Линия пересечения плоскостей онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти линию пересечения плоскостей. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения линии пересечения плоскостей введите коэффициенты в уравнения плоскостей и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Линия пересечения плоскостей − теория, примеры и решения
Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, могут совпадать или пересекаться. В данной статье мы определим взаимное расположение двух плоскостей, и если эти плоскости пересекаются, выведем уравнение линии пересечения плоскостей.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы плоскости α1 и α2:
α1: A1x+B1y+C1z+D1=0, | (1) |
α2: A2x+B2y+C2z+D2=0, | (2) |
Найдем уравнение линии пересеченя плоскостей α1 и α2. Для этого рассмотрим следующие случаи:
Умножив уравнение (2) на λ, получим:
α2: A1x+B1y+C1z+λD2=0, | (3) |
Если векторы n1 и n2 не коллинеарны, то решим систему линейных уравнений (1) и (2). Для этого переведем свободные члены на правую сторону уравнений и составим соответствующее матричное уравнение:
(4) |
Как решить уравнение (4) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или Метод Жоржана-Гаусса онлайн.
Так как в системе линейных уравнений (4) векторы n1=<A1, B1, C1> и n2=<A2, B2, C2> не коллинеарны, то решение этой системы линейных уравнений имеет следующий вид:
, | (5) |
Равенство (5) можно записать в следующем виде:
. | (6) |
Мы получили параметрическое уравнение прямой, которое является линией пересечения плоскостей α1 и α2. Полученное уравнение прямой можно записать в каноническом виде:
. |
Пример 1. Найти линию пересечения плоскостей α1 и α2:
α1: x+2y+z+54=0. | (7) |
α2: 2x+9y−5z+32=0. | (8) |
Поскольку направляющие векторы n1 и n2 неколлинеарны, то плолскости α1 и α2 пересекаются.
Для нахождения линии пересечения влоскостей α1 и α2 нужно решить систему линейных уравнений (7) и (8). Для этого составим матричное уравнение этой системы:
. | (9) |
Решим систему линейных уравнений (9) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:
. | (10) |
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a11. Для этого сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −2:
. |
Второй этап. Обратный ход Гаусса.
Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на −2/5:
. |
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
. |
. | (11) |
где t− произвольное действительное число.
Запишем (11) в следующем виде:
. | (12) |
Получили уравнение линии пересечения плоскостей α1 и α2 в параметрическом виде. Запишем ее в каноническом виде.
(13) |
Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:
Ответ. Уравнение линии пересечения плоскостей α1 и α2имеет вид:
Пример 2. Найти линию пересечения плоскостей α1 и α2:
(14) |
(15) |
Поскольку направляющие векторы n1 и n2 коллинеарны (n1 можно получить умножением n2 на число 1/2), то плоскости α1 и α2 параллельны или совпадают.
При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α2 умножив на число 1/2:
(16) |
Так как нормальные векторы уравнений (14) и (16) совпадают, а свободные члены разные, то плоскости α1 и α2 не совпадают. Следовательно они параллельны, т.е. не пересекаются.
Пример 3. Найти линию пересечения плоскостей α1 и α2:
(17) |
(18) |
Поскольку направляющие векторы n1 и n2 коллинеарны (n1 можно получить умножением n2 на число 1/3), то плоскости α1 и α2 параллельны или совпадают.
При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α2 умножив на число 1/3:
(19) |
Так как нормальные векторы уравнений (17) и (19) совпадают, и свободные члены равны, то плоскости α1 и α2 совпадают.
5.4.4. Прямая, заданная пересечением двух плоскостей
Если плоскости пересекаются, то система линейных уравнений задаёт прямую в пространстве.
То есть прямая задана уравнениями двух плоскостей. Типовая и распространенная задача состоит в том, чтобы переписать уравнения прямой в каноническом виде:
Задача 151
Записать канонические уравнения прямой
Решение: чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать точку и направляющий вектор. А у нас даны уравнения двух плоскостей….
1) Сначала найдём какую-либо точку, принадлежащую данной прямой. Как это сделать? Методом подбора. В системе уравнений обнулим какую-нибудь координату, например, . Тогда получается система двух линейных уравнений с двумя неизвестными: . Почленно складываем уравнения и находим решение системы:
Таким образом, точка принадлежит данной прямой. Но принадлежит ли? Выполним проверку – подставим её координаты в исходную систему уравнений:
Получены верные равенства, значит, действительно .
В процессе подбора обратите внимание на следующий технический момент: желательно найти точку с целыми координатами. Если бы в системе мы обнулили «икс» или «зет», то не факт, что получилась бы «хорошая» точка без дробных координат. Такой анализ и подбор точки следует проводить мысленно или на черновике.
2) Как найти направляющий вектор прямой? Существует готовая формула: если прямая задана пересечением двух плоскостей , то вектор является направляющим вектором данной прямой.
В нашей задаче:
Однако всех формул не упомнишь и поэтому очень важно понимать, откуда они взялись. Направляющий вектор нашей прямой ортогонален нормальным векторам плоскостей: и , поэтому вектор «пэ» можно найти как векторное произведение векторов нормали: .
Из уравнений плоскостей «снимаем» их векторы нормали:
и находим направляющий вектор прямой:
Проверим результат с помощью скалярного произведения:
, ч.т.п.
И, наконец, завершающий этап:
3) Составим канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
Ответ:
Аналогичная задача для самостоятельного решения:
Задача 152
Записать канонические уравнения прямой
Будьте внимательны! Ваш ответ может отличаться от моего ответа (смотря, какую точку подберёте). Если отличие есть, то для проверки возьмите точку из вашего уравнения и подставьте в моё уравнение (или наоборот).
Полное решение и ответ в конце книги.
И сейчас самое время перейти к простейшим задачам с пространственной прямой:
Решебник.Ру / Кузнецов Л.А. Аналитическая геометрия. Задача 12
Канонические уравнения прямой
Постановка задачи. Найти канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (общими уравнениями)
План решения. Канонические уравнения прямой с направляющим вектором , проходящей через данную точку , имеют вид
. (1)
Поэтому, чтобы написать канонические уравнения прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой.
1. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий вектор ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей, т.е. согласно определению векторного произведения, имеем
. (2)
2. Выбираем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой не параллелен хотя бы одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную плоскость. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее пересечения с этой координатной плоскостью.
3. Подставляем найденные координаты направляющего вектора и точки в канонические уравнения прямой (1).
Замечание. Если векторное произведение (2) равно нулю, то плоскости не пересекаются (параллельны) и записать канонические уравнения прямой не представляется возможным.
Задача 12. Написать канонические уравнения прямой.
Канонические уравнения прямой:
,
где – координаты какой-либо точки прямой, – ее направляющий вектор.
Найдем какую-либо точку прямой . Пусть , тогда
Следовательно, – координаты точки, принадлежащей прямой.
Канонические уравнения прямой:
.
:: Рекомендуемая литература. Ремендуем покупать учебную литературу в интернет-магазине Озон
http://mathter.pro/angem/5_4_4_pryamaya_zadannaya_peresecheniem_dvuh_ploskostey.html
http://www.reshebnik.ru/solutions/9/12