная величина или воздействие ) и y (выходная величина или реакция ). По своему смыслу входная величина является причиной, а выходная – следствием.

Линейное звено описывается дифференциальным уравнением вида:

где n и m – целые неотрицательные числа, a 0 … a n , b 0 … b m – постоянные коэффициенты.

Пусть момент времени t =0 выбран так, что начальные условия на выходе звена являются нулевыми.

y (0)=0, y (1) (0)=0 ,…, y ( n –1) (0)=0.

Выполним преобразование Лапласа от левой и правой частей дифференциального уравнения звена. При этом используем свойство дифференцирования оригинала при нулевых начальных условиях (см. 1.1).

Вместо дифференциального получаем алгебраическое уравнение, где присутствуют уже не функции времени, а изображения входной и выходной величин X ( p ) и Y ( p ). Переменная p – это комплексная переменная, заменяющая время в результате преобразования Лапласа.

Дадим следующее определение передаточной функции:

Передаточная функция (ПФ) звена – это отношение изображения выходной величины звена к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях. Выразим это отношение, обозначив ПФ буквой W .

, откуда .

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией переменной p (р – это переменная, она не имеет конкретного значения). Смысл ПФ – это комплексный коэффициент усиления (передачи) звена при рассмотрении на его входе и выходе изображений величин по Лапласу.

По виду передаточной функции различают идеальные и реальные звенья.

У реальных звеньев порядок числителя передаточной функции не превышает порядка знаменателя: m n . У идеальных звеньев порядок числителя передаточной функции больше порядка знаменателя: m > n .

Особенностью идеальных звеньев является то, что эти звенья могут на ограниченные по величине воздействия давать бесконечно большие реакции. Поэтому, идеальное звено нельзя поставить в соответствие с реальным элементом системы. Такие звенья называют также физически нереализуемыми. Реальные элементы систем всегда описываются реальными звеньями.

– реальное звено ( m =0, n =1), – идеальное звено ( m =2, n =1).

Передаточную функцию можно преобразовать к следующему виду:

,

где z 1 , z 2 … z m – постоянные числа, называемые нулями передаточной функции, p 1 , p 2 … p n – постоянные числа, называемые полюсами передаточной функции, K – постоянный множитель. Подстановка p = z i обращает передаточную функцию в ноль. Подстановка p = p i обращает передаточную функцию в бесконечность. Нули и полюсы в общем случае являются комплексными числами.

На структурной схеме передаточную функцию записывают внутри блока, изображающего звено (в символическом или в полном виде). На входе и на выходе звена допустимо показывать как функции времени, так и изображения по Лапласу:

Рассмотрим понятия статического и динамического звена.

Динамическое звено описывается дифференциальным уравнением. Выходная величина динамического звена в каждый момент времени зависит не только от значения входной величины в данный момент времени, но и от ее значений в предыдущие моменты времени.

Статическое звено описывается алгебраическим уравнением (не содержит производных). Выходная величина статического звена в каждый момент времени зависит только от значения входной величины в данный момент времени.

Статическое линейное звено называется пропорциональным звеном и описывается уравнением вида:

где К – коэффициент передачи пропорционального звена.

При переходе к изображениям вид уравнения пропорционального звена не изменяется Y ( p )= K · X ( p ). ПФ пропорционального звена W ( p )= K не зависит от переменной p . ПФ динамического звена всегда зависит от переменной р .

Рассмотрим понятие статической характеристики динамического звена.

Статической характеристикой динамического звена называется зависимость выходной величины звена от его входной величины в статическом режиме, т.е. при постоянстве во времени входной и выходной величин.

Условие статического режима:

Для получения уравнения статической характеристики необходимо приравнять к нулю все производные в дифференциальном уравнении звена. В результате можно прийти к алгебраическому уравнению вида

y ст = K ст · x ст ,

где К ст – статический коэффициент передачи звена ( K ст = const ).

График статической характеристики линейного звена – прямая линия, проходящая через начало координат:

Апериодическое (инерционное, статическое) звено. Передаточная функция и уравнения

Дифференциальное уравнение, описывающее взаимосвязь входного и выходного сигналов апериодического типового динамического звена (ТДЗ), можно представить в следующем виде:

Где: k – коэффициент передачи, Т₀ – постоянная времени.

Дифференциальное уравнение является не самой удобной формой представления математической модели объекта или звена. Это связано с тем, что решения любого дифференциального уравнения довольно сложная вычислительная процедура. Более удобна и, соответственно чаще используемая, математическая модель объекта, записанная в виде передаточной функции.

Передаточная функция – это преобразованное по Лапласу исходное дифференциальное уравнение, то есть уравнение, записанное в виде преобразованных по Лапласу выходного и входного сигналов объекта (звена).

Исходное дифференциальное уравнение в преобразовании Лапласа называют оригиналом, а записанное в операторной форме преобразованное уравнение – его изображением. Суть преобразования Лапласа заключается в замене на функции комплексных переменных Х_вых(р) и Х_вх(р) функций вещественных переменных Х_вых(τ) и Х_вх(τ), где р – оператор Лапласа (комплексное число р = ±m±in). Данные функции связываются между собой интегралом Лапласа:

Для большинства используемых в ТДЗ дифференциальных уравнений, чисто формальным условием перехода от оригинала к изображению будут представленные ниже замены:

Использовав приведенное выше условие довольно легко получить изображение, то есть перейти к операторной форме записи дифференциального уравнения апериодического звена.

Оригинал дифференциального уравнения апериодического звена имеет следующий вид:

Операторная форма записи (изображения) уравнения апериодического звена:

Огромным преимуществом данного преобразования является то, что записанное в операторной форме исходное дифференциальное уравнения становится алгебраическим. Но стоит отметить, что если бы все дифференциальные уравнения можно было бы преобразовать по Лапласу, то в математике произошла бы революция, так как решение алгебраических уравнение значительно проще дифференциальных. К сожалению, такое преобразование возможно лишь для ограниченного количества уравнений, в том числе для уравнений типовых динамических звеньев (ТДЗ).

Поскольку уравнение апериодического звена приняло вид алгебраического, то его можно записать следующим образом:

Из полученного выражения достаточно легко выделить отношение Х_вых(р) / Х_вх(р), которое называется передаточной функцией и для апериодического звена имеет вид:

У каждого типового динамического звена присутствует ряд типовых частотных характеристик: амплитудно-частотную (АЧХ), фазочастотную (ФЧХ), амплитудно-фазовую частотную (АФЧХ или АФХ), логарифмическую амплитудно-частотную (ЛАЧХ), логарифмическую фазочастотную (ЛФЧХ).

На практике чаще всего используется АФЧХ или АФХ.

Амплитудно-фазовая характеристика это вектор, а график АФХ – годограф этого вектора, то есть кривая на комплексной плоскости, которую описывает конец вектора при изменении частоты ω от 0 до ∞. Вектор характеризуется двумя величинами – длина (скаляр или вектор по модулю) и направление (градиент).

Вектор аналитически можно записать в виде двух проекций на действительную и мнимую оси, и выразить эти проекции через угол α:

После использования формулы Эйлера:

Где |W| — длина вектора или вектор по модулю, i – мнимое число:

Аналитическое выражение для любого вектора АФХ любого типичного динамического звена легко получить из передаточной функции, заменив в ней оператор Лапласа р на выражение iω. Где ω – частота колебаний (ω = 2π/Т), Т – период колебаний.

Для апериодического звена амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФХ) имеет вид:

Для записи вектора АФХ в виде проекций на действительную и мнимую ось необходимо произвести следующие преобразования:

Изменяя частоту ω от 0 до ∞ можно построить на комплексной плоскости годораф (график вектора АФХ), представляющий из себя полуокружность (рисунок а)), которая располагается в четвертом квадранте комплексной плоскости. Диаметр полуокружности равен коэффициенту k.

На рисунке б) показана типовая переходная функция апериодического звена. Как видно из графика, она изменяется по экспоненциальному закону. У любой экспоненты есть одно прекрасное свойство – если к любой ее точке провести касательную, а затем точку пересечения касательной с асимптотой и точку касания спроецировать на ось времени, то получится один и тот же отрезок времени на оси времени. Эта проекция, которую называют постоянной времени, соответствует значению коэффициента Т₀ в АФХ и передаточной функции апериодического звена, а ордината асимптоты, к которой стремится экспонента, соответствует коэффициенту k в передаточной функции. Таким образом, по переходной характеристике апериодического звена довольно легко найти коэффициенты Т₀ и k в передаточной функции звена.

Физическим примером апериодического звена может быть конденсатор, при подаче напряжения на который заряд происходит не мгновенно, а с определенной задержкой, или же электродвигатель, который при подаче питания разгоняется не мгновенно, а через какое-то время t. На рисунке в) показан пример установки, которую также можно считать апериодическим звеном (вода – заполняющая бак).

В бак поступает определенное количество воды с расходом Q₁. В то же время из бака вытекает вода с расходом Q₂. Регулируемый параметр в этой системе Х_вых – уровень воды в баке H.

При подаче единичного скачка Q₁ (открыли входной вентиль) уровень воды H в баке повышается. При этом растет гиростатическое давление и возрастает Q₂. Через некоторое время уровень воды H в баке стабилизируется (экспонента приближается к асимптоте). Способность самостоятельно восстанавливать равновесие, которое присуща объектам, аппроксимируемым апериодическим звеном, за счет стока или притока вещества или энергии называют самовыравниванием. Количество самовыравнивания определяет коэффициент р, равный обратному значению коэффициента k в передаточной функции звена, то есть р = 1/k.

В литературе объекты с передаточной функцией апериодического звена называют статическими.

Контрольная работа: Передаточные функции одноконтурной системы

Практическая работа № 1

1. По заданным дифференциальным уравнениям определить операторные уравнения при нулевых начальных условиях, передаточные функции, структурные схемы звеньев, характеристические уравнения и их корни. Показать распределение корней на комплексной плоскости.

Оценить устойчивость каждого из звеньев.

а) ; б).

2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:

.

1. а). Дифференциальное уравнение можно записать в виде:

.

Обозначим Y(s) и F(s) как изображения сигналов соответственно y и f , тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:

1,25s3Y(s) – 4s2Y(s) + 5sY(s) = 3F(s) – sF(s).

Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и F(s) за скобки:

Y(s). (1,25s3 – 4s2 + 5s) = F(s). (3 – s).

.

Очевидно, что входной сигнал x отсутствует, и выходной сигнал у определяется только внешним воздействием f (система, действующая по возмущению): , то получается уравнение Y(s) = WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 1.

Передаточная функция имеет знаменатель, называемый характеристическим выражением:

A(s) =.

Если приравнять данное выражение к нулю, то образуется характеристическое уравнение , корни которого:

, и .

Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 2. По рисунку видно, что корни лежат в правой полуплоскости, следовательно, объект неустойчив.

б) Дифференциальное уравнение можно записать в виде:

.

Обозначим Y(s), X(s) и F(s) как изображения сигналов соответственно y , x и f , тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:

2s2Y(s) + 4sY(s) + 10Y(s) = 3X(s) + 4sF(s).

Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y(s) и X(s) за скобки:

Y(s). (5s2 + 4s + 10) = 3X(s) + 4sF(s).

.

Если обозначить передаточные функции объекта как

и ,

то получается уравнение Y(s) = Wx(s).X(s) + WF(s).F(s). Структурная схема объекта приведена на рис. 3.

Характеристическая функция имеет вид:

,

а характеристическое уравнение:

.

Корни этого уравнения равны:

и .

Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 4:

Все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, очевидно, что объект устойчив.

2. Дана передаточная функция вида:

Зная, что по определению, , получим:

, тогда:

.

Применяя к полученному выражению обратное преобразование Лапласа, находим искомое дифференциальное уравнение:

.

Практическая работа № 2

Дана одноконтурная АСР, для которой определена передаточная функция регулятора (Р) с настройками и дифференциальное уравнение объекта управления (ОУ). Требуется определить:

— передаточную функцию разомкнутой системы W∞(s),

— характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС),

— передаточные функции замкнутой системы Фз(s) – по заданию, Фв(s) – по возмущению, ФЕ(s) – по ошибке,

— коэффициенты усиления АСР,

Р — ПИ-регулятор с ПФ вида ;

дифференциальное уравнение объекта управления:

.

Определим передаточную функцию объекта:

W об( s ) .

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Характеристическое выражение замкнутой системы:

;

Передаточные функции замкнутой системы:

— по заданию;

— по ошибке;

— по возмущению.

По передаточным функциям определим коэффициенты усиления путем подстановки в них s = 0:

К3 = Ф3(0) = 1 – по заданию;

КЕ = ФЕ(0) = 0 – по ошибке;

Кв = Фв(0) = 0 – по возмущению.

Определим устойчивость АСР по критерию Гурвица.

Так как коэффициенты ХВЗС а3 = 4, а2 = 6, а1 = 18, а0 = 4 (степень полинома n = 3), то матрица Гурвица имеет вид:

Диагональные миноры матрицы равны соответственно:

Поскольку все определители положительны, то АСР является устойчивой.

Практическая работа № 3

По табличным данным построить переходную кривую объекта, определить параметры передаточной функции объекта, рассчитать настройки ПИД-регулятора, обеспечивающие 20%-е перерегулирование.

DXвх = 5,5 кПа; DY = 0,149 %; tзап = 40 сек