Написать уравнение двух сопряженных гипербол
Глава 22. Диаметры линий второго порядка
В курсе аналитической геометрии доказывается, что середины параллельных хорд линии второго порядка лежат на одной прямой. Эта прямая называется диаметром линии второго порядка. Диаметр, делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллельные ей), называется сопряженным этой хорде (и всем хордам, который ей параллельны). Все диаметры эллипса и гиперболы проходят через центр. Если эллипс задан уравнением
(1)
то его диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением
.
Если гипербола задана уравнением
, (2)
то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением
.
Все диаметры параболы параллельны ее оси. Если парабола задана уравнением
,
то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением
.
Если один из двух диаметров эллипса или гиперболы делит пополам хорды, параллельные другому, то второй диаметр делит пополам хорды, параллельные первому. Такие два диаметра называются взаимно сопряженными.
Если k и k ’ — угловые коэффициенты двух взаимно сопряженных диаметров эллипса (1), то
(3)
Если k и k ’ — угловые коэффициенты дух взаимно сопряженных диаметров гиперболы (2), то
(4).
Соотношения (3) и (4) называются условиями сопряженности диаметров соответственно для эллипса и для гиперболы.
Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопряженным хордам, называется главным.
Гипербола сопряженная
Две гиперболы называются сопряженными, если они имеют общий центр О и общие оси, но действительная ось одной из них является мнимой осью другой, где
A1A2 — действительная ось гиперболы на рисунке ниже синего цвета , но мнимая ось гиперболы красного цвета ;
B1B2 — действительная ось гиперболы красного цвета , но мнимая ось гиперболы синего цвета.
Если одна из гипербол представляется уравнением (на рисунке синего цвета )
и это есть уравнение одной из сопряженных гипербол, тогда другая представляется уравнением (на рисунке красного цвета )
Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты (т.е. асимптоты совпадают) на рисунке обозначено пунктирной зелёной линией.
Написать уравнение двух сопряженных гипербол
Две гиперболы называются сопряженными (рис. 52), если они имеют общий центр О и общие оси, но действительная ось одной из них является мнимой осью другой.
На рис. 52 — действительная ось гиперболы I и мнимая ось гиперболы действительная ось гиперболы II и мнимая ось гиперболы . Если
есть уравнение одной из сопряженных гипербол, то другая представляется уравнением
Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты на рис. 52).
© 2022 Научная библиотека
Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт
http://www.matematicus.ru/vysshaya-matematika/analiticheskaya-geometriya-na-ploskosti/giperbola-sopryazhennaya
http://scask.ru/j_dict_math.php?id=49