Написать уравнение касательной параллельной данной

Составить уравнение касательной которая параллельна прямой

Как составить уравнение касательной к графику функции

Задания, связанные с нахождением уравнения касательной, часто вызывают трудности у учеников старших классов. Подобные задачи встречаются и на ЕГЭ по математике. Они могут иметь различную формулировку. К примеру, школьникам предлагают определить тангенс угла наклона касательной или написать, чему будет равна производная в какой-либо конкретной точке. Для решения всех подобных заданий нужно придерживаться простой последовательности действий, которая будет подробно рассмотрена ниже.

Как составлять уравнение касательной в заданной точке

При написании уравнения будем использовать следующие обозначения:

x0 — заданная в условии точка, принадлежащая функции, через которую проводится касательная;
f(x) — исходная функция;
f'(x) — производная от функции;
k — угловой коэффициент.

Перед написанием уравнения следует проверить существование функции в заданной точке касания, является ли она непрерывной и дифференцируемой в ней. Например, гипербола f(x) = 14 / (x + 11) прерывается в x = –11, а g(x) = |8x + 9|, хоть и является непрерывной на всей числовой прямой, в x = 0 не является дифференцируемой.

Алгоритм написания уравнения

После проверки можно приступать к нахождению уравнения. Разберем несложную задачу, в которой нужно найти касательную к f(x) = 3x³ – 6x² + 2x – 1 в x0 = 1. Для этого будем следовать данному алгоритму:

Вычислим f(x0). Для этого просто подставим значение 1 в функцию: f(1) = 3·1³ – 6·1² + 2·1 – 1 = –2.
Теперь необходимо записать производную: f'(x) = 9x² – 12x + 2.
Подсчитаем значение производной в x0: f'(1) = 9·1² – 12·1 + 2 = –1.
Необходимо подставить все найденные выше значения в общую формулу: y = f(x0) + f'(x0)(x – x0). После этого получаем: y = –2 + (–1)·(x – 1) = –x – 1.

В результате приобретает вид: y = –x – 1. Изобразим графики исходной функции и касательной в x0 = 1.

Рассмотрим уравнение более подробно. Как уже было сказано ранее, в общем виде оно имеет вид y = kx + b. В задачах, встречающихся на ЕГЭ, часто нужно рассчитать угловой коэффициент, тангенс угла наклона или же определить, чему будет равна производная в точке касания. Их роль выполняет k — коэффициент, находящийся перед x. Для полученного в примере уравнения k = –1.

Рассмотрим некоторые виды заданий, для решения которых необходимо уметь выписывать касательную к функции в конкретной точке.

Задачи на написание уравнения касательной

Различают несколько типов задач на уравнение касательной в определенной точке. Самый первый и простой тип уже был разобран при написании алгоритма решения подобных заданий. В них необходимо выписать уравнение или коэффициент k. Условием определяется исходная функция и точка касания.

Ко второму типу относятся задачи, в которых известно k, но неизвестно, где происходит касание. Как правило, в их формулировках указывается, что касательная будет проходить параллельна по отношению к оси абсцисс (тогда подразумеваем k = 0), или к какой-либо линейной функции (тогда угловой коэффициент касательной совпадает с коэффициентом k линейной функции). Рассмотрим, как нужно рассуждать, решая такие задания.

Записать уравнение касательной для параболы f(x) = 2x² – 3, если известно, что она будет параллельна y = –8x + 2.

Поскольку касательная параллельна заданной прямой, можно сделать вывод, что угол их наклона совпадает. Запишем, что k = f'(x0) = –8.
Возьмем от функции производную: f'(x) = 4x.
Определим точку касания. Для этого приравняем производную к числу k: 4x = –8. Решим уравнение и найдем x0 = –2.
Вычислим, чему будет равна функция в этой точке: f(–2) = 2·(–2)² – 3 = –11.
Теперь мы располагаем всеми необходимыми данными для записи уравнения. Подставим их в формулу для нахождения уравнения: y = –11 + (–8)(x – (–2)) = –8x – 27.

В третьем типе заданий в условии задается функция и точка, которая не принадлежит ее графику, но лежит на ее касательной.

Написать уравнение касательной к кубической функции g(x) = 2x³, если известно, что она проходит через точку Q(0;–0,5).

Поскольку точка принадлежит касательной, подставим ее координаты в общий вид уравнения: –0,5 = g(x0) + g'(x0)(– x0).
Запишем производную: g'(x) = 6x².
Очевидно, что g(x0) = 2·(x0)³, a g'(x0) = 6·(x0)². Подставим в общий вид: –0,5 = 2·.(x0)³ + 6·(x0)²(– x0). Решим уравнение, и из него определим абсциссу точки касания: x0 = 0,5.
Подсчитываем значение функции в точке: g(0,5) = 2·0,5³ = 0,25.
Вычисляем производную в точке касания: g'(0,5) = 6·0,5² =1,5.
В заключение записываем готовое уравнение, подставив в него рассчитанные данные: y = 0,25 + 1,5(x – 0,5) = 1,5x – 0,5.

Часто встречаются различные графические задачи, не требующие подробного решения. Пример такого задания приведен ниже.

Показан график функции, которая определена на участке [–7;7]. Необходимо выяснить, сколько точек существует на промежутке [–4;6], в которых касательная к изображенной функции будет параллельна y = –66.

Будем рассуждать так. Прямая y = –66 проходит параллельно оси абсцисс. Это значит, что ее угловой коэффициент, а также значение производной в точке, где произошло касание, и угол наклона касательной будут нулевыми. Это возможно лишь в точках экстремума. Подсчитать их количество не составит труда: 4 максимума и 3 минимума, т. е. 7 точек. Однако –5 не входит в промежуток, заданный условием. Поэтому окончательным ответом будет число 6.

Видео

Закрепить это тему вам поможет видео.

дана функция f(x)=x^3-3x^2-3x+5. Напишите уравнение касательной к графику y=F(x), параллельной прямой y=-3x+4

чтобы найти касательную, сначала находим производную: f'(x) = 3x^2-6x-3
условие параллельности заключается в том, что f(x) = k (в данном случае k=-3, это коэффициент перед х в уравнении прямой)
3x^2-6x-3 = -3 решаем
x(3x-6)=0
x1=0, x2=2

x1=0
f(x1)=5
f'(x1)=-3
искомое уравнение выглядит как f(x)=f(корень уравнения) (х — корень уравнения) + f'(корень уравнения) , то бишь f(x)=5-3x

а вообще гугл в помощь, на будущее) очень легко решается, занимает около 5-7 минут) максимум)

читай источник
тему: Nigma математика

Уравнение касательной к графику функции

Онлайн калькулятор для вычисления уравнения касательной к графику функции.
Ряд Маклорена (=Макларена) это ряд Тейлора в окрестности точки а=0.
Вычисление значения функции y0 в точке x0:y0 = f(x0). Если исходное значение y0
задано, то переходим к п.2.
Нахождение производной y'(x).
Вычисление значения производной при x0.
Запись уравнения касательной к кривой линии в форме: yk = y0 + y'(y0)(x — x0)

Калькулятор поможет составить и решить уравнение касательной к графику функции онлайн.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Уравнение касательной к графику функции

п.1. Уравнение касательной

Рассмотрим кривую $y=f(x)$.
Выберем на ней точку A с координатами $(x_0,y_0)$, проведем касательную AB в этой точке.

Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке $x_0$: $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: $(y_B-y_A)=k(x_B-x_A)$.
Для $A(x_0,y_0),\ B(x,y)$ получаем: \begin (y-y_0)=k(x-x_0)\\ y=k(x-x_0)+y_0\\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \end

Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде $y=kx+b$, нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=\underbrace_<=k>x+\underbrace_ <=b>$$

п.2. Алгоритм построения касательной

На входе: уравнение кривой $y=f(x)$, абсцисса точки касания $x_0$.
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания $f(x_0)$
Шаг 2. Найти общее уравнение производной $f’ (x)$
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания $f'(x_0 )$
Шаг 4. Записать уравнение касательной $y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)$, привести его к виду $y=kx+b$
На выходе: уравнение касательной в виде $y=kx+b$

Пусть $f(x)=x^2+3$.
Найдем касательную к этой параболе в точке $x_0=1$.

$f(x_0)=1^2+3=4 $
$f'(x)=2x $
$f'(x_0)=2\cdot 1=2$
Уравнение касательной: $$ y=2(x-1)+4=2x-2+4=2x+2 $$ Ответ: $y=2x+2$

п.3. Вертикальная касательная

Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода $x_0\notin D$, в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку $x_0\in D$, входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку $(x_0,y_0)$.

Вертикальные касательные характерны для радикалов вида $y=\sqrt[n]$.

Пусть $f(x)=\sqrt[5]+1$.
Найдем касательную к этой кривой в точке $x_0=1$.

$f(x_0)=\sqrt[5]<1-1>+1=1$
$f'(x)=\frac15(x-1)^<\frac15-1>+0=\frac15(x-1)^<-\frac45>=\frac<1><5(x-1)^<\frac45>> $
$f'(x_0)=\frac<1><5(1-1)^<\frac45>>=\frac10=+\infty$
В точке $x_0$ проходит вертикальная касательная.
Её уравнение: $x=1$
Ответ: $y=2x+2$

п.4. Примеры

Пример 1. Для функции $f(x)=2x^2+4x$
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.

Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0\Rightarrow 2x(x+2)=0\Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x=-2 \end \right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0).
Касательная в точке $x_0=0$: \begin f(x_0)=0,\ \ f'(x)=4x+4\\ f'(x_0)=4\cdot 0+4=4\\ y=4(x-0)+0=4x \end Касательная в точке $x_0=-2$: \begin f(x_0)=0,\ \ f'(x)=4x+4\\ f'(x_0)=4\cdot (-2)+4=-4\\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 \end

б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.

Общее уравнение касательной: $f'(x)=4x+4$
По условию $f'(x_0)=tg\alpha=tg45^\circ=1$
Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1\Rightarrow 4x_0=-3\Rightarrow x_0=-\frac34 $$ Точка касания $x_0=-\frac34$ \begin f(x_0)=2\cdot\left(-\frac34\right)^2+4\cdot\left(-\frac34\right)=\frac98-3=-\frac<15> <8>\end Уравнение касательной: \begin y=1\cdot\left(x+\frac34\right)-\frac<15><8>=x-\frac98 \end

в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой $2x+y-6=0$. Напишите уравнение этой касательной.

Найдем угловой коэффициент заданной прямой: $y=-2x+6\Rightarrow k=-2$.
Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже $k=-2$. Получаем уравнение: \begin f'(x_0)=-2\\ 4x_0+4=-2\Rightarrow 4x_0=-6\Rightarrow x_0=-\frac32 \end Точка касания $x_0=-\frac32$ \begin f(x_0)=2\cdot\left(-\frac32\right)^2+4\cdot\left(-\frac32\right)=\\ =\frac92-6=-\frac32 \end Уравнение касательной: \begin y=-2\cdot\left(x+\frac32\right)-\frac32=-2x-\frac92 \end Или, в каноническом виде: \begin 2x+y+\frac92=0 \end

г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.

У горизонтальной прямой $k=0$.
Получаем уравнение: $f'(x_0)=0$. \begin 4x_0+4=0\Rightarrow 4x_0=-4\Rightarrow x_0=-1 \end Точка касания $x_0=-1$ \begin f(x_0)=2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)=-2 \end Уравнение касательной: \begin y=0\cdot(x+1)-2=-2 \end

Ответ: а) $y=4x$ и $y=-4x-8$; б) $y=x-\frac98$; в) $2x+y+\frac92=0$; г) $y=-2$

Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции $f(x)=\frac-x$ перпендикулярна прямой $y=11x+3$. Напишите уравнение этой касательной.

Угловой коэффициент данной прямой $k_1=11$.
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой $k_2=-\frac<1>=-\frac<1><11>$ \begin f'(x)=\left(\frac\right)’-x’=\frac<2x(x+3)-(x^2+2)\cdot 1><(x+3)^2>-1=\frac<2x^2+6x-x^2-2-(x+3)^2><(x+3)^2>=\\ =\frac<(x+3)^2>=- \frac<11> <(x+3)^2>\end В точке касания: \begin f'(x_0)=k_2\Rightarrow=-\frac<11><(x+3)^2>=-\frac<1><11>\Rightarrow (x+3)^2=121\Rightarrow (x+3)^2-11^2=0\Rightarrow\\ \Rightarrow (x+14)(x+8)=0\Rightarrow \left[ \begin x=-14\\ x=8 \end \right. \end
Уравнение касательной при $x_0=-14$ \begin f(x_0)=\frac<(-14)^2+2><-14+3>+14=\frac<198><-11>+14=-18+14=-4\\ y=-\frac<1><11>(x+14)-4=-\frac <11>\end Уравнение касательной при $x_0=8$ \begin f(x_0)=\frac<8^2+2><8+3>-8=\frac<66><11>-8=-2\\ y=-\frac<1><11>(x-8)-2=-\frac <11>\end
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение $y=-\frac<11>$
и точка касания (8;-2), уравнение $-\frac<11>$

Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам $y=x^2-5x+6$ и $y=x^2+x+1$. Укажите точки касания.

Найдем производные функций: \begin f_1′(x)=2x-5,\ \ f_2′(x)=2x+1 \end Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b — для второй.
Запишем уравнения касательных $g_1(x)$ и $g_2(x)$ через эти переменные. \begin g_1(x)=f_1′(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\\ \\ g_2(x)=f_2′(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) \end Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: \begin \begin 2a-5=2b+1\\ 6-a^2=1-b^2 \end \Rightarrow \begin 2(a-b)=6\\ a^2-b^2=5 \end \Rightarrow \begin a-b=3\\ (a-b)(a+b)=5 \end \Rightarrow \begin a-b=3\\ a+b=\frac53 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin 2a=3+\frac53\\ 2b=\frac53-3 \end \Rightarrow \begin a=\frac73\\ b=-\frac23 \end \end Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2\cdot\frac73-5=-\frac13,\ \ b=6-a^2=6-\frac<49><9>=\frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-\frac x3+\frac59 $$
Точки касания: \begin a=\frac73,\ \ f_1(a)=\left(\frac73\right)^2-5\cdot\frac73+6=\frac<49><9>-\frac<35><3>+6=\frac<49-105+54><9>=-\frac29\\ b=-\frac23,\ \ f_2(b)=\left(-\frac23\right)^2-\frac23+1=\frac49-\frac23+1\frac<4-6+9><9>=\frac79 \end
Ответ: касательная $y=-\frac x3+\frac59$; точки касания $\left(\frac73;-\frac29\right)$ и $\left(-\frac23;\frac79\right)$

Пример 5*. Докажите, что кривая $y=x^4+3x^2+2x$ не пересекается с прямой $y=2x-1$, и найдите расстояние между их ближайшими точками.

Решим уравнение: $x^4+3x^2+2x=2x-1$ \begin x^4+3x^2+1=0\Rightarrow D=3^2-4=5\Rightarrow x^2=\frac<-3\pm\sqrt<5>> <2>\end Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
Значит, $x\in\varnothing$ — решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.

Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом $k=2$, то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой $y=2x-1$.
Строим уравнение касательной. По условию: $f'(x)=4x^3+6x+2=2$ \begin 4x^3+6x=0\Rightarrow 2x(2x^2+3)=0\Rightarrow \left[ \begin x=0\\ 2x^2+3=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x^2=-\frac32 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x\in\varnothing \end \right. \Rightarrow x=0 \end Точка касания $x_0=0,\ y_0=0^4+3\cdot 0^2+2\cdot 0=0$.
Уравнение касательной: $y=2(x-0)+0=2x$

Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми:
$y=2x$ и $y=2x-1$.
Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую $y=2x-1$ имеет угловой коэффициент $k=-\frac12$, его уравнение: $y=-\frac12 x+b$. Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и $b=0$.

Уравнение перпендикуляра: $y=-\frac x2$.
Находим точку пересечения прямой $y=2x-1$ и перпендикуляра $y=-\frac x2$: \begin 2x-1=-\frac x2\Rightarrow 2,5x=1\Rightarrow x=0,4;\ y=-\frac<0,4><2>=-0,2 \end Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние $OA=\sqrt<0,4^2+(-0,2)^2>=0,2\sqrt<2^2+1^2>=\frac<\sqrt<5>><5>$
Ответ: $\frac<\sqrt<5>><5>$

дана функция f(x)=x^3-3x^2-3x+5. Напишите уравнение касательной к графику y=F(x), параллельной прямой y=-3x+4

а вообще гугл в помощь, на будущее) очень легко решается, занимает около 5-7 минут) максимум)

читай источник
тему: Nigma математика

источники:

http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/uravnenie-kasatelnoj-k-grafiku-funkcii/

http://sprashivalka.com/tqa/q/7432152