Задача 34288 Составить уравнение биссектрисы угла.
Условие
Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми l1(4x–y+1=0) и l2(2x–y+1=0) смежного с углом, содержащим точку M(1;2)
Решение
Пусть точка Р(х;у) лежит на биссектрисе угла между прямыми.
Это значит, что расстояние d_(1) это точки до прямой l_(1) равно
расстоянию d_(2) это точки до прямой l_(2)
Прямая 4x–y+1=0 разбивает плоскость хОу на две области:
4x–y+1>0 или 4x–y+1 0 — верно;
Прямая 2x–y+1=0 разбивает плоскость хОу на две области:
2x–y+1>0 или 2x–y+1 0 — верно;
Значит точка M принадлежит области
4x–y+1>0
2x–y+1>0
а смежные области задаются неравенствами противоположных знаков.
Поэтому в (#) знак модуля раскрывается так:
(4x-y+1)/sqrt(4^2+1^2) =- (2x-y+1)/sqrt(2^2+1^2)
Делим на (sqrt(5)+sqrt(17))
((2sqrt(17)+4sqrt(5))/(sqrt(17)+sqrt(5))) * x — y + 1=0
Избавляемся от иррациональности в знаменателе
[b]((7 — sqrt(85))/6)*x — y + 1 = 0[/b]
Уравнение биссектрисы угла
Составить уравнение биссектрисы угла можно с помощью свойства биссектрисы угла.
Выведем уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми a1x+b1y+c1=0 и a2x+b2y+c2=0.
Расстояние от точки (xo;yo) до прямой ax+by+c=0 определяется по формуле
По свойству биссектрисы угла любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.
Следовательно, любая точка M(x;y), лежащая на биссектрисе угла, образованного прямыми a1x+b1y+c1=0 и a2x+b2y+c2=0, находится от этих прямых на одинаковом расстоянии, то есть
Это равенство можно записать в виде
Получили уравнения двух биссектрис углов, образованных пересекающимися прямыми.
Написать уравнения биссектрис углов, образованного прямыми 4x-3y-10=0 и 9x-12y-7=0.
В формулу уравнения биссектрис подставляем данные прямых:
Написать уравнение биссектрисы угла между плоскостями
Приведем эти уравнения к нормальному виду, и тогда, для случая, когда , уравнение биссектрисы будет иметь вид
(1)
Для случая же уравнение биссектрисы получим в виде
(2)
Замечание. При решении задачи нет надобности обозначать текущие координаты точки на биссектрисе через X и Y. Их можно обозначить через x и y, так как это не меняет этих уравнений.
Объединяя уравнения (1) и (2) и используя только что сделанное замечание, будем иметь уравнения двух биссектрис в виде
Теперь решение нашей задачи не составит труда.
Для нашего случая уравнения биссектрис запишутся так:
и
Окончательно уравнения биссектрис получаем в виде
Легко проверить, что найденные две биссектрисы перпендикулярны. Действительно, условие перпендикулярности двух прямых A1A2 + B1B2 = 0 выполняется (на этом примере мы получили подтверждение известной из геометрии теоремы: биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны).
http://www.treugolniki.ru/uravnenie-bissektrisy-ugla/
http://www.pm298.ru/reshenie/febr2.php