Написать уравнение кривой в полярных координатах

Задача 37826 Записать уравнения кривых в полярных.

Условие

Записать уравнения кривых в полярных координатах и построить их.

Решение

Вводим полярные координаты
x=r*cos φ
y=r*sin φ

1)
x=2y
r*cos φ=2r*sinφ ⇒ tgφ=2 — уравнение линии в полярных координатах

Луч под углом φ к полярной оси, причем tgφ =2

(r*cos φ)^2+(r*sinx φ)^2=169

r^2*(cos^2 φ +sin^2 φ )=13

r=13 — уравнение линии в полярных координатаx

Окружность с центром в точке О радиусом r=13

(r*cos φ)^2+(r*sinx φ)^2=-12*r*cosφ

r^2*(cos^2 φ +sin^2 φ )=-12*r*cosφ

так как r ≥ 0 ⇒ -12cosφ ≥ 0 ⇒ cos φ ≤ 0

Окружность в 2 и 3 четверти

(r*cos φ)^2+(r*sinx φ)^2=0,8*r*sinφ

r^2*(cos^2 φ +sin^2 φ )=0,8*rsinφ

так как r ≥ 0 ⇒ 0,8*sinφ ≥ 0 ⇒ sin φ ≥ 0

Окружность в 1 и 2 четверти

Примеры решений: полярная система координат

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему Кривые в полярной системе координат: табуляция функции, построение графика, переход к уравнению в декартовой системе координат т.п.

Основные этапы при работе с кривой, заданной в полярной системе координат, такие:

• 1. Построить полярную систему координат (изобразить полюс, полярную ось и угловые направления). Обычно строят вспомогательные лучи через $\pi/6$ или $\pi/8$ радиан, для большинства кривых этих точек (получается от $0$ до $2\pi$ помещается 12 или 16 значений) вполне достаточно.
• 2. Табулируем кривую: берем последовательно все углы $\phi$ (см. выше): $0$, $\pi/8$, $\pi/4$, $3\pi/8$. и в каждой точке вычисляем значение $\rho(\phi)$. Заносим значения в таблицу.
• 3. Берем начерченную в первом пункте полярную систему координат и наносим точки. На полярной оси отмеряем значние $\rho(0)$, на луче $\pi/8$ — $\rho(\pi/8)$ и так далее.
• 4. Соединяем все точки плавной линией. Получается искомая кривая. Для проверки правильности можно построить дополнительно график с помощью онлайн-сервисов.
• 5. Если требуется найти уравнение кривой в декартовой системе координат, подставляем подходящие формулы $\rho=\sqrt$, $x=\rho\cos \phi$, $y=\rho\sin \phi$ и преобразуем.

Более подробно — в примерах ниже. Удачного изучения!

Полярная система координат: решения онлайн

Задача 1. Построить следующие кривые в полярной системе координат: Лемниската Бернулли $\rho^2=2\cos 2\phi$ (полюс помещен в точку О).

Задача 2. Построить по точкам кривую, заданную уравнением в полярной системе координат $\rho=2\sin 2\phi$. Найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось $Ox$ с полярной осью.

Задача 3. Дана линия своим уравнением в полярной системе координат $r=8 \sin \phi$. Требуется:
1) построить линию по точкам, давая $\phi$ значения через $\pi/6$, начиная с 0 до $2\pi$.
2) Найти уравнение этой линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью.

Задача 4. Линия задана уравнением $r=18/(4+5\cos \phi)$ в полярной системе координат. Требуется:
Построить линию по точкам, начиная от 0 до $2\pi$ и придавая $\phi$ значения через промежуток $\pi/8$.
Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.
Назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет.

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Аналитическая геометрия
• Высшая математика.
• Аналитическая геометрия.
• Уравнение эллипса, гиперболы, параболы в полярной системе координат.

Уравнение эллипса, гиперболы, параболы в полярной системе координат.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Пример.

Пусть $\Gamma -$ эллипс, ветвь гиперболы или парабола, $F -$ фокус этой кривой, $D -$ соответствующая директриса. Вывести уравнение кривой $\Gamma$ в полярной системе координат, полюс которой совпадает с фокусом а полярная ось сонаправлена с осью кривой (см рисунок 1).

Решение.

Общее свойство эллипса, гиперболы и параболы состоит в следующем $$M\in\Gamma\Leftrightarrow\frac<\rho(M, F)><\rho(M, D)>=const=e,\qquad\qquad (1)$$ где $e -$ эксцентриситет кривой ( $e 1$ для гиперболы и $e=1$ для параболы)

Обозначим расстояние от фокусы до директрисы через $\frac

$( $p-$ параметр кривой, называемый полуфокальным параметром). Тогда из рисунка 1 следует, что $\rho(M, F)=r$ и $\rho(M, D)=\frac

+r\cos\varphi.$ Подставляя эти выражения в (1), получаем $$\frac<\frac

+r\cos\varphi>=e,$$ откуда $$r=\frac

<1-e\cos\varphi>.\qquad\qquad (2)$$ Уравнение (2) и есть искомое уравнение в полярной системе координат, общее для эллипса, гиперболы и параболы.

Примеры.

2.321(а).

Для эллипса $\frac<25>+\frac<16>=1$ написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится в левом фокусе.

Решение.

Найдем эксцентриситет параболы и параметр $p:$

Далее, подставляя найденные параметры в полярное уравнение (2), найденное в предыдущей задаче, найдем уравнение данного эллипса:

2.324(а).

Написать каноническое уравнение кривой второго порядка $r=\frac<9><5-4\cos\varphi>.$

Решение.

Приведем заданное уравнение, к уравнению вида $r=\frac

<1-e\cos\varphi>:$

Отсюда имеем: $e=\frac<4><5>,$ $p=\frac<9><5>.$ Поскольку $e

Далее, подставляя выражения эксцентриситета и параметра по определению, надем полуоси эллипса:

Таким образом, запишем каноническое уравнение эллипса:

Вывести полярное уравнение гиперболы $\frac-\frac=1,$ при условии, что полярная ось сонаправлена с осью $Ox,$ а полюс находится в центре гиперболы.

Решение.

Так как полюс находится в центре гиперболы, то $OM=r,$ тогда $\rho(M, D)=r\cos\varphi-\frac,$ $\rho(M, F)=\sqrt <(r\sin\varphi)^2+(c-r\cos\varphi)^2>.$

Таким образом, из уравнения (1) находим:

Домашнее задание.

2.321(б) Для эллипса $\frac<25>+\frac<16>=1$ написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится в правом фокусе.

2.322. Для правой ветви гиперболы $\frac<16>-\frac<9>=1$ написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится

а) в левом фокусе, б) в правом фокусе.

2.323. Для параболы $y^2=6x$ написать полярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы.

2.324 (б, в) Написать канонические уравнения следующих кривых второго порядка:

Ответ: а) $\frac<16>-\frac<9>=1,$ б) $y^2=6x.$

2.327. Вывести полярное уравнение параболы $y^2=2px$ при условии, что полярная ось сонаправленна с осью $Ox,$ а полюс находится в вершине параболы.