Написать уравнение и найти длину перпендикуляра

Написать уравнение и найти длину перпендикуляра

Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую 3x — 6y + 5 = 0, а также координаты основания этого перпендикуляра.

Приведем данное уравнение к нормальному виду:

После умножения на нормирующий множитель уравнение примет вид

Из сравнения с заключаем, что .

Для определения координат основания этого перпендикуляра из рисунка

(эти формулы верны при любом расположении прямой относительно координатных осей).

как видно из уравнения и искомые координаты основания перпендикуляра равны

Уравнение перпендикулярной прямой

Альтернативная формула
Прямая, проходящая через точку M₁(x₁; y₁) и перпендикулярная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением

назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения перпендикулярной прямой (см. также как составить уравнение параллельной прямой).

Пример №1 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; -1) и перпендикулярной 4x-9y=3 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 4 /₉x – 1 /₃ (a = 4 /₉). Уравнение искомой прямой есть y+1 = -9/4(x-2) , т.е. 9x+4y-14=0 .

Пример №2 . Решая пример 1 (A=4, B=-9) по формуле (2), найдем 4(y+1)+9(x-2)=0 , т.е. 9x+4y-14=0 .

Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-3, -2) перпендикулярно прямой 2y+1=0 .
Решение. Здесь A=0, B=2. Формула (2) дает -2(x+3)=0, т.е. x+3=0 . Формула (1) неприменима, так как a=0 .

Задача 42076 Написать уравнение перпендикуляра.

Условие

Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки M(1; 1; 6) на прямую

Решение

Дано параметрическое уравнение прямой.
Выразим t

Приравниваем правые части
(x+1)/3=y/2=z
Получили каноническое уравнение прямой в пространстве

Прямая имеет направляющий вектор
vector=(3;2;1)

Составляем уравнение плоскости, проходящей через точку M, перпендикулярно данной прямой.

При этом направляющий вектор прямой — нормальный вектор плоскости

Найдем координаты точки N- точки пересечения плоскости и прямой:
3*(-1+3t-1)+2*(2t-1)+1*(t-6)=0
t=1
x_(N)=-1+3=2
y_(N)=2*1=2
z_(N)=1

Составляем уравнение прямой проходящей через две точки М и N:

Уравнение МN, как уравнение прямой проходящей через две точки:
[m]\frac>−x_>=\frac>−y_>=\frac>−z_>[/m]