Написать уравнение прямой параллельной прямой на расстоянии

Написать уравнение прямой параллельной прямой на расстоянии

Дана прямая 4x + 3y + 1 = 0. Найти уравнение прямой, параллельной данной и отстоящей от нее на 3 единицы.

Очевидно, что искомых прямых будет две. Отклонение точек одной из искомых прямых от данной будет равно +3, а другой -3; .

Уравнение семейства прямых, параллельных данной, будет таким:

Из этого семейства требуется отобрать две искомые прямые. После приведения его к нормальному виду получим

(два знака в знаменателе мы удерживаем пока потому, что знак C нам неизвестен). Возьмем на данной прямой произвольную точку, например, . Подставим ее координаты в левую часть последнего уравнения и, учитывая, что отклонение точек данной прямой от искомых равно , для определения C получим уравнение

, откуда

Четыре случая: сводятся к двум: , откуда C₁ = 16; C₂ = -14. Подставляя эти значения C в уравнение семейства прямых 4x + 3y + C = 0, получим, что искомых прямых две:

4x + 3y + 16 = 0 и 4x + 3y — 14 = 0.

Решение допускает простую проверку, которую рекомендуется сделать.

Уравнение параллельной прямой

Альтернативная формула:
Прямая, проходящая через точку M₁(x₁; y₁) и параллельная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением

назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для составления уравнения параллельной прямой (см. также как составить уравнение перпендикулярной прямой).

Пример №2 . Написать уравнение прямой, параллельной прямой 2x + 5y = 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5.
Решение. Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой 2x + 5y + C = 0. Площадь прямоугольного треугольника , где a и b его катеты. Найдем точки пересечения искомой прямой с осями координат:
;
.
Итак, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Подставим в формулу для площади: . Получаем два решения: 2x + 5y + 10 = 0 и 2x + 5y – 10 = 0 .

Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2; 5) и параллельной прямой 5x-7y-4=0 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 5 /₇x – 4 /₇ (здесь a = 5 /₇). Уравнение искомой прямой есть y – 5 = 5 / 7(x – (-2)), т.е. 7(y-5)=5(x+2) или 5x-7y+45=0 .

Пример №4 . Решив пример 3 (A=5, B=-7) по формуле (2), найдем 5(x+2)-7(y-5)=0.

Пример №5 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2;5) и параллельной прямой 7x+10=0.
Решение. Здесь A=7, B=0. Формула (2) дает 7(x+2)=0, т.е. x+2=0. Формула (1) неприменима, так как данное уравнение нельзя разрешить относительно y (данная прямая параллельна оси ординат).

Задача 31118 Составить уравнение прямых, параллельных.

Условие

Составить уравнение прямых, параллельных прямой 3x-4y-10=0 и отстоящих от нее на расстояние d=3

Все решения

Множество прямых, параллельных прямой 3х -4у -10 =0
имеет вид:
3х — 4у +K=0

Пусть M(x_(o);y_(o)) принадлежит прямой 3х — 4у +K=0
Значит 3x_(o)-4*y_(o)+K=0

По формуле расстояния от точки M(x_(o);y_(o)) до прямой Ax+By+C=0
d=|A*x_(o)+B*y_(o)+C|/sqrt(A^2+B^2)

⇒ 3x_(o) — 4*y_(o) — 10 = 15 или 3x_(o) — 4*y_(o) -10 = — 15

3x_(o) — 4*y_(o) = 25 или 3x_(o) — 4*y_(o) = — 5

О т в е т. 3x — 4y + 25 = 0 или 3х — 4у — 5 = 0