Написать уравнение по методу контурных токов

Метод контурных токов.Решение задач

Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов. Основой для него служит второй закон Кирхгофа. Главное его преимущество это уменьшение количества уравнений до m – n +1, напоминаем что m — количество ветвей, а n — количество узлов в цепи. На практике такое уменьшение существенно упрощает расчет.

Основные понятия

Контурный ток — это величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура. Обычно в расчетах они обозначаются двойными индексами, например I₁₁, I₂₂ и тд.

Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

Контурная ЭДС — это сумма всех ЭДС входящих в этот контур.

Собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят.

Общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам.

Общий план составления уравнений

1 – Выбор направления действительных токов.

2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.

3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров

4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов

5 – Нахождение действительных токов

Итак, после ознакомления с теорией предлагаем приступить к практике! Рассмотрим пример.

Выполняем все поэтапно.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I₁-I₆.

2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I₁₁,I₂₂,I₃₃. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R₄ принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом:

Ток первого контура I₁₁, умножаем на собственное сопротивление R₁₁ этого же контура, а затем вычитаем ток I₂₂, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R₂₁ и ток I₃₃, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R₃₁. Данное выражение будет равняться ЭДС E₁ этого контура. Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему:

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру. То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному.

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус.

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода.

Например, через резистор R₄ протекает ток I₄, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть

А для остальных

Так решаются задачи методом контурных токов. Надеемся что вам пригодится данный материал, удачи!

Расчет электрической цепи методом контурных токов

Содержание:

Метод расчета электрической цепи с применением контурных токов

Для расчета электрической цепи методом контурных токов выбирается система независимых контуров, по которым протекают контурные токи, направление которых выбирается произвольно. Если ветвь включена только в одну цепь, ток в этой ветви равен току в цепи. Если ветвь включена в более чем одну цепь, ток в этой ветви равен сумме токов цепи, проходящих через эту ветвь, с учетом знака и выбранного направления. Контурные токи находят, решая систему уравнений, составленную по второму закону Кирхгофа для каждого контура. По найденным контурным токам определяют токи ветвей схемы.

Алгоритм расчета электрической цепи методом контурных токов

1. Вычерчиваем принципиальную схему цепи и обозначаем все элементы, задаем направления токов ветвей.

2. Определяем все независимые контуры.

3. Произвольно задаемся направлением протекания контурных токов в каждом из независимых контуров (по часовой стрелке или против). Обозначаем эти токи. Для нумерации контурных токов можно использовать арабские сдвоенные цифры или римские цифры.

4. По второму закону Кирхгофа, относительно контурных токов, составляем уравнения для всех независимых контуров. При записи уравнений учитывайте, что направление обхода цепи, из которого создаются уравнения, совпадает с направлением тока цепи в этой цепи. Необходимо учитывать тот факт, что в соседних ветвях, принадлежащих к двум цепям, протекают два контурных тока. Падение напряжения на потребителях в таких ветвях надо брать от каждого тока в отдельности.

5. Решаем любым методом полученную систему относительно контурных токов и определяем их.

6. Произвольно задаемся направлением реальных токов всех ветвей и обозначаем их. Маркировать реальные токи надо таким образом, чтобы не путать с контурными. Для нумерации реальных токов можно использовать одиночные арабские цифры .

7. Переходим от контурных токов к реальным, считая, что реальный ток ветви равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих по данной ветви.

При алгебраическом суммировании без изменения знака берется контурный ток, направление которого совпадает с принятым направлением реального тока ветви. В противном случае контурный ток умножается на минус единицу.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Метод контурных токов для расчёта электрических цепей

При расчёте электрических цепей, помимо законов Кирхгофа, часто применяют метод контурных токов. Метод контурных токов позволяет уменьшить количество решаемых уравнений.

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.

В методе контурных токов уравнения составляются на основании второго закона Кирхгофа, причём их равно $ N_<\textrm<в>>-N_<\textrm<у>>+1 $, где $ N_<\textrm<у>> $ – число узлов, $ N_<\textrm<в>> $ – число ветвей, т.е. количество совпадает с количеством уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа.

Опишем методику составления уравнений по методу контурных токов. Рассмотрим её на примере электрической цепи, представленной на рис. 1.

Рис. 1. Рассматриваемая электрическая цепь

Для начала необходимо задать произвольно направления контурных токов (рис. 2).

Рис. 2. Задание направления контурных токов в электрической цепи

Количество уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно 3. Здесь контур с источником тока так же не рассматривается.

Составим уравнение для контура «1 к.». В контуре «1 к.» контурный ток $ \underline_ <11>$ протекает по всем сопротивлениям $ R_ <2>$, $ \underline_ $, $ \underline_ $. Кроме того, через сопротивление $ R_ <2>$ протекает контурный ток смежного контура «2 к.» $ \underline_ <22>$, причём контурные токи $ \underline_ <11>$ и $ \underline_ <22>$ протекают в противоположных направлениях. Через индуктивное сопротивление $ \underline_ $ также протекает контурный ток $ \underline_ <33>$, причём контурные токи $ \underline_ <11>$ и $ \underline_ <33>$ также протекают в противоположных направлениях. Про составлении уравнения нужно сложить все падения напряжения (аналогично второму закону Кирхгофа), при этом необходимо учесть направление контурных токов: если контурные токи смежных контуров протекают в определённой ветви в одном направлении, то падение напряжения в этой ветви необходимо вносить со знаком «+», в противном случае – со знаком «-». Полученная сумма будет равна сумме ЭДС данного контура, при этом ЭДС берётся со знаком «+», если направление контурного тока совпадает с направлением ЭДС, в противном случае – со знаком «-».

Учитывая вышеизложенное, уравнение по методу контурных токов для контура «1 к.» будет выглядеть следующим образом:

$$ (R_ <2>+ \underline_ + \underline_) \cdot \underline_<11>— R_ <2>\cdot \underline_<22>— \underline_ \cdot \underline_ <33>= \underline_<1>. $$

Аналогично составим уравнение для контура «2 к.». Необходимо учесть, что уравнение для контура с источником тока не составляется, но ток от источника тока также необходимо учитывать в уравнение аналогично контурным токам других контуров. Само уравнение будет выглядеть следующим образом:

$$ -R_ <2>\cdot \underline_ <11>+ (R_ <2>+ R_ <4>+ \underline_) \cdot \underline_<22>— \underline_ \cdot \underline_ <1>= \underline_<2>. $$

Для контура «3 к.»:

$$ -\underline_ \cdot \underline_ <11>+ (R_ <1>+ R_ <3>+ \underline_ + \underline_) \cdot \underline_<33>— R_ <3>\cdot \underline_ <1>= \underline_<3>. $$

В приведённых выше уравнениях $ \underline_ = -\frac<1> <\omega C>$, $ \underline_ = \omega L $.

Таким образом, для того, чтобы найти искомые контурные токи, необходимо решить следующую систему уравнений, где слагаемые с силой тока источника тока перенесены в правую часть уравнений:

$$ \begin (R_ <2>+ \underline_ + \underline_) \cdot \underline_<11>— R_ <2>\cdot \underline_<22>— \underline_ \cdot \underline_ <33>= \underline_ <1>\\ -R_ <2>\cdot \underline_ <11>+ (R_ <2>+ R_ <4>+ \underline_) \cdot \underline_ <22>= \underline_ <2>+ \underline_ \cdot \underline_ <1>\\ -\underline_ \cdot \underline_ <11>+ (R_ <1>+ R_ <3>+ \underline_ + \underline_) \cdot \underline_ <33>= \underline_ <3>+ R_ <3>\cdot \underline_ <1>\end $$

В данном случае это система из 3 уравнений с 3 неизвестными. Для решения данной системы уравнений удобно пользоваться Matlab. Для этого представим эту систему уравнений в матричной форме:

$$ \begin R_ <2>+ \underline_ + \underline_ & -R_ <2>& -\underline_ \\ -R_ <2>& R_ <2>+ R_ <4>+ \underline_ & 0 \\ -\underline_ & 0 & R_ <1>+ R_ <3>+ \underline_ + \underline_ \end \cdot \begin \underline_ <11>\\ \underline_ <22>\\ \underline_ <33>\end = \begin \underline_ <1>\\ \underline_ <2>+ \underline_ \cdot \underline_ <1>\\ \underline_ <3>+ R_ <3>\cdot \underline_ <1>\end $$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся следующим скриптом Matlab:

В результате получим вектор-столбец $ \underline<\bold> $ токов из трёх элементов, состоящий из искомых контурных токов, при этом

Далее в схеме по рис. 2 расставим направления токов в ветвях (рис. 3).

Рис. 3. Задание направления токов в электрической цепи

Для определения токов в ветвях необходимо рассмотреть все контурные токи, которые протекают через данную ветвь. Видим, что через ветвь, где протекает ток $ \underline_ <1>$, проходит только один контурный ток $ \underline_ <11>$, и он сонаправлен, отсюда

Через ветвь, где протекает ток $ \underline_ <2>$, проходят контурные токи $ \underline_ <11>$ и $ \underline_ <22>$, причём ток $ \underline_ <11>$ совпадает с принятым направлением тока $ \underline_ <2>$, а ток $ \underline_ <22>$ – не совпадает. Те контурные токи, которые совпадают с принятым направлением, берутся со знаком «+», те, которые не совпадают – со знаком «-». Отсюда

Аналогично для других ветвей

$$ \underline_ <5>= \underline_<22>— \underline_<1>, $$

$$ \underline_ <7>= \underline_<33>— \underline_<1>, $$

Итак, метод контурных токов позволяет рассчитывать меньшее количество сложных уравнений для расчёта аналогичной электрической цепи по сравнению с законами Кирхгофа.

Список использованной литературы

Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.