Уравнения прямой, виды уравнений прямой в пространстве
Материал этой статьи продолжает тему прямой в пространстве. От геометрического описания пойдем к алгебраическому: зададим прямую при помощи уравнений в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Приведем общую информацию, расскажем о видах уравнений прямой в пространстве и их связи между собой.
Уравнение прямой в пространстве: общие сведения
Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y – это линейное уравнение с переменными x и y , которому отвечают координаты всех точек прямой и не удовлетворяют координаты никаких прочих точек.
Если речь идет о прямой в трехмерном пространстве, все несколько иначе: не существует такого линейного уравнения с тремя переменными x , y , z , которому бы отвечали только координаты точек заданной прямой. В самом деле, уравнение A x + B y + C z + D = 0 , где x , y , z – переменные, а А , В , С и D – некоторые действительные числа ( А , В , С одновременно не равны нулю) – это общее уравнение плоскости. Тогда как же задать прямую линию в прямоугольной системе координат O x y z ? Найдем ответ на этот вопрос в следующих пунктах темы.
Уравнение прямой в пространстве как уравнение двух пересекающихся плоскостей
Когда две плоскости в пространстве имеют общую точку, существует их общая прямая, на которой находятся все общие точки этих плоскостей.
Рассмотрим это утверждение в алгебраическом толковании.
Допустим, в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат O x y z и задано, что прямая a – это линия пересечения двух плоскостей α и β , которые соответственно описываются уравнениями плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Поскольку прямая a – это множество общих точек плоскостей α и β , то координаты любой точки прямой a будут одновременно отвечать обоим уравнениям. Никакие прочие точки одновременно удовлетворять условия обоих уравнений не будут.
Таким образом, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат станут частным решением системы линейных уравнений вида
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
Общее же решение системы уравнений _ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 определит координаты каждой точки прямой a , т.е. по сути задает саму прямую a .
Резюмируем: прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O x y z может быть задана системой уравнений двух плоскостей, которые пересекаются:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
Приведем пример описания прямой линии в пространстве при помощи системы уравнений:
x + 3 y — 2 1 z + 11 3 y + 1 4 z — 2 = 0
Навык определения прямой линии уравнениями пересекающихся плоскостей необходим при решении задач на нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости или нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.
Подробнее изучить эту тему можно, обратившись к статье об уравнениях прямой в пространстве, уравнениях двух пересекающихся прямых.
Заметим, что существует несколько способов описания прямой в пространстве. В практике прямую чаще задают не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, принадлежащей этой прямой. В подобных случаях легче задать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Поговорим о них ниже.
Параметрические уравнения прямой в пространстве
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где x 1 , y 1 , z 1 – координаты некой точки прямой; а x , а y и a z (одновременно не равны нулю) – координаты направляющего вектора прямой. а · λ – некий параметр, принимающий любые действительные значения.
Любое значение параметра λ позволяет, используя параметрические уравнения прямой в пространстве, определить тройку чисел ( x , y , z ) , соответствующую некой точке прямой (отсюда и название такого вида уравнений). Например, пусть λ = 0 , тогда из параметрических уравнений прямой в пространстве получим координаты:
x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 z = z 1 + a z · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 z = z 1
Рассмотрим конкретный пример:
Пусть прямая задана параметрическими уравнениями вида x = 3 + 2 · a x y = — 2 · a y z = 2 + 2 · a z .
Заданная прямая проходит через точку М 1 ( 3 , 0 , 2 ) ; направляющий вектор этой прямой имеет координаты 2 , — 2 , 2 .
Продолжение изучения этой темы можно найти в статье о параметрических уравнениях прямой в пространстве.
Канонические уравнения прямой в пространстве
Если разрешить каждое из параметрических уравнений прямой
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ относительно параметра λ , возможно просто перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z .
Канонические уравнения прямой в пространстве задают прямую, которая проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , и у которой направляющий вектор равен a → = ( a x , a y , a z ) . Например, задана прямая, описываемая каноническим уравнением x — 1 1 = y 2 = z + 5 7 . Эта прямая проходит через точку с координатами ( 1 , 0 , — 5 ) , ее направляющий вектор имеет координаты ( 1 , 2 , — 7 ) .
Отметим, что одно или два числа из чисел а x , а y и а z в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числа не могут быть равны нулю, поскольку направляющий вектор не может быть нулевым). В таком случае запись вида x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z является формальной (поскольку в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и понимать ее нужно как:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где λ ∈ R .
Если одно из чисел а x , а y и a z канонического уравнения прямой равно нулю, то прямая лежит в какой-то из координатных плоскостей, или в плоскости, ей параллельной. Если два из чисел а x , а y и a z равны нулю, то прямая или совпадает с какой-либо из координатных осей, или параллельна ей. К примеру, прямая, описываемая каноническим уравнением x + 4 3 = y — 5 2 = z + 2 0 , лежит в плоскости z = — 2 , параллельной координатной плоскости O x y , а координатная ось O y описывается каноническими уравнениями x 0 = y 1 = z 0 .
Графические иллюстрации подобных случаев, составление канонических уравнений прямой в пространстве, примеры решения типовых задач, а также алгоритм перехода от канонических уравнений к другим видам уравнений прямой в пространстве рассмотрены в статье о канонических уравнениях прямой в пространстве.
Каноническое и параметрическое уравнения прямой
Пусть l — некоторая прямая пространства. Как и в планиметрии, любой вектор
а =/= 0, коллинеарный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой.
Положение прямой в пространстве полностью определяется заданием направляющего вектора и точки, принадлежащей прямой.
Пусть прямая l с направляющим вектором а проходит через точку M0 , а М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М (рис. 197) принадлежит прямой l тогда и только тогда, когда вектор \(\overrightarrow
Если точки М и M0 заданы своими радиус-векторами r и r0 (рис. 198) относительно некоторой точки О пространства, то \(\overrightarrow
Уравнения (1) и (2) называются векторно-параметрическими уравнениями прямой. Переменная t в векторно-параметрических уравнениях прямой называется параметром.
Пусть точка M0 прямой l и направляющий вектор а заданы своими координатами:
Тогда, если (х; у; z) — координаты произвольной точки М прямой l, то
и векторное уравнение (1) равносильно следующим трем уравнениям:
$$ \begin
Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Задача 1. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
M0(-3; 2; 4) и имеющей направляющий вектор а = (2; -5; 3).
В данном случае х0 = -3, у0 = 2, z0 = 4; а1 = 2; а2 = -5; а3 = 3. Подставив эти значения в формулы (3), получим параметрические уравнения данной прямой
$$ \begin
Исключим параметр t из уравнений (3). Это можно сделать, так как а =/= 0, и поэтому одна из координат вектора а заведомо отлична от нуля.
Пусть сначала все координаты отличны от нуля. Тогда
Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.
Заметим, что уравнения (4) образуют систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z.
Если в уравнениях (3) одна из координат вектора а, например а1 равна нулю, то, исключив параметр t, снова получим систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z:
Эти уравнения также называются каноническими уравнениями прямой. Для единообразия их также условно записывают в виде (4)
считая, что если знаменатель равен нулю, то равен нулю и соответствующий числитель. Эти уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через точку M0(х0; у0, z0) параллельно координатной плоскости yOz, так как этой плоскости параллелен ее направляющий вектор (0; а2; а3).
Наконец, если в уравнениях (3) две координаты вектора а, например а1 и а2 равны нулю, то эти уравнения принимают вид
Это уравнения прямой, проходящей через точку M0(х0; у0; z0) параллельно оси Oz. Для такой прямой х = х0, y = у0, a z — любое число. И в этом случае для единообразия уравнения прямой можно записывать (с той же оговоркой) в виде (4)
Таким образом, для любой прямой пространства можно написать канонические уравнения (4), и, наоборот, любое уравнение вида (4) при условии, что хотя бы один из коэффициентов а1 , а2 , а3 не равен нулю, задает некоторую прямую пространства.
Задача 2. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M0(- 1; 1, 7) параллельно вектору а = (1; 2; 3).
Уравнения (4) в данном случае записываются слeдующим образом:
Выведем уравнения прямой, проходящей через две данные точки M1(х1; у1; z1) и
Это и есть уравнения прямой, проходящей через две точки M1(х1; у1; z1) и
Задача 3. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M1(-4; 1; -3) и M2(-5; 0; 3).
Задача 4. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M1(3; -2; 1) и
После подстановки координат точек M1 и M2 в уравнения (5) получим
Прямая в пространстве – виды уравнения прямой в пространстве
Прямая в пространстве – это линия, которая проходит от одной точки к другой, а также за пределы этих точек в бесконечность. Есть несколько видов уравнения прямой в пространстве: каноническое, параметрическое, угол между двумя прямыми в пространстве и т. д. Про это расскажем в данной статье и для наглядности предоставим несколько примеров.
Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве
Параметрическое и каноническое уравнение прямой рассматривается практически так, как и для прямой на плоскости. Значит, нужно составить уравнение прямой , которая проходит через данную точку параллельно направляющему вектору .
Пусть, – произвольная точка прямой, тогда векторы и коллинеарные, а это значит, что координаты их пропорциональны, поэтому получаем:
это и есть канонические уравнения прямой.
Приравнивая каждую из дробей (1) к параметру , запишем параметрические уравнения прямой:
Уравнение прямой в пространстве, которая проходит через две заданные точки
Уравнение прямой в пространстве – тема очень лёгкая, так как здесь самое важное – знать нужную формулу. Тогда легко можно решить любую задачу.
Итак, через две точки и можно не только геометрично провести линию, но и сложить её уравнения.
За направляющий вектор возьмём , тогда по формуле (1) у нас получается:
уравнение прямой в пространстве, которые проходят через две заданные точки.
Нужна помощь в написании работы?
Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Общее уравнение прямой – переход к каноническому уравнению
Объяснение про общее уравнение прямой начнём с прямой, которая задана двумя плоскостями, что пересекаются по этой прямой.
Пусть известны их уравнения:
Тогда система (4) называется общим уравнением прямой.
Чтобы перейти к каноническим уравнениям вида (1), необходимо найти вектор и точку этой прямой.
Точку находим, как один из решений системы (4). Например, положив в (4) находим , тогда и точку . Направляющий вектор , который параллелен к каждой из плоскостей и и перпендикулярен к их нормальным векторам и , то есть , . (см. рис. 1). Поэтому вектор можно найти при помощи векторного произведения и
= x =
Найдены координаты и подставим в каноническое уравнение (1).
Например, от общих уравнений прямой:
Перейдём к каноническим, положив в системе (при нём относительно больше коэффициенты). найдём . Нормальные векторы и . Тогда направляющий вектор
x = ,
и канонические уравнения станут:
Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
Угол между двумя прямыми :
и
равен углу между их направляющими векторами и , поэтому
=
Условия параллельности и перпендикулярности прямых соответственно запишутся:
и .
Примеры решения задач
Давайте рассмотрим первый пример, где можно двумя способами построить прямую:
Задача
При точке и направляющем векторе необходимо:
- составить каноническое уравнение прямой;
- построить эту прямую.
Решение
1) По формуле (1) запишем каноническое уравнение прямой :
= .
2) Рассмотрим два способа построения прямой .
Первый способ
В системе координат строим вектор и точку и проводим через точку прямую параллельную вектору .
Второй способ
По формуле (2) запишем каноническое уравнение прямой в параметрическом виде:
На рисунке видно, что при произвольных значениях из системы находим координаты соответствующих точек, которые принадлежат прямой . Так при находим координаты . Через две точки и проводим прямую .
Очевидно, что найти острый угол между прямыми совершенно не сложно при знании темы и определённых формул. Давайте разберём такой пример:
Задача
Найти острый угол между прямыми:
,
Решение
По формуле (7) получаем:
= = =
Так как , тогда угол тупой, , а острый угол .
Ответ
.
Рассмотрим последний пример, где нужно составить уравнение. Здесь, как и в каждой задаче, важно знать и понимать, какой формулой нужно воспользоваться.
Задача
Составить уравнение прямой , которая проходит через точку и параллельна прямой .
Решение
От параметрического уравнения переходим к каноническому При условии параллельности прямых то есть направляющим вектором новой прямой может служить известный вектор и по формуле (1) у нас получается:
.
Ответ
.
http://razdupli.ru/teor/88_kanonicheskoe-i-parametricheskoe-uravneniya-pryamoj.php
http://nauchniestati.ru/spravka/prjamaja-v-prostranstve/