Написать уравнение результирующего колебания получающегося в результате

Написать уравнение результирующего колебания получающегося в результате

Гармоническое колебательное движение и волны

Написать уравнение результирующего колебания, получающегося в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковой частотой ν₁ = ν₂ = 5 Гц и с одинаковой начальной фазой φ₁ = φ₂ = π/3. Амплитуды колебаний равны А₁ = 0,10 м и A₂ = 0,05 м.

Дано:

Решение:

При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний с разностью фаз равной нулю, результирующее колебание происходит по диагонали прямоугольника со сторонами равными амплитудам складываемых колебаний по уравнеию

Амплитуда результирующего колебания

Циклическая частота колебаний

Начальная фаза колебаний совпадет с начальной фазой складываемых колебаний.

Сложение гармонических колебаний

Если колебательная система одновременно участвует в двух (или более) независимых колебательных движениях, возникает задача — найти результирующее колебание. В случае однонаправленных колебаний под этим понимается нахождение уравнения результирующего колебания; в случае взаимно перпендикулярных колебаний — нахождение траектории результирующего колебания.

Метод векторных диаграмм

Рассмотрим вращающийся против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью w вектор А. Очевидно, что угол j = w t + j₀ где j₀ — начальный угол.

Проекции вектора А на оси координат запишутся:

Видно, что проекции вращающегося вектора на оси координат по форме совпадают с уравнением гармонических колебаний, если угловой скорости вектора сопоставить угловую частоту колебаний, а начальному углу — начальную фазу.

Проводя аналогию дальше, можно сказать, что результат сложения двух однонаправленных колебаний можно получить следующим путем: необходимо сложить два вектора, а проекции суммарного вектора на оси координат будут являться уравнениями результирующего колебания. Рассмотрим этот метод на примере сложения двух колебаний с произвольными частотами. Пусть наше тело участвует в двух совпадающих по направлению колебаниях:

Сопоставим этим колебаниям два вектора А₁ и А₂, вращающихся с соответствующими угловыми скоростями.

Сопоставляем колебаниям проекции векторов на ось y. Задача сложения колебаний сводится к нахождению проекции вектора А на ось y (амплитуда результирующего колебания) и угла f (фаза результирующего колебания).

Из очевидных геометрических соображений находим:

Отметим, что в общем случае сложения колебаний с разными частотами амплитуда результирующего колебания будет зависеть от времени. Если же частоты одинаковы, то , то есть зависимость от времени исчезает. На языке векторной диаграммы это означает, что складываемые векторы при своем вращении не меняют своего относительного положения. В этом случае формулы для амплитуды и фазы результирующего колебания запишутся так:

Рассмотрим сложение двух однонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами, то есть , и пусть для определенности . Для простоты пусть начальные фазы и амплитуды этих колебаний равны. В результате сложения двух колебаний

получим уравнение суммарного колебания:

Полученное результирующее колебание не является гармоническим (сравни с уравнением (1)); такого вида колебания носят название биений, название понятно, если посмотреть на график колебаний.

Величина, стоящая перед синусом, меняется со временем относительно медленно, так как разность частот мала. Эту величину условно называют амплитудой биений, а разность складываемых частот — частотой биений (циклической).

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний необходимо найти уравнение траектории тела, то есть из уравнений колебаний типа x = x(t), y = y(t) исключить t и получить зависимость типа y(x).

например, сложим два колебания с одинаковыми частотами:

исключив время, получим:

В общем случае это — уравнение эллипса. При A₁=A₂ — окружность, при (m — целое) — отрезок прямой.

Вид траектории при сложении взаимно перпендикулярных колебаний зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Получающиеся кривые носят название фигур Лиссажу.

Написать уравнение результирующего колебания получающегося в результате

начальными фазами амплитуды колебаний

Определить амплитуду колебаний и начальную фазу при x₀ = 2 см, v₀ = 8 см/c.

Тело массой 5 г совершает гармонические колебания. Период колебаний 2 с, амплитуда 6 см, начальная фаза равна нулю. В какой момент времени смещение тела от положения равновесия достигнет 3 см? Найти в этот момент величину возвращающей силы.

Складываются два гармонических колебания одного направления, описываемых уравнениями x₁ = 3cos(2πt+π/4) см и x₂ = 5cos(2πt+π/2) см. Определить для результирующего колебания амплитуду, начальную фазу. Записать уравнение результирующего колебания.

Уравнение гармонических колебаний тела имеет вид x = 4,2sin(πt/2+π/8), см. Чему равны период, амплитуда и начальная фаза этих колебаний?

Материальная точка совершает колебания по закону x = 2sin(πt/4+π/2), где x — в см, t — в секундах. Определите амплитуду колебаний, начальную фазу и период.

Материальная точка совершает колебания по закону x = 2sin(πt/6+π/3), см. Определите амплитуду колебаний, начальную фазу и период.

Груз подвешенный на пружине жесткостью 50 Н/м, совершает гармонические колебания с периодом 2,5 с. В начальный момент времени смещение груза оказалось равным нулю, а его начальная скорость (–0,3 м/с). Вычислите амплитуду и начальную фазу колебаний. Напишите уравнение колебаний груза. Постройте график зависимости кинетической энергии от времени.

Груз массой 100 г, подвешенный на пружине жесткостью 20 Н/м, совершает гармонические колебания. В начальный момент времени смещение груза оказалось равным 4,2 см, а его скорость 0,5 м/с. Вычислите амплитуду и начальную фазу колебаний. Постройте график зависимости потенциальной энергии системы от времени.

Найти амплитуду и начальную фазу α колебаний, получающихся в результате сложения следующих колебаний одного направления: x₁ = 20 cos ωt (мм), x₂ = 20 cos(ωt + π/3) (мм), где ω = π с –1 . Написать уравнение результирующих колебаний x(t).

Складываются три гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами. Амплитуды и начальные фазы колебаний равны: А₁ = 3 см, φ₁ = 0; А₂ = 1 см, φ₂ = π/2 ; А₃ = 2 см, φ₃ = π. Построить векторную диаграмму сложения амплитуд, определить амплитуду и фазу результирующего колебания и записать его уравнение.