Написать уравнение сферы касающейся плоскости в точке

Взаимное расположение сферы и плоскости в пространстве

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в точке O и плоскость α . Обозначим символом O ₁ основание перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость α , и обозначим буквой h расстояние от точки O до плоскости расстояние от точки O до плоскости α (т. е. длину отрезка OO₁ ).

В зависимости от соотношения между R и h можно составить следующую таблицу, в которой описаны все возможные случаи взаимного расположения сферы и плоскости в пространстве .

Сфера и плоскость не пересекаются тогда и только тогда, когда

Если сфера и плоскость имеют единственную общую точку, то плоскость называют касательной плоскостью к сфере, а их общую точку называют точкой касания .

Сфера и плоскость касаются тогда и только тогда, когда

Если сфера и плоскость α касаются, то радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен плоскости α.

Если сфера и плоскость α имеют общую точку и радиус, проведенный в эту точку, перпендикулярен плоскости α, то сфера и плоскость касаются.

Пересечением сферы и плоскости является окружность радиуса r с центром в точке O₁ . В этом случае

Пересечением сферы и плоскости является окружность радиуса R с центром в точке O . В этом случае

Если плоскость проходит через центр сферы, то часто говорят, что сфера и плоскость пересекаются по большому кругу .

Сфера и плоскость не пересекаются тогда и только тогда, когда

Если сфера и плоскость имеют единственную общую точку, то плоскость называют касательной плоскостью к сфере, а их общую точку называют точкой касания .

Сфера и плоскость касаются тогда и только тогда, когда

Если сфера и плоскость α касаются, то радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен плоскости α.

Если сфера и плоскость α имеют общую точку и радиус, проведенный в эту точку, перпендикулярен плоскости α, то сфера и плоскость касаются.

Пересечением сферы и плоскости является окружность радиуса r с центром в точке O₁ . В этом случае

Пересечением сферы и плоскости является окружность радиуса R с центром в точке O . В этом случае

Если плоскость проходит через центр сферы, то часто говорят, что сфера и плоскость пересекаются по большому кругу .

Уравнение прямой, плоскости и сферы

306 гр. Математика. Дистанционное обучение. Тема 1-3.

Просмотр содержимого документа
«Уравнение прямой, плоскости и сферы»

Тема 1: Уравнение прямой в пространстве.

З адание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу.

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:

Упростим:

Ответ:

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

Подставив в уравнение прямой соответствующие координаты, получим:

Упростим:

Ответ: Самостоятельная работа

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

Тема 2: Уравнение плоскости в пространстве

Задание: записать конспект и выполнить самостоятельную работу

П ример 1: Принадлежит, ли точка В (-1; 2; 7) плоскости, заданной уравнением 2х+3у-z+3=0

Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство.

Ответ: точка В (-1; 2; 7) принадлежит плоскости.

Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(0; 4; -6) плоскости, заданной уравнением х-5у-4z+2=0

Решение: Подставим координаты точки в уравнение и проверим верно ли равенство. х-5у-4z+2=0

0-5·4-4·(-6)+2=0-20+24+2=6≠0 не верно

Ответ: точка Е(0; 4; -6) не принадлежит плоскости.

Пример 3: При каком D точка А(1; 5;-2) принадлежит плоскости -3х+2у-z+D=0

Решение: Подставим координаты точки в уравнение и найдем D.

Пример 1: Принадлежит, ли точка В (-2; 3; 8) плоскости, заданной уравнением

Пример 2: Принадлежит, ли точка Е(3; 4; -2) плоскости, заданной уравнением

Пример 3: При каком D точка А(2; 4;-1) принадлежит плоскости -2х+5у-z+D=0

Решить задания №1, №2

О пределение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии R от данной точки О.

R – радиус сферы, т. О – центр сферы.

Написать уравнение сферы с центром в точке О(1; 2; -5) и радиусом R=3.

Подставим в уравнение сферы: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z-(-5)) 2 =3 2 .

Упростим: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z+5) 2 =9.

Ответ: (х-1) 2 +(у-2) 2 +(z+5) 2 =9.

Пример 2. Дано уравнение сферы: (х-6) 2 +(у+3) 2 +(z-4) 2 =64. Найти координаты центра и радиус сферы.

1)найдем координаты центра: (х-6) 2 +(у-(-3)) 2 +(z-4) 2 =64

2)найдем радиус: R 2 =64, R=√64=8,

Ответ: О(6, -3, 4), R = 8.

Задание 1. Написать уравнение сферы с центром в точке О(5; -2; 3) и радиусом R= 6

Задание 2. Дано уравнение сферы (х-3) 2 +(у+7) 2 +(z-8) 2 =25. Найти координаты центра и радиус сферы.

Составить уравнение сферы которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку M (2 ; 1 ; 3)?

Геометрия | 1 — 4 классы

Составить уравнение сферы которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку M (2 ; 1 ; 3).

Если сфера касается всех трёх координатных плоскостей и имеет точку в первом октанте, то (включаем воображение) координаты её центра (R, R, R) и радиус R, т.

Е. уравнение имеет вид

(x — R) ^ 2 + (y — R) ^ 2 + (z — R) ^ 2 = R ^ 2

Подставляем координаты известной точки :

(2 — R) ^ 2 + (1 — R) ^ 2 + (3 — R) ^ 2 = R ^ 2

3R ^ 2 — 12R + 14 = R ^ 2

R = 3 + — sqrt(9 — 7) = 3 + — sqrt(2)

Оба решения нам подходят ; уравнения получаются после подстановок значений R.

Все стороны прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 касаются сферы, центр которой удален от плоскости треугольника на 4 см?

Все стороны прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 касаются сферы, центр которой удален от плоскости треугольника на 4 см.

Найдите площадь сферы.

Составить уравнение прямой, которая проходит через точку с координатами ( — 2 ; 2)?

Составить уравнение прямой, которая проходит через точку с координатами ( — 2 ; 2).

Все стороны квадрата, периметр которого равен 40 см, касаются сферы?

Все стороны квадрата, периметр которого равен 40 см, касаются сферы.

Найдите площадь сферы, если расстояние от её центра до плоскости квадрата равно 12 см.

На сфере радиуса 2 провели сечение радиуса 1 : а) на каком расстоянии от центра сферы проходит его плоскость ; , ) какой угол фи составляет его плоскость с радиусомсферы, проведенным в точку сечения?

На сфере радиуса 2 провели сечение радиуса 1 : а) на каком расстоянии от центра сферы проходит его плоскость ; , ) какой угол фи составляет его плоскость с радиусомсферы, проведенным в точку сечения?

Три прямые проходят через одну точку?

Три прямые проходят через одну точку.

Через каждые две из них проведена плоскость.

Сколько всего проведено плоскостей?

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S боковое ребро SA равно b?

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S боковое ребро SA равно b.

Сфера радиуса b / 2 касается плоскости SAC в точке C и проходит через точку B.

Три прямые проходят через одну точку?

Три прямые проходят через одну точку.

Через каждые две из них проведена плоскость.

Сколько всего проведено плоскостей?

Все стороны квадрата, периметр которого равен 40 см, касаются сферы?

Все стороны квадрата, периметр которого равен 40 см, касаются сферы.

Найдите площадь сферы, если расстояние от её центра до плоскости квадрата равно 12 см.

Сфера w проходит через вершины квадрата ABCD сторона которого равна 12 см?

Сфера w проходит через вершины квадрата ABCD сторона которого равна 12 см.

Найдите расстояние от центра сферы — точки o до плоскости квадрата если радиус OD образует с плоскостью квадрата угол, равный 60.

Задача по геометрииСфера касается одной из параллельных плоскостей и пересекает другую плоскость по окружности радиуса r?

Задача по геометрии

Сфера касается одной из параллельных плоскостей и пересекает другую плоскость по окружности радиуса r.

Найдите радиус сферы, если расстояние между плоскостями равно a.

Нужно именно подробное решение.

На этой странице сайта, в категории Геометрия размещен ответ на вопрос Составить уравнение сферы которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку M (2 ; 1 ; 3)?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 1 — 4 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.