Написать уравнение линии по которой движется точка

1.6. Первая основная задача аналитической геометрии на плоскости

Основных задач аналитической геометрии на плоскости две. Первая из них: Для заданной линии найти ее уравнение. Вторая задача – обратная: По заданному уравнению линии построить линию.

Начнем с рассмотрения первой, более трудной, задачи. Трудность решения этой задачи очевидна: ведь нужно найти математическое уравнение, которому будут удовлетворять координаты любой точки данной линии, и только они. Для достаточно сложных линий (например, для линии, образованной свободным движением руки) точное решение этой задачи вообще оказывается невозможным – только приближенное. Однако для не слишком сложных и, главное, четко описанных линий их уравнения найти можно. Мы, например, без труда сделали это в предыдущем параграфе для линий, изображенных на рис. 1.12 и 1.13. Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 1. Найти уравнения вертикальной прямой L1 и горизонтальной прямой L2, изображенных на рис. 1.14.

Решение. Уравнения этих прямых очевидны: X= A – уравнение прямой L1, Y = B – уравнение прямой L2. Действительно, этим уравнениям удовлетворяют координаты любой точки соответствующих прямых, и только они. В частности, Y = 0 – это уравнение оси Ox, а X = 0 – уравнение оси Oy.

Пример 2. Найти уравнение прямой L, изображенной на рис. 1.15.

Решение. Как известно из школьного курса математики, наклонная прямая – это график линейной функции вида Y = Kx + B. Значит, уравнение данной прямой L имеет вид Y = Kx + B. Нам только нужно найти параметры K и B этого уравнения.

Используем рис. 1.15. Так как точки М1(-2; 0) и М2 (0; 1) лежат на прямой L, то их координаты (X; Y) должны удовлетворять уравнению прямой. Подставляя эти координаты в уравнение прямой Y = Kx + B, получим систему из двух равенств:

Решая ее, находим: ; B = 1. Следовательно, уравнение данной прямой L таково: . Или, в неявной форме, .

Пример 3. Найти уравнение окружности L с центром в заданной точке и заданным радиусом R (рис. 1.16).

Решение. Для любой точки М(X; Y) окружности L, и только для точек этой окружности, имеет место равенство:

Реализуя это равенство с помощью формулы (3.1) расстояния между двумя точками, получим:

.

Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим равносильное равенство:

. (5.1)

Это и есть искомое уравнение указанной окружности L.

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат (; ), то ее уравнение примет вид:

Это уравнение, кстати, совпадает с уравнением (4.11), полученным ранее другим путем.

Пример 4. Найти уравнение линии, состоящей из точек, равноудаленных от оси Ох и от точки .

Решение. Пусть М(X; Y) – произвольная точка указанной линии, а N (x; 0) – проекция точки М(X; Y) на ось Ох (рис. 1.17). По условию задачи для любой точки М(X; Y) линии и только для точек этой линии. Если использовать формулу (3.1) расстояния между двумя точками, то это равенство примет вид:

После возведения в квадрат обеих частей и очевидных упрощений оно примет вид: . Это и есть уравнение указанной в задаче линии. Судя по этому уравнению, эта линия – парабола Y = X2, поднятая на вдоль оси Оу (рис. 1.18).

А теперь рассмотрим вопрос о Приближенных уравнениях линий. Чаще всего этот вопрос возникает, когда речь идет о линиях, полученных в результате экспериментов.

А именно, пусть экспериментальным путем изучается зависимость Y = F(X) между двумя величинами. Например, зависимость урожайности культуры Y от количества внесенных под нее удобрений X; пройденного пути Y от времени движения X; прибыли предприятия Y от величины затрат X и т. д. В ходе эксперимента для ряда значений X определяются соответствующие значения Y, что приводит к экспериментальной таблице вида

Данные этой таблицы можно изобразить и графически в виде системы экспериментальных точек М1 (X1; Y1), М2 (X2; Y2), … МN (Xn; Yn) (рис. 1.19). По этим экспериментальным данным нужно получить искомое уравнение Y = F(X), связывающее Y с X. Такое уравнение называется Эмпирической формулой, а сама задача получения такой формулы называется Задачей построения эмпирической формулы.

В этой задаче фактически идет речь о нахождении уравнения Y = F(X) линии L по точкам М1, М2, … МN, которые, вообще говоря, на этой линии не лежат, так как они содержат в себе неизбежные погрешности эксперимента и, кроме того, содержат результат влияния различных неучтенных факторов (помех). Поэтому искомая линия L может отличаться от линии L*, непосредственно соединяющей экспериментальные точки. В частности, линия L* может иметь весьма причудливую форму, в то время как сама линия L будет простой и гладкой (например, прямой). Линия L должна как бы сглаживать линию L*, устраняя ее незначительные перепады, связанные с неточным положением экспериментальных точек.

При нахождении эмпирической формулы Y = F(X), а значит, и соответствующей ей линии L, приходится решать две частные задачи.

Первая из них – выбор Типа эмпирической формулы. То есть выбор того класса функций, к которому принадлежит искомая функция Y = F(X). Во многих случаях класс функций, из которого подбирается эмпирическая формула, подсказывается теоретическими представлениями о характере изучаемой зависимости (зависимость линейная вида Y = Kx или Y = Kx + B, квадратичная вида , обратно пропорциональная вида , показательная вида и т. д.). Или, если указанные теоретические представления отсутствуют, то класс функций для эмпирической формулы подбирают по характеру расположения экспериментальных точек.

После того, как вид эмпирической формулы выбран, то есть первая частная задача решена, остается определить Наилучшие значения входящих в эту формулу числовых коэффициентов. Эта задача (вторая частная задача) уже более легкая, ибо решается стандартным методом – Методом наименьших квадратов. В соответствии с этим методом наилучшими значениями параметров эмпирической формулы считаются те, при которых сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от эмпирической кривой Y = F(X) была бы минимальной.

Вручную реализовывать метод наименьших квадратов трудоемко, но это и не требуется – это обычно делается по стандартным программам на ЭВМ.

Впрочем, в простейшем (и наиболее часто встречающимся на практике) случае, когда экспериментальные точки располагаются приблизительно по прямой, можно обойтись и без метода наименьших квадратов – можно все сделать вручную, графическим путем.

В этом случае эмпирическая формула Y = F(X) строится, естественно, в виде уравнения прямой Y = Kx + B. Параметры и B этого уравнения имеют наглядный геометрический смысл (рис.1.20), поэтому могут быть найдены из чертежа. Сама прямая L, сглаживающая экспериментальные точки, строится на глаз, вручную. Этот графический путь почти исключает вычисления, он нагляден, и при достаточном навыке дает результаты ненамного худшие, чем метод наименьших квадратов.

Кстати, этим путем можно построить и достаточно хорошие эмпирические формулы для ряда экспериментальных кривых – параболы, гиперболы и т. д., но на этом останавливаться не будем.

1. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку .

2. Написать уравнение линии, по которой движется точка М(x; y), равноудаленная от начала координат и от точки A(-4; 2). Лежат ли на этой линии точки B(-2;1), C(2;3), D(1;7)?

3. Найти уравнение линии, по которой движется точка, оставаясь постоянно вдвое ближе к оси Ох, чем к оси Оу. Построить линию по ее уравнению.

Ответ: – крест из прямых и .

4. Найти уравнение линии, состоящей из таких точек, что разность расстояний от каждой из них до точек F1(-2;-2) и F2(2;2) равна 4. Построить линию по ее уравнению.

Ответ: – гипербола.

5. По данным эксперимента, представленным в таблице, графическим путем подобрать эмпирическую формулу вида Y = Kx + B.

Траектория и уравнения движения точки

Траектория и уравнения движения точки

• Уравнение движения для локуса и точек 1°.Основные понятия. Траекторией точки называется линия, описываемая точкой движения в пространстве. Траектории могут быть плоскими или пространственными кривыми. Движение точки определяется установлением закона движения. Закон движения точек (уравнения) устанавливает зависимость расположения точек во временном пространстве.

Движение точки M в фиксированной системе координат xyz определяется установкой 3 функций (рис.3.1). * = / > ( ’). J’ = / *( Людмила Фирмаль

Создайте уравнение движения для точки N в декартовой системе координат. Найдите уравнение его орбиты. Определяет полный 1-кратный поворот точки N и точку, в которой координаты обеих точек равны. The solution. To составьте уравнение движения точки N, необходимо представить ее координаты в виде функции времени. Из рисунка найдите координату x в точке N. Х = О с COS Людмила Фирмаль

Затем по координатам определяется максимальное отклонение точки м от центра колебаний О. МПМ = а ХІ =-а. Величина a называется амплитудой колебаний, kt — (- (J называется фазой колебаний, ap-начальной фазой колебаний. Определите период колебаний, то есть время, в течение которого точки совершают 1 полное колебание, то есть возвращаются в исходное положение с той же скоростью и величиной. Обозначим период буквой Т и найдем его значение из условия, что приращение фазы колебаний за это время равно 2π. Иначе говоря

Задача 3.4.Точки перемещаются в соответствии с уравнением. x = A cos(kt-e), (1） г = Б, потому что КТ(2） Определите уравнение траектории движения точки. Как изменяется локус точек при увеличении разности фаз£от 0 до 2r? The solution. To найдя уравнение орбиты точки в явном виде, нужно исключить время из уравнения motion. To для этого сначала преобразуем уравнение движения. х = а соѕ(т-е)= а [потому что КТ потому что£-(- КТ грех грех ЭЖ.(3） решая уравнения (2) и (3) для cos kt и sin kt, получим: Х г — г соз£ а б. Преступление. потому что КТ =£о грех КТ = Добавьте эти уравнения, возведя их в квадрат. г, (т -£»»’) ’ 1 Б% ’ °1 (4） Sin2 е

Или в конце： — В + М — ^^ ко ^ грех ’、 уравнение (4) для любого значения e является уравнением эллипса. Из этого уравнения максимальные и минимальные значения являются Параметры±соответственно. a для x и zt b для y. таким образом, во всех случаях эллипс вписывается в прямоугольники со сторонами 2a и 2b. измените значение от 0 до 2ir. если e = 0, то выражение(4) принимает вид:

Так, если фазы обеих составляющих колебаний перпендикулярны друг другу, то эллипс вырождается в 2 совпадающие прямые, являющиеся диагоналями прямоугольника(рис. в коса -> -= учитывая it_y = 0, горизонтальная дальность полета I определяется из орбитального уравнения (4).

log A x cos2 a следовательно 2 значения x\ Т / л грех 2а х0 = 0, ХН = 1 = 8. Первое значение соответствует первому моменту (моменту отправления точки), А второе определяет горизонтальное расстояние. Сравнивая значения /и 5, можно сделать вывод, что/ = 2s, то есть точки достигают наивысшего положения в диапазоне горизонтальной половины. Итак, положение точки в пространстве в этой точке.

Уравнение (1) представляет собой параметрическое уравнение траектории a point. To найдя уравнение орбиты точки в координатной форме, нужно исключить время из уравнения(1) и получить форму зависимости. БФ,(Ци, г)= 0, 9а, КР, з)= 0. Комбинация этих 2 уравнений определяет кривую, по которой перемещаются точки. Есть и другие способы указать движение points. In векторным методом, определяющим законы движения, радиус-вектор r движущейся точки M (рис.3.1) задается как функция времени r = r (t).Связь между радиус-вектором r и Декартовыми координатами точки представлена уравнением Р = ХІ * \ — ый + ЗК. (2 ） Где i, j и k-единичные векторы (единичные векторы) осей. (2)

Если вы получаете x, y> z, текущие координаты точки A4, как определено y. уравнение(1), то (2) x Дайте закон движения точек в векторной форме. 3-й способ задания движения точек называется natural. In в этом случае движение точек определяется уравнением а = /( (). Сферические и цилиндрические координаты часто используются для изучения движения точки в пространстве. Сферическими координатами точки M (рис.3.4) являются расстояние r точки M от неподвижного центра O, угол φ (угол поворота плоскости zOM относительно неподвижной плоскости xOz) и угол ？ =?(’) * (5 *）

Уравнение движения для цилиндрических координат： р = п(о> т = м р = РЗ). (си *） м г Так… 1. Рисунок 3.4. Да. Чтобы перейти от сферических координат к декартовым, используйте следующую формулу:> х = р с с COS

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Написать уравнение линии, по которой движется точка М(x,y), оставаясь вдвое далее

Написать уравнение полосы, по которой движется точка М(x,y), оставаясь вдвое далее от оси Ox, чем от оси Oy.

• Злата Бузылева
• Математика 2019-07-14 20:07:00 2 1

Попробуйте такой вариант:

1. Если соотношение до прямых (ось абсцисс и ординат) идиентично, то точка всегда находится на одной прямой (исключение — начало координат);

2. Сообразно свойствам линейных функций для данного соотношения до оси абсцисс и ординат подходит прямая, у которой тангенс угла наклона равен 2; вертикального/горизонтального смещений нет;

3. разыскиваемая функция задаётся уравнением (начало координат не удовлетворяет условию!):