Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №1 . Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.
Пример №2 . Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.
Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду
Пример №1 . 4y=-6-sqrt(4x-x 2 )
sqrt(4x-x 2 ) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x 2 = (4y+6) 2
Раскрывая скобки, получаем:
16y 2 +48y + 36 +x 2 -4x = 0
Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x 2 = (4y+6) 2
-(x 2 — 4x) = 2(y+3/2) 2
-(x 2 — 4x + 4) = (y+3/2) 2
-(x — 2) 2 = (y+3/2) 2
(y+3/2) 2 + (x — 2) 2 = 0
Пример №2 . x=1-2/3 sqrt(y 2 -4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y 2 -4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4x 2 -9/4*2x+9/4-y 2 +4y+5=0
9/4x 2 -9/2x-y 2 +4y+29/4=0
Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y-5
9/4(x-1) 2 =y 2 -4y+4-4-5
9/4(x-1) 2 =(y 2 -2)-9
9/4(x-1) 2 -(y 2 -2) = -9
-1/4(x-1) 2 +1/9(y 2 -2) = 1
Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
- Аналитическая геометрия
- Общее уравнение кривой второго порядка. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
Общее уравнение кривой второго порядка. Каноническое уравнение кривой второго порядка.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Множество точек плоскости $R^2,$ удовлетворяющих условию $$\sum\limits_^2a_x_ix_j+2\sum\limits_
$$1)\,\, \lambda_1x^2+\lambda_2y^2+c=0\,\,\, (\lambda_1\lambda_2\neq 0);$$
$$2)\,\, \lambda_1x^2+by=0\qquad(\lambda_1\neq 0);$$
$$3)\,\, \lambda_1x^2+c=0\qquad(\lambda_1\neq 0).$$
Пример.
4.226. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка, определить ее тип и найти каноническую систему координат.
Решение.
Матрица квадратичной части многочлена второй степени имеет вид $$\begin
Найдем ее собственные числа:
$$det(A-\lambda E)=\begin
Далее находим собственные вектора:
Собственный вектор для собственного числа $\lambda_1=10$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A-10E)X=0, X\neq 0$$
Решим однородную систему уравнений:
Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin
Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin
Таким образом ранг матрицы $A$ равен одному.
Выберем в качестве базисного минор $M=\begin
Таким образом, общее решение системы $X(c)=\begin
Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin
Соответствующий ортонормированный собственный вектор: $$e_1’=\left(\frac<-2><\sqrt<4+1>>,\frac<1><\sqrt<4+1>>\right)=\left(\frac<-2><\sqrt 5>,\frac<1><\sqrt 5>\right).$$
Собственный вектор для собственного числа $\lambda_2=5$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A-5E)X=0, X\neq 0$$
Решим однородную систему уравнений:
Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin
Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin
Таким образом ранг матрицы $A$ равен одному.
Выберем в качестве базисного минор $M=\begin
Таким образом, общее решение системы $X(c)=\begin
Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin
Соответсвующий ортонормированный собственный вектор: $$e_1’=\left(\frac<1><\sqrt<4+1>>,\frac<2><\sqrt<4+1>>\right)=\left(\frac<1><\sqrt 5>,\frac<2><\sqrt 5>\right).$$
Таким образом, мы нашли вектора
Выделим по переменной $x’$ полный квадрат: $$10
Делаем замену переменных:
$$x»=x’-\frac<2><\sqrt 5>, \qquad\quad y»=y’$$ (замена переменных соответствует сдвигу по оси $Ox.$ ) Получаем: $$10
Результирующее преобрзование координат имеет вид
Ответ: Эллипс $
Домашнее задание:
Написать каноническое уравнение кривой второго порядка, определить ее тип и найти каноническую систему координат.
4.227. $x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0.$
Ответ: Парабола $
4.228.$5x^2+12xy-22x-12y-19=0.$
Ответ: Гипербола $ \frac<
Примеры решений: кривые второго порядка
В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему Кривые второго порядка: приведение к каноническому виду, нахождение характеристик, построение графика т.п.
Кривые 2-го порядка: решения онлайн
Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение кривой 2 порядка, найти все ее параметры, построить кривую.
Задача 2. Дана кривая. Привести к каноническому виду. Построить и определить вид кривой.
Задача 3. Выяснить вид кривой по общему уравнению, найти её параметры и положение в системе координат. Сделать рисунок.
Задача 4. Общее уравнение кривой второго порядка привести к каноническому. Найти координаты центра, координаты вершин и фокусов. Написать уравнения асимптот и директрис. Построить линии на графики, отметить точки.
Задача 5. Дана кривая $y^2+6x+6y+15=0$.
1. Докажите, что данная кривая – парабола.
2. Найдите координаты ее вершины.
3. Найдите значения ее параметра $р$.
4. Запишите уравнение ее оси симметрии.
5. Постройте данную параболу.
Задача 6. Дана кривая $5x^2+5y^2+6xy-16x-16y=16$.
1. Докажите, что эта кривая – эллипс.
2. Найдите координаты центра его симметрии.
3. Найдите его большую и малую полуоси.
4. Запишите уравнение фокальной оси.
5. Постройте данную кривую.
Задача 7. Найти уравнения параболы и её директрисы, если известно, что парабола имеет вершину в начале координат и симметрична относительно оси $Ox$ и что точка пересечения прямых $y=x$ и $x+y-2=0$ лежит на параболе.
Задача 8. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки $F(0;10)$ к расстоянию до прямой $x=-4$ равно $\sqrt<2/5>$. Привести это уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.
Задача 9. Даны уравнения асимптот гиперболы $y=\pm 5x/12$ и координаты точки $M(24,5)$, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.
Задача 10. Даны уравнение параболы $y=1/4 x^2+1$ и точка $C(0;2)$, которая является центром окружности. Радиус окружности $r=5$.
Требуется найти
1) точки пересечения параболы с окружностью
2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках её пересечения с окружностью
3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках пересечения. Чертёж.
http://mathportal.net/index.php/analiticheskaya-geometriya/obshchee-uravnenie-krivoj-vtorogo-poryadka-privedenie-obshchego-uravneniya-krivoj-vtorogo-poryadka-k-kanonicheskomu-vidu
http://www.matburo.ru/ex_ag.php?p1=agk2