Задача 37282 Найти уравнение гиперболы, фокусы.
Условие
Найти уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках F1(-5;0),F2(11;0), а расстояние между вершинами равно 12
Все решения
Гипербола симметрична относительно прямой x=3
2a=12
a=6
от х=3 влево и вправо откладываем 6
Вершины гиперболы (-3;0) и (9;0)
О т в е т. ((x-3)^2/36)-(y^2/28)=1
Гипербола: формулы, примеры решения задач
Определение гиперболы, решаем задачи вместе
Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
,
где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.
На чертеже ниже фокусы обозначены как и .
На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.
При a = b гипербола называется равносторонней.
Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.
Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:
.
Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.
Точки и , где
,
называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).
называется эксцентриситетом гиперболы.
Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.
Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.
Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,
Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.
То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.
Подставляем и вычисляем:
Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:
.
Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .
Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:
.
Результат — каноническое уравнение гиперболы:
Если — произвольная точка левой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:
.
Если — произвольная точка правой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:
.
На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.
Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.
Прямые, определяемые уравнениями
,
называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).
Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы
,
где — расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, — расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и — расстояния этой точки до директрис и .
Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.
Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:
.
Получаем уравнение директрис гиперболы:
Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.
Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.
Асимптоты гиперболы определяются уравнениями
.
На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.
Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:
, где .
В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.
Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.
Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.
.
Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:
Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.
Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:
1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)
2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8
3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы
Написать уравнение гиперболы зная расстояние между фокусами
Составить простейшее уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 20, а расстояние между фокусами 30.
Вершины параболы лежат на ее действительной оси. По условию 2a = 20; 2c = 30. Значит, a = 10; c = 15; a 2 = 100; c 2 = 225.
Величины a, b, c у гиперболы связаны соотношением
отсюда b 2 = c 2 — a 2 = 225 — 100; b 2 = 125.
http://function-x.ru/curves_hyperbola.html
http://www.pm298.ru/reshenie/lltre.php