Написать уравнение двух сопряженных гипербол зная что

Написать уравнение двух сопряженных гипербол зная что

Глава 22. Диаметры линий второго порядка

В курсе аналитической геометрии доказывается, что середины параллельных хорд линии второго порядка лежат на одной прямой. Эта прямая называется диаметром линии второго порядка. Диаметр, делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллельные ей), называется сопряженным этой хорде (и всем хордам, который ей параллельны). Все диаметры эллипса и гиперболы проходят через центр. Если эллипс задан уравнением

(1)

то его диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением

.

Если гипербола задана уравнением

, (2)

то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением

.

Все диаметры параболы параллельны ее оси. Если парабола задана уравнением

,

то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k , определяется уравнением

.

Если один из двух диаметров эллипса или гиперболы делит пополам хорды, параллельные другому, то второй диаметр делит пополам хорды, параллельные первому. Такие два диаметра называются взаимно сопряженными.

Если k и k ’ — угловые коэффициенты двух взаимно сопряженных диаметров эллипса (1), то

(3)

Если k и k ’ — угловые коэффициенты дух взаимно сопряженных диаметров гиперболы (2), то

(4).

Соотношения (3) и (4) называются условиями сопряженности диаметров соответственно для эллипса и для гиперболы.

Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопряженным хордам, называется главным.

Написать уравнение двух сопряженных гипербол зная что

Две гиперболы называются сопряженными (рис. 52), если они имеют общий центр О и общие оси, но действительная ось одной из них является мнимой осью другой.

На рис. 52 — действительная ось гиперболы I и мнимая ось гиперболы действительная ось гиперболы II и мнимая ось гиперболы . Если

есть уравнение одной из сопряженных гипербол, то другая представляется уравнением

Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты на рис. 52).

© 2022 Научная библиотека

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

Гипербола сопряженная

Две гиперболы называются сопряженными, если они имеют общий центр О и общие оси, но действительная ось одной из них является мнимой осью другой, где

A₁A₂ — действительная ось гиперболы на рисунке ниже синего цвета , но мнимая ось гиперболы красного цвета ;

B₁B₂ — действительная ось гиперболы красного цвета , но мнимая ось гиперболы синего цвета.

Если одна из гипербол представляется уравнением (на рисунке синего цвета )

и это есть уравнение одной из сопряженных гипербол, тогда другая представляется уравнением (на рисунке красного цвета )

Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты (т.е. асимптоты совпадают) на рисунке обозначено пунктирной зелёной линией.