Написать уравнение кривой по которой движется точка

Траектория и уравнения движения точки

Траектория и уравнения движения точки

• Уравнение движения для локуса и точек 1°.Основные понятия. Траекторией точки называется линия, описываемая точкой движения в пространстве. Траектории могут быть плоскими или пространственными кривыми. Движение точки определяется установлением закона движения. Закон движения точек (уравнения) устанавливает зависимость расположения точек во временном пространстве.

Движение точки M в фиксированной системе координат xyz определяется установкой 3 функций (рис.3.1). * = / > ( ’). J’ = / *( Людмила Фирмаль

Создайте уравнение движения для точки N в декартовой системе координат. Найдите уравнение его орбиты. Определяет полный 1-кратный поворот точки N и точку, в которой координаты обеих точек равны. The solution. To составьте уравнение движения точки N, необходимо представить ее координаты в виде функции времени. Из рисунка найдите координату x в точке N. Х = О с COS Людмила Фирмаль

Затем по координатам определяется максимальное отклонение точки м от центра колебаний О. МПМ = а ХІ =-а. Величина a называется амплитудой колебаний, kt — (- (J называется фазой колебаний, ap-начальной фазой колебаний. Определите период колебаний, то есть время, в течение которого точки совершают 1 полное колебание, то есть возвращаются в исходное положение с той же скоростью и величиной. Обозначим период буквой Т и найдем его значение из условия, что приращение фазы колебаний за это время равно 2π. Иначе говоря

Задача 3.4.Точки перемещаются в соответствии с уравнением. x = A cos(kt-e), (1） г = Б, потому что КТ(2） Определите уравнение траектории движения точки. Как изменяется локус точек при увеличении разности фаз£от 0 до 2r? The solution. To найдя уравнение орбиты точки в явном виде, нужно исключить время из уравнения motion. To для этого сначала преобразуем уравнение движения. х = а соѕ(т-е)= а [потому что КТ потому что£-(- КТ грех грех ЭЖ.(3） решая уравнения (2) и (3) для cos kt и sin kt, получим: Х г — г соз£ а б. Преступление. потому что КТ =£о грех КТ = Добавьте эти уравнения, возведя их в квадрат. г, (т -£»»’) ’ 1 Б% ’ °1 (4） Sin2 е

Или в конце： — В + М — ^^ ко ^ грех ’、 уравнение (4) для любого значения e является уравнением эллипса. Из этого уравнения максимальные и минимальные значения являются Параметры±соответственно. a для x и zt b для y. таким образом, во всех случаях эллипс вписывается в прямоугольники со сторонами 2a и 2b. измените значение от 0 до 2ir. если e = 0, то выражение(4) принимает вид:

Так, если фазы обеих составляющих колебаний перпендикулярны друг другу, то эллипс вырождается в 2 совпадающие прямые, являющиеся диагоналями прямоугольника(рис. в коса -> -= учитывая it_y = 0, горизонтальная дальность полета I определяется из орбитального уравнения (4).

log A x cos2 a следовательно 2 значения x\ Т / л грех 2а х0 = 0, ХН = 1 = 8. Первое значение соответствует первому моменту (моменту отправления точки), А второе определяет горизонтальное расстояние. Сравнивая значения /и 5, можно сделать вывод, что/ = 2s, то есть точки достигают наивысшего положения в диапазоне горизонтальной половины. Итак, положение точки в пространстве в этой точке.

Уравнение (1) представляет собой параметрическое уравнение траектории a point. To найдя уравнение орбиты точки в координатной форме, нужно исключить время из уравнения(1) и получить форму зависимости. БФ,(Ци, г)= 0, 9а, КР, з)= 0. Комбинация этих 2 уравнений определяет кривую, по которой перемещаются точки. Есть и другие способы указать движение points. In векторным методом, определяющим законы движения, радиус-вектор r движущейся точки M (рис.3.1) задается как функция времени r = r (t).Связь между радиус-вектором r и Декартовыми координатами точки представлена уравнением Р = ХІ * \ — ый + ЗК. (2 ） Где i, j и k-единичные векторы (единичные векторы) осей. (2)

Если вы получаете x, y> z, текущие координаты точки A4, как определено y. уравнение(1), то (2) x Дайте закон движения точек в векторной форме. 3-й способ задания движения точек называется natural. In в этом случае движение точек определяется уравнением а = /( (). Сферические и цилиндрические координаты часто используются для изучения движения точки в пространстве. Сферическими координатами точки M (рис.3.4) являются расстояние r точки M от неподвижного центра O, угол φ (угол поворота плоскости zOM относительно неподвижной плоскости xOz) и угол ？ =?(’) * (5 *）

Уравнение движения для цилиндрических координат： р = п(о> т = м р = РЗ). (си *） м г Так… 1. Рисунок 3.4. Да. Чтобы перейти от сферических координат к декартовым, используйте следующую формулу:> х = р с с COS

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Задача 26616 4.1.80) Написать уравнение кривой, сумма.

Условие

4.1.80) Написать уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точ­ки которой до точек F1(-2; 0) и F2(2; 0) равна 2sqrt(5)

Решение

Пусть M(x;y) — произвольная точка кривой.
F_(1)M=sqrt((x-(-2))^2+(y-0)^2)=sqrt((x+2)^2+y^2);
F_(2)M=sqrt((x-2)^2+(y-0)^2)=sqrt((x-2)^2+y^2);
По условию
F_(1)M+F_(2)M=2sqrt(5)

Возводим в квадрат.

x^2+4x+4+y^2=20-2*2sqrt(5)sqrt((x-2)^2+y^2)+x^2-4x+4+y^2
4sqrt(5)*sqrt((x-2)^2+y^2)=20-8x;
sqrt(5)*sqrt((x-2)^2+y^2)=5-2x
Возводим в квадрат
5*((x-2)^2+y^2)=25 — 20x+4x^2
5x^2- 20x+20+y^2=25 — 20x + 4x^2
x^2 +5 y^2=5
(x^2/5)+y^2=1 — уравнение эллипса
с полуосями a=sqrt(5) и b=1

3.1. Линии второго порядка. Каноническое уравнение эллипса

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная.

Выведем уравнение эллипса в соответствии с данным определением. Для этого зафиксируем декартову систему координат ХОу как показано на рисунке.

Согласно определению эллипса для точки М имеем , где А — некоторая постоянная. В координатах

.

Подставим эти значения в основное равенство, получим уравнение

.

После стандартного метода «уничтожения» радикалов (возведения обеих частей уравнения в квадрат (см. пример 1.)) получим каноническое уравнение эллипса

(1)

Где . Величины А и B, называются соответственно Большой и Малой Полуосями эллипса.

Замечание. В частности, при из (1) имеем уравнение окружности радиуса А с центром в начале координат

. (2)

1. Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии Х и У (их называют главными осями эллипса) и центр симметрии О (его называют центром эллипса).

Утверждение следует из того, что замена координат на или или не изменяет вид уравнения (1). При этом, в первом случае, при преобразовании , имеем ось симметрии У, во втором — ось симметрии , а в третьем — центр симметрии О.

2. Эллипс полностью содержится в прямоугольнике

.

Из уравнения (1) имеем . Аналогично, .

3. Эллипс получается равномерным сжатием окружности.

Рассмотрим окружность . Произведем равно-мерное сжатие плоскости к оси Ох: . Подставим эти значения в уравнение окружности (2), имеем . После деления на получим уравнение (1).

Построим эллипс на основании его свойств и уравнения (1)

Пример 1. Написать уравнение кривой по которой движется точка M, если сумма расстояний от нее до точек и остается постоянной и равной .

Решение. Согласно условию задачи

.

.

Возведем обе части уравнения в квадрат и приведем подобные члены, получим

Еще раз возводим в квадрат и приведем подобные члены

Пример 2. На эллипсе найти точку, расстояние от которой до фокуса в четыре раза больше расстояния чем до фокуса .

Решение. Запишем уравнение эллипса в каноническом виде:

.

Найдем координаты фокусов эллипса

.

Согласно условию задачи

Выразим Из уравнения эллипса , подставим в данное уравнение и приведем подобные члены, получим квадратное уравнение Его корни — лишний корень, т. к. . Тогда . Отв.