Написать уравнение описанной окружности по координатам

Уравнение описанной окружности

Как составить уравнение описанной около треугольника окружности по координатам его вершин? Как найти координаты центра описанной окружности? Как найти радиус описанной окружности, зная координаты вершин треугольника?

Решение всех этих задач сводится к одной — написать уравнение окружности, проходящей через три данные точки. Для этого достаточно подставить координаты точек (вершин треугольника) в уравнение окружности. Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: координатами центра и радиусом окружности.

Составить уравнение описанной окружности для треугольника с вершинами в точках A(2;1), B(6;3), C(9;2).

Подставив координаты вершин треугольника в уравнение окружности

получим систему уравнений

Вычтем из первого уравнения системы второе:

Теперь из второго уравнения системы вычтем третье:

Приравняем правые части равенств b=-2a+10 и b=3a-20:

Подставим в первое уравнение системы a=6 и b=-2:

a и b — координаты центра окружности, R — её радиус. Таким образом, точка (6;-2) — центр описанной около треугольника ABC окружности, радиус R=5, а уравнение описанной окружности

Для решения аналогичной задачи для четырёхугольника либо многоугольника достаточно знать координаты трёх его вершин.

Написать уравнение описанной окружности по координатам

Уравнение окружности, описанной около треугольника

Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, стороны которого заданы уравнениями \(9x-2y-41=0\), \(7x+4y+7=0\), \(x-3y+1=0\).

Найдем координаты вершин треугольника, решив совместно три системы уравнений: $$ \cases < 9x-2y-41=0, \cr 7x+4y+7=0; >\cases < 9x-2y-41=0, \cr x-3y+1=0; >\cases < 7x+4y+7=0, \cr x-3y+1=0; >$$ В результате получим \(A(3;-7),B(5;2),C(-1;0).\) Пусть искомое уравнение окружности имеет вид \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). Для нахождения \(a\), \(b\) и \(r\) напишем три равенства, подставив в искомое уравнение вместо текущих координат координаты точек \(A\), \(B\) и \(C\): $$(3-a)^2+(-7-b)^2=r^2; (5-a)^2+(2-b)^2=r^2; (-1-a)^2+b^2=r^2.$$ Исключая \(r^2\), приходим к системе уравнений $$\cases < (3-a)^2+(-7-b)^2=(5-a)^2+(2-b)^2, \cr (3-a)^2+(-7-b)^2=(-1-a)^2+b^2, >$$ или $$\cases < 4a+18b=-29, \cr 8a-14b=57. >$$ Отсюда \(a=3.1\), \(b=2.3\). Значение \(r^2\) находим из уравнения \((-1-a)^2+b^2=r^2\), т.е. \(r^2=22.1\). Итак, искомое уравнение записывается в виде \((x-3.1)^2+(y+2.3)^2=22.1\).

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.