Написать уравнение прямой проходящей через вершину
Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет — тут
Неправильный логин или пароль.
Укажите электронный адрес и пароль.
Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.
Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.
Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль
Нажимая кнопку «Зарегистрироваться» вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии, графики, матрицы, пределы, мнк
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Задания 1-10. Даны координаты точек: А(х1;у1), В(х2;у2), С(х3;у3).
Значения координат точек приведены в таблице к этому заданию.
А) длину отрезка АВ;
Б) уравнение прямых АВ и ВС, проведенных через точки А, В и В, С соответственно;
В) угол θ между прямыми АВ и ВС;
Г) расстояние от точки С до прямой АВ. Уравнение перпендикуляра к прямой АВ, проходящего через точку С. Координаты точки пересечения прямой АВ и перпендикуляра;
Д) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;
Е) построить чертеж, на котором показать заданные точки, угол θ и прямые.
Координаты векторов находим по формуле: X = xj — xi; Y = yj — yi
Здесь X, Y координаты вектора; xi, yi — координаты точки Аi; xj, yj — координаты точки Аj
Для вектора AB X = x2 — x1; Y = y2 — y1
X = 11—1 = 12; Y = -5-4 = -9
А) длина отрезка АВ
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:
Б) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
Уравнение прямой BC
Каноническое уравнение прямой:
В) угол θ между прямыми АВ и ВС;
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле: где a1a2 = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между сторонами BA и BC
γ = arccos(0.45) = 63.440
Г) расстояние от точки С до прямой АВ. Уравнение перпендикуляра к прямой АВ, проходящего через точку С. Координаты точки пересечения прямой АВ и перпендикуляра;
Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой C(15;17) и прямой AB (4y + 3x — 13 = 0)
Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой
Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем точку пересечения с прямой AB:
Имеем систему из двух уравнений:
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем: x = 3, y = 1
Д) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;
Уравнение прямой, проходящей через данную точку С(x1, y1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k, y — y1 = k(x — x1).
Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку С(x1, y1), которая называется центром пучка. А k — это коэффициент при х уравнения прямой АВ
Тогда получим
Е) построим чертеж
Задания 11-20. Решить систему уравнений двумя способами (по формулам Крамера и методом Гаусса)
№12.
По формулам Крамера.
Запишем систему в виде:
∆ = 1 • (-3 • (-2)-1 • (-1))-2 • (2 • (-2)-1 • (-3))+4 • (2 • (-1)-(-3 • (-3))) = -35 = -35
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = 1 • (-3 • (-2)-1 • (-1))-(-7 • (2 • (-2)-1 • (-3)))+0 • (2 • (-1)-(-3 • (-3))) = 0
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы.
∆2 = 1 • (-7 • (-2)-0 • (-1))-2 • (1 • (-2)-0 • (-3))+4 • (1 • (-1)-(-7 • (-3))) = -70
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы.
∆3 = 1 • (-3 • 0-1 • (-7))-2 • (2 • 0-1 • 1)+4 • (2 • (-7)-(-3 • 1)) = -35
Выпишем отдельно найденные переменные: , ,
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Теперь исходную систему можно записать как:
Из 1-ой строки выражаем z:
Из 2-ой строки выражаем у:
Из 3-ой строки выражаем x:
Введение в математический анализ.
Производная и ее приложения.
Задания 21-30. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
№22. а) ;б) ;в);г);д)
А) ;
Б) ;
В) ;
Г) ;
Использовали при
Д)
Задания 31-40. Задана функция y=ƒ(x). Найти все точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.
№32.
Построим график данной функции:
Функция определена на всём множестве чисел и неэлементарная.
Каждая из составляющих функций непрерывна на своём промежутке; заданная функция может иметь точки разрыва только в точках смены аналитических выражений, то есть в точках и .
Исследуем поведение функции в этих точках: найдём значение функции в этих точках и пределы справа и слева,
, . Так как , Следовательно функция имеет разрыв 1-го рода – скачок.
, . Так как , то в этой точке функция в этой точке непрерывна
Задания 41-50. Найти производные первого порядка y’= функций:
№42. а); б) ; в) ;
Д) ,
А) ;
Б) ;
Дифференцируем обе части равенства по х:
Разрешаем равенство относительно :
, тогда
Окончательно:
В) ;
Прологарифмируем данную функцию:
Найдём производную от правой и левой части по х, считая у сложной функцией, зависящей от х.
Отсюда:
Д) ,
Находим и
Отсюда
Задания 51-60. Вычислить приближенно, заменяя приращение функции ее дифференциалом.
№52.
Рассмотрим функцию . Выберем, соответственно, , . Найдём значения функции и её производной:
, ,
Используя формулу для приближённых вычислений, , получим:
№Задания 61-70. Заданную функцию исследовать методами дифференциального исчисления. На основании результатов исследований построить график функции.
№62. ;
Исследуем функцию, заданную формулой:
Область определения:
Полученное решение отметим на рисунке.
Точки пересечения с осью : нет
, , — нет решений.
Точки пересечения с осью у:
Пусть х=0:
Вертикальные асимптоты: х=3
Горизонтальные асимптоты: нет.
Наклонные асимптоты: у=2х.
Предел разности исходной функции и функции 2х на бесконечности равен нулю.
Первая производная:
==
Критические точки: х=1, х=5
Случай.
Следующее уравнение равносильно предыдущему.
, , х-3=2, х=5
Случай .
Следующее уравнение равносильно предыдущему.
, , , х=1
Вторая производная:
Возможные точки перегиба: нет
Точки разрыва: х=3
Симметрия относительно оси ординат: нет
Симметрия относительно начала координат: нет
Результаты исследования функции занесем в таблицу.
Относительный минимум . Относительный максимум .
Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.
Используя результаты исследования функции, построим ее график.
Множество значений функции:
Наименьшее значение: нет
Наибольшее значение: нет
Задания 71-80. Найти интегралы.
№72. а) ; б) ; в) ; г) ;
А) ;
Б) ;
В) ;
Г)
Задания 81-90. Вычислить несобственный интеграл или показать его расходимость
№82. ;
Задания 91-100. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать рисунок.
№92. и ;
Данные линии ограничивают две одинаковые по площади фигуры.
Тогда будем искать площадь одной части. Имеем
По формуле . В нашем случае
Тогда
Ответ: кв. ед.
Функции нескольких переменных
Задания 101-110. Исследовать на экстремум функцию.
№102. ;
Необходимое условие существования єкстремума
, — критические точки, подозрительные на экстремум.
Используем достаточные условия экстремума
Найдем
Для точки , — экстремум есть, а так как то в т. — минимум
Для точки , — экстремума нет.
Задания 111-120. Экспериментально получены значения функции при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Предполагая, что между и имеется линейная зависимость, методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу (вычислить параметры и )
Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений метода наименьших квадратов:
Для наших данных система уравнений имеет вид:
10a0 + 30a1 = 32.5
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Кривые второго порядка на плоскости
Уравнение вида Ах 2 +2Вху+Су 2 +2Dх+2Еу+F=0 называется общим уравнением кривой второго порядка. Коэффициенты уравнения – действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Такое уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.
В табл. 2 приведены уравнения кривых второго порядка и определен смысл входящих в них коэффициентов.
№ п/п | Определение кривой | Вид уравнения | Примечание | |||||
Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.4) | — каноническое уравнение эллипса | 2а – большая ось; 2b – малая ось 2с–межфокус-ное расстояние с 2 =а 2 -b 2 ; — эксцентриси-тет, 0 2 =а 2 +b 2 ; — эксцентри-ситет, e>1. Точки А1,А2 – вершины гиперболы. Прямые — асимптоты | ||||||
3. | Парабола — множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директриссой.
| у 2 =2px – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ x 2 =2pу – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY (рис.6б) | F — фокус, ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6а) F — фокус, ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6б) |
1. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 36х 2 +100у 2 =3600.
Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:
36х 2 +100у 2 =3600, поделим обе части уравнения на 3600:
, a 2 =100, b 2 =36.
С= .
Эксцентриситет: .
Ответ: Fл(-8,0); Fп(8,0); =0,8.
2.Написать уравнение прямой, проходящей через левую вершину эллипса 16х 2 +25у 2 =400 и точку М0(1;-3) (рис.7).
у |
Решение:
-4 |
-5 |
М |
х |
М0 |
Рис. 7 |
Приведем уравнение 16х 2 +25у 2 =400 к каноническому виду.
, a 2 =25, b 2 =16.
Левая вершина эллипса (-а,0)Þ(-5,0). Обозначим М(-5,0). Составим уравнение прямой, проходящей через точки М0 и М:
.
Ответ: .
3. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус гиперболы 9х 2 -16у 2 =144 и параллельно прямой 3х-2у+6=0 (рис.8).
-3 |
-4 |
FП |
х |
у |
Рис.8 |
Приведем уравнение 9х 2 -16у 2 =144 к каноническому виду , a 2 =16, b 2 =9.
Правый фокус гиперболы Fп(с,0);
С= .
Пусть уравнение искомой прямой имеет вид y=k2x+b2;
Значит, y=(3/2)x+b2 проходит через точку Fп(5,0), то 0=(3/2)5+b2Þb2=-15/2. Итак, Û3x-2у-15=0.
Искомая прямая проходит через точку Fл(5,0) параллельно прямой 3х-2у+6=0. Из общего уравнения заданной прямой определяем вектор нормали , который будет являться нормалью и для параллельной ей искомой прямой. Пользуемся уравнениемА(х-х0)+В(у-у0)=0, 3(х-5)-2(у-0)=0, 3х-2у-15=0.
4. Написать уравнение прямой l, проходящей через нижнюю вершину эллипса 4х 2 +20у 2 =80, перпендикулярно прямой 2х—у+1=0 (рис.9).
М |
-2 |
y |
l |
х |
Рис. 9 |
Приведем уравнение к каноническому виду 4х 2 +20у 2 =80,
, a 2 =20, b 2 =4.
Нижняя вершина имеет вид: М(0;-b)=М(0;-2).
Условие перпендикулярности двух прямых: k1k3=-1.
k2=-1: k1Þk2=-1/2,
Так как прямая проходит через точку М(0;-2), то .
Итак, Þх+2у+4=0.
По условию задачи требуется написать уравнение прямой l, проходящей через точку М(0;-2) перпендикулярно прямой 2х—у+1=0. Из общего уравнения прямой определяем координаты вектора нормали . Несложно представить (рис.9), что если искомая прямая l перпендикулярна заданной, то вектор параллелен искомой прямой, т.е. является ее направляющим вектором. Используя уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0,у0) параллельно вектору , получим:
. У нас ; ;
5. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус эллипса под углом 45˚ к оси Ох.
Правый фокус эллипса имеет вид Fп(с,0);
С= .
Так как прямая проходит под углом 45˚ к оси Ох, то k=tgα=tg45˚=1.
Пусть уравнение искомой прямой имеет вид: y=kx+b;
Так как прямая проходит через точку Fп(3,0), то 0=3+bÞb=-3.
Плоскость в пространстве
Любое уравнение первой степени в трехмерном пространстве определяет какую-либо плоскость.
Разным способам задания плоскости соответствуют различные виды уравнений (табл. 3.)
№ п/п | Вид уравнения | Смысл входящих в уравнение коэффициентов | Примечание |
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 | (x0,y0,z0) – координаты заданной точки; АВС – координаты заданного вектора | Вектор N(А,В,С) называется нормальным вектором плоскости | |
Общее уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 | D=-Ax0-By0-Cz0, АВС – нормальный вектор плоскости; | Это уравнение получается из уравнения (1) эле-ментарными | |
№ п/п | Вид уравнения | Смысл входящих в уравнение коэффициентов | Примечание |
х0,y0,z0 – координаты данной точки | преобразованиями | ||
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки | М1(х1,y1,z1), М2(х2,y2,z2), М3(х3,y3,z3) – три точки, заданные своими координатами | Точки М1, М2, М3 не должны лежать на одной прямой | |
Уравнение плоскости в отрезках на осях | а,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат | аbc≠0 |
Пусть даны две плоскости a1 и a2:
Угол между двумя плоскостями определяется как .
Условие перпендикулярности двух плоскостей:
=0, то есть =0.
Условие параллельности двух плоскостей:
или .
Расстояние от точки до плоскости:
,
http://matica.org.ua/primery/primery/elementy-lineinoi-algebry-i-analiticheskoi-geometrii-grafiki-matritcy-predely-mnk
http://lektsii.org/16-16768.html