Стационарные решения уравнения Шредингера.
Приложение A.
Нахождение решения уравнения Шредингера для свободного электрона в виде волнового пакета.
Запишем уравнение Шредингера для свободного электрона
(A.1)
После преобразований уравнение Шредингера принимает вид
(A.2)
Это уравнение решаем с начальным условием
(A.3)
Здесь 
— волновая функция электрона в начальный момент времени. Ищем решение уравнения (A.2) в виде интеграла Фурье
(A.4)
Подставляем (A.4) в (A.2) и получаем
(A.5)
Решение (A.4) можно теперь записать в следующем виде
(A.6)
Используем начальное условие (A.3), и из (A.6) получаем разложение начальной волновой функции электрона в интеграл Фурье.
(A.7)
К выражению (A.7) применяем обратное преобразование Фурье
(A.8)
Подведем итог проделанным преобразованиям. Итак, если известна волновая функция электрона 
в начальный момент времени, то после интегрирования (A.8) находим коэффициенты 
. Затем после подстановки этих коэффициентов в (A.6) и интегрировании, получаем волновую функцию электрона 
в произвольный момент времени в любой точке пространства.
Для некоторых распределений интегрирование можно провести в явном виде и получить аналитическое выражение для решения уравнения Шредингера. В качестве начальной волновой функции возьмем распределение Гаусса, модулированное плоской монохроматической волной.
(A.9)
Здесь 
— средний импульс электрона. Выбор начальной волновой функции в таком виде позволят получить решение уравнения Шредингера в виде волнового пакета.
Рассмотрим подробно свойства начальной волновой функции (A.9).
Во-первых, волновая функция нормирована на единицу.
(A.10)
Нормировка (A.10) легко доказывается, если использовать следующий табличный интеграл.
(A.11)
Во-вторых, если волновая функция нормирована на единицу, то квадрат модуля волновой функции является плотностью вероятности, нахождения электрона в данной точке пространства.
(A.12)
Здесь величину 
будем называть амплитудой волнового пакета в начальный момент времени. Физический смысл амплитуды пакета – это максимальное значение распределения вероятности. На Рис.1 показан график распределения плотности вероятности.
Распределение плотности вероятности в начальный момент времени.
Отметим некоторые особенности графика на Рис.1.
1. Координата 
– это точка на оси x, в которой распределение вероятности имеет максимальное значение. Поэтому можно сказать, что с наибольшей вероятностью можно обнаружить электрон вблизи точки .
2. Величина 
определят отклонение от точки 
, при котором величина распределения уменьшается в e раз по сравнению с максимальным значением.
(A.13)
В этом случае величину 
называют шириной волнового пакета в начальный момент времени, а величину 
– полушириной пакета.
3. Вычислим вероятность нахождения электрона в интервале 
.
(A.14)
Таким образом, вероятность обнаружить электрон в области с центром и полушириной равна 0.843. Эта вероятность близка к единице, поэтому обычно, об области с полушириной говорят, как об области, где находится электрон в начальный момент времени.
В-третьих, начальная волновая функция не является собственной функцией оператора импульса 
. Поэтому электрон в состоянии с волновой функцией не имеет определенного импульса, можно говорить только о среднем импульсе электрона. Вычислим средний импульс электрона.
(A.15)
Поэтому, величина в формуле (A.9) является средним значением импульса электрона. Формула (A.15) легко доказывается, если использовать табличный интеграл (A.11).
Таким образом, свойства начальной волновой функции разобраны. Теперь подставим функцию в интеграл Фурье (A.8) и найдем коэффициенты .
(A.16)
В интеграле (A.16) делаем следующую замену переменной интегрирования.
(A.17)
В результате интеграл (A.16) принимает следующий вид.
(A.18)
В результате получаем следующее выражение для коэффициентов .
(A.18)
Подставляем коэффициенты в формулу (A.6), получаем следующее интегральное выражение для волновой функции.
(A.19)
В интеграле (A.19) делаем следующую замену переменной интегрирования.
(A.20)
В результате интеграл (A.19) принимает следующий вид.
(A.21)
Окончательно получаем формулу для волнового пакета.
(A.22)
Легко видеть, что для начального момента времени 
формула (A.22) переходит в формулу (A.9) для начальной волновой функции. Найдем плотность вероятности для функции (A.22).
(A.23)
Подставляем волновой пакет (A.22) в формулу (A.23), и в результате получаем следующее выражение.
(A.24)
Здесь центр волнового пакета, или максимум распределения плотности вероятности, движется со скоростью 
, равной следующей величине.
(A.25)
Полуширина волнового пакета увеличивается со временем, и определятся следующей формулой.
(A.26)
Амплитуда волнового пакета уменьшается со временем, и определятся следующей формулой.
(A.27)
Таким образом, распределение вероятности для волнового пакета можно записать в следующем виде.
(A.28)
На Рис.2. показано распределение вероятности в три последовательных момента времени.
Распределение вероятности в три последовательных момента времени.
Приложение B.
Общие сведения о решении уравнения Шредингера.
Введение.
Движение квантовой частицы в общем случае описывается уравнением Шредингера:
. (B.1)
Здесь i – мнимая единица, h =1.0546´10 -34 (Дж×с) — постоянная Планка. Оператор Ĥ называется оператором Гамильтона. Вид оператора Гамильтона зависит от типа взаимодействия электрона с внешними полями.
Если не учитывать спиновые свойства электрона, например, не рассматривать движение электрона в магнитном поле, то оператор Гамильтона можно представить в виде.
(B.2)
Здесь 
– оператор кинетической энергии:
, (B.3)
где m=9.1094´10 -31 (кг) – масса электрона. Потенциальная энергия 
описывает взаимодействие электрона с внешним электрическим полем.
В данной лабораторной работе будет рассматриваться одномерное движение электрона вдоль оси x. Уравнение Шредингера в этом случае принимает следующий вид:
. (B.4)
Уравнение (B.4) с математической точки зрения является дифференциальным уравнение в частных производных для неизвестной волновой функции Y=Y(x,t). Известно, что такое уравнение имеет определенное решение, если заданы соответствующие начальные и граничные условия. Начальные и граничные условия выбираются исходя из конкретной физической задачи.
Пусть, например, электрон движется слева направо с некоторым средним импульсом p0. Кроме того, в начальный момент времени t=0, электрон локализован в некоторой области пространства xm-d
Дата добавления: 2015-12-01 ; просмотров: 3782 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Уравнение Шрёдингера
Дуальная корпускулярно-волновая природа квантовых частиц описывается дифференциальным уравнением.
Согласно фольклору, столь распространенному среди физиков, случилось это так: в 1926 году физик-теоретик по имени Эрвин Шрёдингер выступал на научном семинаре в Цюрихском университете. Он рассказывал о странных новых идеях, витающих в воздухе, о том, что объекты микромира часто ведут себя скорее как волны, нежели как частицы. Тут слова попросил пожилой преподаватель и сказал: «Шрёдингер, вы что, не видите, что всё это чушь? Или мы тут все не знаем, что волны — они на то и волны, чтобы описываться волновыми уравнениями?» Шрёдингер воспринял это как личную обиду и задался целью разработать волновое уравнение для описания частиц в рамках квантовой механики — и с блеском справился с этой задачей.
Тут необходимо сделать пояснение. В нашем обыденном мире энергия переносится двумя способами: материей при движении с места на место (например, едущим локомотивом или ветром) — в такой передаче энергии участвуют частицы — или волнами (например, радиоволнами, которые передаются мощными передатчиками и ловятся антеннами наших телевизоров). То есть в макромире, где живём мы с вами, все носители энергии строго подразделяются на два типа — корпускулярные (состоящие из материальных частиц) или волновые. При этом любая волна описывается особым типом уравнений — волновыми уравнениями. Все без исключения волны — волны океана, сейсмические волны горных пород, радиоволны из далеких галактик — описываются однотипными волновыми уравнениями. Это пояснение нужно для того, чтобы было понятно, что если мы хотим представить явления субатомного мира в терминах волн распределения вероятности (см. Квантовая механика), эти волны также должны описываться соответствующим волновым уравнением.
Шрёдингер применил к понятию волн вероятности классическое дифференциальное уравнение волновой функции и получил знаменитое уравнение, носящее его имя. Подобно тому как обычное уравнение волновой функции описывает распространение, например, ряби по поверхности воды, уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Пики этой волны (точки максимальной вероятности) показывают, в каком месте пространства скорее всего окажется частица. Хотя уравнение Шрёдингера относится к области высшей математики, оно настолько важно для понимания современной физики, что я его все-таки здесь приведу — в самой простой форме (так называемое «одномерное стационарное уравнение Шрёдингера»). Вышеупомянутая волновая функция распределения вероятности, обозначаемая греческой буквой ψ («пси»), является решением следующего дифференциального уравнения (ничего страшного, если оно вам не понятно; главное — примите на веру, что это уравнение свидетельствует о том, что вероятность ведёт себя как волна):
где x — расстояние, h — постоянная Планка, а m, E и U — соответственно масса, полная энергия и потенциальная энергия частицы.
Картина квантовых событий, которую дает нам уравнение Шрёдингера, заключается в том, что электроны и другие элементарные частицы ведут себя подобно волнам на поверхности океана. С течением времени пик волны (соответствующий месту, в котором скорее всего будет находиться электрон) смещается в пространстве в соответствии с описывающим эту волну уравнением. То есть то, что мы традиционно считали частицей, в квантовом мире ведёт себя во многом подобно волне.
Когда Шрёдингер впервые опубликовал свои результаты, в мире теоретической физики разразилась буря в стакане воды. Дело в том, что практически в то же время появилась работа современника Шрёдингера — Вернера Гейзенберга (см. Принцип неопределенности Гейзенберга), в которой автор выдвинул концепцию «матричной механики», где те же задачи квантовой механики решались в другой, более сложной с математической точки зрения матричной форме. Переполох был вызван тем, что ученые попросту испугались, не противоречат ли друг другу два в равной мере убедительных подхода к описанию микромира. Волнения были напрасны. Сам Шрёдингер в том же году доказал полную эквивалентность двух теорий — то есть из волнового уравнения следует матричное, и наоборот; результаты же получаются идентичными. Сегодня используется в основном версия Шрёдингера (иногда его теорию называют «волновой механикой»), так как его уравнение менее громоздкое и его легче преподавать.
Однако представить себе и принять, что нечто вроде электрона ведёт себя как волна, не так-то просто. В повседневной жизни мы сталкиваемся либо с частицей, либо с волной. Мяч — это частица, звук — это волна, и всё тут. В мире квантовой механики всё не так однозначно. На самом деле — и эксперименты это вскоре показали — в квантовом мире сущности отличаются от привычных нам объектов и обладают другими свойствами. Свет, который мы привыкли считать волной, иногда ведёт себя как частица (которая называется фотон), а частицы вроде электрона и протона могут вести себя как волны (см. Принцип дополнительности).
Эту проблему обычно называют двойственной или дуальной корпускулярно-волновой природой квантовых частиц, причем свойственна она, судя по всему, всем объектам субатомного мира (см. Теорема Белла). Мы должны понять, что в микромире наши обыденные интуитивные представления о том, какие формы может принимать материя и как она себя может вести, просто неприменимы. Сам факт, что мы используем волновое уравнение для описания движения того, что привыкли считать частицами, — яркое тому доказательство. Как уже отмечалось во Введении, в этом нет особого противоречия. Ведь у нас нет никаких веских оснований полагать, будто то, что мы наблюдаем в макромире, должно с точностью воспроизводиться на уровне микромира. И тем не менее дуальная природа элементарных частиц остается одним из самых непонятных и тревожащих аспектов квантовой механики для многих людей, и не будет преувеличением сказать, что все беды начались с Эрвина Шрёдингера.
Вывод уравнения Шредингера
Квантовая теория родилась в 1900 г., когда Макс Планк предложил теоретический вывод о соотношении между температурой тела и испускаемым этим телом излучением — вывод, который долгое время ускользал от других ученых, Как и его предшественники, Планк предположил, что излучение испускают атомные осцилляторы, но при этом считал, что энергия осцилляторов (и, следовательно, испускаемого ими излучения) существует в виде небольших дискретных порций, которые Эйнштейн назвал квантами. Энергия каждого кванта пропорциональна частоте излучения. Хотя выведенная Планком формула вызвала всеобщее восхищение, принятые им допущения оставались непонятными, так как противоречили классической физике.
В 1905 г. Эйнштейн воспользовался квантовой теорией для объяснения некоторых аспектов фотоэлектрического эффекта — испускания электронов поверхностью металла, на которую падает ультрафиолетовое излучение. Попутно Эйнштейн отметил кажущийся парадокс: свет, о котором на протяжении двух столетий было известно, что он распространяется как непрерывные волны, при определенных обстоятельствах может вести себя и как поток частиц.
Примерно через восемь лет Нильс Бор распространил квантовую теорию на атом и объяснил частоты волн, испускаемых атомами, возбужденными в пламени или в электрическом заряде. Эрнест Резерфорд показал, что масса атома почти целиком сосредоточена в центральном ядре, несущем положительный электрический заряд и окруженном на сравнительно больших расстояниях электронами, несущими отрицательный заряд, вследствие чего атом в целом электрически нейтрален. Бор предположил, что электроны могут находиться только на определенных дискретных орбитах, соответствующих различным энергетическим уровням, и что «перескок» электрона с одной орбиты на другую, с меньшей энергией, сопровождается испусканием фотона, энергия которого равна разности энергий двух орбит. Частота, по теории Планка, пропорциональна энергии фотона. Таким образом, модель атома Бора установила связь между различными линиями спектров, характерными для испускающего излучение вещества, и атомной структурой. Несмотря на первоначальный успех, модель атома Бора вскоре потребовала модификаций, чтобы избавиться от расхождений между теорией и экспериментом. Кроме того, квантовая теория на той стадии еще не давала систематической процедуры решения многих квантовых задач.
Новая существенная особенность квантовой теории проявилась в 1924 г., когда де Бройль выдвинул радикальную гипотезу о волновом характере материи: если электромагнитные волны, например свет, иногда ведут себя как частицы (что показал Эйнштейн), то частицы, например электрон при определенных обстоятельствах, могут вести себя как волны. В формулировке де Бройля частота, соответствующая частице, связана с ее энергией, как в случае фотона (частицы света), но предложенное де Бройлем математическое выражение было эквивалентным соотношением между длиной волны, массой частицы и ее скоростью (импульсом). Существование электронных волн было экспериментально доказано в 1927 г. Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером в Соединенных Штатах и Джоном-Паджетом Томсоном в Англии.
Под впечатлением от комментариев Эйнштейна по поводу идей де Бройля Шрёдингер предпринял попытку применить волновое описание электронов к построению последовательной квантовой теории, не связанной с неадекватной моделью атома Бора. В известном смысле он намеревался сблизить квантовую теорию с классической физикой, которая накопила немало примеров математического описания волн. Первая попытка, предпринятая Шрёдингер в 1925 г., закончилась неудачей.
Скорости электронов в теории II Шрёдингер были близки к скорости света, что требовало включения в нее специальной теории относительности Эйнштейна и учета предсказываемого ею значительного увеличения массы электрона при очень больших скоростях.
Одной из причин постигшей Шрёдингер неудачи было то, что он не учел наличия специфического свойства электрона, известного ныне под названием спина (вращение электрона вокруг собственной оси наподобие волчка), о котором в то время было мало известно.
Следующую попытку Шрёдингер предпринял в 1926 г. Скорости электронов на этот раз были выбраны им настолько малыми, что необходимость в привлечении теории относительности отпадала сама собой.
Вторая попытка увенчалась выводом волнового уравнения Шрёдингера, дающего математическое описание материи в терминах волновой функции. Шрёдингер назвал свою теорию волновой механикой. Решения волнового уравнения находились в согласии с экспериментальными наблюдениями и оказали глубокое влияние на последующее развитие квантовой теории.
Незадолго до того Вернер Гейзенберг, Макс Борн и Паскуаль Иордан опубликовали другой вариант квантовой теории, получивший название матричной механики, которая описывала квантовые явления с помощью таблиц наблюдаемых величин. Эти таблицы представляют собой определенным образом упорядоченные математические множества, называемые матрицами, над которыми по известным правилам можно производить различные математические операции. Матричная механика также позволяла достичь согласия с наблюдаемыми экспериментальными данными, но в отличие от волновой механики не содержала никаких конкретных ссылок на пространственные координаты или время. Гейзенберг особенно настаивал на отказе от каких-либо простых наглядных представлений или моделей в пользу только таких свойств, которые могли быть определены из эксперимента.
Шрёдингер показал, что волновая механика и матричная механика математически эквивалентны. Известные ныне под общим названием квантовой механики, эти две теории дали долгожданную общую основу описания квантовых явлений. Многие физики отдавали предпочтение волновой механике, поскольку ее математический аппарат был им более знаком, а ее понятия казались более «физическими»; операции же над матрицами — более громоздкими.
Функция Ψ. Нормировка вероятности.
Обнаружение волновых свойств микрочастиц свидетельствовало о том, что классическая механика не может дать правильного описания поведения подобных частиц. Возникла необходимость создать механику микрочастиц, которая учитывала бы также и их волновые свойства. Новая механика, созданная Шрёдингером, Гайзенбергом, Дираком и другими, получила название волновой или квантовой механики.
Плоская волна де Бройля
. Сама по себе волновая функция вводится как некоторый вспомогательный символ и не относится к числу непосредственно наблюдаемых величин. Но ее знание позволяет статистически предсказывать значения величин, которые получаются экспериментально и потому имеют реальный физический смысл.</p><p>Через волновую функцию определяется относительная вероятность обнаружения частицы в различных местах пространства. На этой стадии, когда говорится только об отношениях вероятностей, волновая функция принципиально определена с точностью до произвольного постоянного множителя. Если во всех точках пространства волновую функцию умножить на одно и то же постоянное (вообще говоря, комплексное) число, отличное от нуля, то получится новая волновая функция, описывающая в точности то же состояние. Не имеет смысла говорить, что Ψ равна нулю во всех точках пространства, ибо такая «волновая функция» никогда не позволяет заключить об относительной вероятности обнаружения частицы в различных местах пространства. Но неопределенность в определении Ψ можно значительно сузить, если от относительной вероятности перейти к абсолютной. Распорядимся неопределенным множителем в функции Ψ так, чтобы величина |Ψ|2dV давала абсолютную вероятность обнаружения частицы в элементе объема пространства dV. Тогда |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* — комплексно сопряжённая с Ψ функция) будет иметь смысл плотности вероятности, которую следует ожидать при попытке обнаружения частицы в пространстве. При этом Ψ будет определена все еще с точностью до произвольного постоянного комплексного множителя, модуль которого, однако, равен единице. При таком определении должно быть выполнено условие нормировки:</p><p style=)
 может оказаться невозможной, если интеграл (2) расходится. Так будет, например, в случае плоской волны де Бройля, когда вероятность обнаружения частицы одинакова во всех точках пространства. Но такие случаи следует рассматривать как идеализации реальной ситуации, в которой частица не уходит на бесконечность, а вынуждена находиться в ограниченной области пространства. Тогда нормировка не вызывает затруднений.</p><p>Итак, непосредственный физический смысл связывается не с самой функцией Ψ, а с ее модулем Ψ*Ψ. Почему же в квантовой теории оперируют с волновыми функциями Ψ, а не непосредственно с экспериментально наблюдаемыми величинами Ψ*Ψ? Это необходимо для истолкования волновых свойств вещества — интерференции и дифракции. Здесь дело обстоит совершенно так же, как во всякой волновой теории. Она (во всяком случае в линейном приближении) принимает справедливость принципа суперпозиции самих волновых полей, а не их интенсивностей и, таким образом, достигает включения в теорию явлений интерференции и дифракции волн. Так и в квантовой механике принимается в качестве одного из основных постулатов принцип суперпозиции волновых функций, заключающийся в следующем.</p><p style=)
 превосходит 2mес2, начинается рождение пар электрон-позитрон. То же наблюдается в аналогичных случаях и для других частиц. По этой причине последовательная релятивистская квантовая механика не может быть теорией одного тела (одной частицы). Теория одного тела возможна только в нерелятивистском приближении. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся только нерелятивистской квантовой механикой.</p><p>В нерелятивистской квантовой механике мы будем по-прежнему пользоваться соотношениями:</p><p style=)
E=ħω, ).</p><p>Однако собственную энергию частицы m0c2 учитывать не будем. Это значит, что, начиная с этого места, мы вводим новую частоту, отличающуюся от прежней частоты на постоянную. Для новой частоты сохраним прежнее обозначение ω. В частности, в случае свободного движения</p><p>E = р2/2m, и закон дисперсии записывается в виде</p><p>Это приводит к выражению для фазовой скорости волн де Бройля:</p><p>υф = ω/k = ħk/2m = υ/2 (5) (здесь k=2π/λ, — волновое число)</p><p>Однако это не может отразиться на физических выводах теории, так как фазовая скорость, как и сама частота ω волны де Бройля, относится к числу принципиально ненаблюдаемых величин. Существенно, что физически наблюдаемые величины — плотность вероятности Ψ*Ψ и групповая скорость (групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы) — при новом выборе частоты остаются неизменными. Остаются неизменными и все величины, доступные измерению на опыте.</p><p>3. Получение уравнения Шрёдингера</p><p>Основная задача волновой механики состоит в нахождении волновых функций и связанных с ними физических следствий в самых разнообразных условиях. Для ее решения служит волновое уравнение, найденное Шрёдингером в 1926 г. Это — основное уравнение квантовой механики, но оно справедливо только в нерелятивистской квантовой механике, т. е. в случае движений, медленных по сравнению со скоростью света в вакууме.</p><p>Уравнение Шрёдингера должно быть общим уравнением, т. е. должно быть пригодно для решения всех, а не только частных задач. Поэтому в него не должны входить значения параметров (например, начальные условия, конкретный вид силовых полей и пр.), выделяющие частные виды движения. В него могут входить мировые постоянные, например постоянная Планка. Могут входить массы и импульсы частиц, но их численные значения не должны быть конкретизированы. Силовые поля, в которых движется частица, также должны быть представлены в общем виде. Здесь дело обстоит так же, как с уравнениями Ньютона или Максвелла, которые приспособлены для решения всех, а не только частных механических или электродинамических задач. Кроме того, надо потребовать, чтобы уравнение Шрёдингера было линейно и однородно по Ψ. Этим будет обеспечена справедливость принципа суперпозиции волновых функций, необходимость которого диктуется интерференцией и дифракцией волн вещества.</p><p>При отыскании уравнения Шрёдингера заметим, что одним из решений его в свободном пространстве должна быть плоская волна де Бройля (1). Найдем дифференциальное уравнение, удовлетворяющее перечисленным выше условиям, решением которого является эта волна.</p><p style=)
Дифференцирование  по x, y, z даст:</p><p style=)
. Заметим теперь, что ħ/дt имеет размерность энергии, Значит, одинаковую размерность имеют</p><p style=)
и величины Ψ не меняет размерности этого уравнения. Можно думать, что полученное таким путем уравнение</p><p style=)
 рассматривается в нем так же, как в классической физике, т. е. как функция локализованной, в частности точечной, частицы в силовом поле. Например, в атоме водорода для электрона в поле ядра полагают U(r) = -е2/r, т. е. поступают так же, как если бы обе эти частицы были локализованы.</p><p>Уравнение Шрёдингера – первого порядка по времени. Отсюда следует, что заданием волновой функции Ψ во всем пространстве в какой-либо момент времени (например, принимаемый за начальный) однозначно определяется функция Ψ также во всем пространстве во все последующие моменты времени. Не следует смотреть на это утверждение как на выражение принципа причинности в квантовой механике. Ибо выражаемая им «причинность» относится к волновой функции Ψ. А волновая функция связана с реально наблюдаемыми объектами вероятностными соотношениями. Поэтому квантовая механика, по крайней мере в современной ее форме, является принципиально статистической теорией.</p><p>Уравнение Шрёдингера, как это требовалось с самого начала для выполнения принципа суперпозиции, линейно и однородно относительно функции Ψ. В точной математической форме принцип суперпозиции сводится к двум утверждениям.</p><p style=)
Во-первых, если Ψ1 и Ψ2 — какие-либо два решения уравнения Шрёдингера, то и всякая линейная комбинация их α1Ψ1 + α2Ψ2 с постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами α1 и α2 есть также решение того же уравнения. Во-вторых, если волновые функции Ψ1 и Ψ2 описывают какие-либо два состояния системы, то и линейная комбинация α1Ψ1 + α2Ψ2 также описывает какое-то состояние той же системы. Конечно, состояние частицы определяется не самими коэффициентами α1 и α2, а только их отношением α1/α2 . Состояние не изменится, если оба коэффициента умножить на одну и ту же вещественную или комплексную постоянную. Это позволяет, например, функцию Ψ = α1Ψ1 + α2Ψ2 нормировать (если интеграл .</p><p>Особое значение в квантовой механике имеют стационарные состояния. Это – такие состояния, в которых все наблюдаемые физические параметры не меняются с течением времени. Сама волновая функция Ψ не относится к этим параметрам. Она принципиально не наблюдаема. Не должны меняться во времени только физически наблюдаемые величины, которые могут быть образованы из Ψ по правилам квантовой механики.</p><p>Как следует из уравнения (9), вид волновой функции Ψ определяется потенциальной энергией U, т. е., в конечном счете, характером тех сил, которые действуют на частицу. Вообще говоря, U есть функция координат и времени. Для стационарного (не меняющегося со временем) силового поля U не зависит явно от времени. В последнем случае волновая функция Ψ распадается на два множителя, один из которых зависит только от времени, второй – только от координат:</p><p style=)
 = ω ).</p><p style=)
 – потенциальная энергия частицы во внешнем поле.</p><p>Если поле U (х, у, г) нигде не обращается в бесконечность, то волновая функция тоже должна быть конечной во всем пространстве. Это же условие должно соблюдаться и в тех случаях, когда U обращается в некоторой точке в бесконечность, но не слишком быстро — как l/rs с s 0. Имея также в виду очевидное неравенство Ū > Umin, найдем, что и Ē > Umln . Поскольку это неравенство имеет место для любого состояния, то ясно, что оно справедливо и для всех собственных значений энергии:</p><p style=)
, то в силу неравенства (19) имеем Еп > 0. Поскольку, с другой стороны, при Е > 0 спектр должен быть непрерывным, то мы заключаем, что в рассматриваемом случае дискретный спектр вообще отсутствует, т. е. возможно только инфинитное движение частицы.</p><p>Предположим, что U в некоторой точке (которую выберем в качестве начала координат)</p><p>обращается в – ∞ по закону</p><p>Рассмотрим волновую функцию, конечную в некоторой малой области (радиуса r0) вокруг начала координат и равную нулю вне ее. Неопределенность в значениях координат частицы в таком волновом пакете порядка r0 ; поэтому неопределенность в значении импульса</p><p style=)
– α /
 найдём, что k2=p2/ħ2, таким образом, имеем:</p><p style=)
 описывает конкретное движение с заданным постоянным импульсом.</p><p>Продифференцируем теперь (1) по времени при постоянной ω:</p><p style=)
 энергию, а из (6) – квадрат импульса p2:</p><p style=)
 в уравнение (9) с учётом (11) дает:</p><p style=)
t и произведя соответствующие преобразования, получим дифференциальное уравнение, определяющее функцию ψ:</p><p style=)
.</p><p>Уравнение (12) называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний (или уравнением Шрёдингера без времени).</p><p>К уравнению Шрёдингера можно прийти и следующим путем следующих рассуждений. Из опытов по дифракции микрочастиц вытекает, что параллельный пучок частиц обладает свойствами плоской волны, распространяющейся в направлении движения частиц. Уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении оси x, имеет, как известно, вид:</p><p style=)
 соответствующими выражениями, получим волновую функцию для свободной частицы, движущейся в направлении оси х:</p><p style=)
, воспользуемся соотношением между Е и p:</p><p>Продифференцировав функцию (14) один раз по t, a второй раз дважды по x, получим:</p><p style=)
. Подставляя полученные выражения в соотношение (15) получим дифференциальное уравнение:</p><p style=)
, фаза колебаний будет зависеть от всех координат: х, у и z. В этом случае дифференциальное уравнение имеет вид:</p><p style=)
 (частица по условию свободна, U=0). Подстановка (10) в это уравнение (такая подстановка правомерна, так как U = 0, т. е. не зависит от t) приводит к уравнению Шрёдингера для стационарных состояний:</p><p style=)
 для случая U = 0.</p><p>Таким образом, мы получили уравнение Шрёдингера для свободно движущейся частицы. Теперь следует обобщить уравнение (16) на случай частицы, движущейся в потенциальном поле сил, когда полная энергия Е слагается из кинетической энергии Т и потенциальной энергии U.</p><p>В случае свободной частицы полная энергия Е совпадает с кинетической Т, так что величину Е в уравнении (16) можно трактовать либо как полную, либо как кинетическую энергию частицы. Обобщая уравнение (16) на случай движения частицы в поле сил, нужно решить вопрос о том, что следует подразумевать для такой частицы под величиной Е: полную или только кинетическую энергию. Если принять, что Е – полная энергия частицы, обобщенное уравнение, определяющее ψ, а значит, и сама ψ не будет зависеть от вида функции U, т. е. от характера силового поля. Это, очевидно, не может соответствовать действительному положению вещей. Поэтому следует признать, что при наличии сил, действующих на частицу, вместо Е в уравнение (16) нужно ввести кинетическую энергию частицы Т = Е –U. Произведя такую замену, мы придем к уравнению (12).</p><p>Приведенные нами рассуждения не могут рассматриваться как вывод уравнения Шрёдингера. Их цель — пояснить, каким образом можно было прийти к установлению вида волнового уравнения для микрочастицы. Доказательством же правильности уравнения Шрёдингера может служить лишь согласие с опытом тех результатов, которые получаются с помощью этого уравнения.</p><p>Основные свойства уравнения Шрёдингера</p><p>Условия, которым должны удовлетворять решения уравнения Шрёдингера, имеют весьма общий характер. Прежде всего волновая функция должна быть однозначной и непрерывной во всем пространстве. Требование непрерывности сохраняется и в тех случаях, когда само поле</p><p>U (х, у, z) имеет поверхности разрыва. На такой поверхности должны оставаться непрерывными как волновая функция, так и ее производные. Непрерывность последних, однако, не имеет места, если за некоторой поверхностью потенциальная энергия U обращается в бесконечность. В область пространства, где U = ∞, частица вообще не может проникнуть, т. е. в этой области должно быть везде ψ = 0. Непрерывность ψ требует, чтобы на границе этой области ψ обращалось в нуль; производные же от ψ в этом случае испытывают, вообще говоря, скачок.</p><p>Вид волнового уравнения физической системы определяется ее гамильтонианом, приобретающим в силу этого фундаментальное значение во всем математическом аппарате квантовой механики.</p><p>Вид гамильтониана свободной частицы устанавливается уже общими требованиями, связанными с однородностью и изотропией пространства и принципом относительности Галилея. В классической механике эти требования приводят к квадратичной зависимости энергии частицы от ее импульса: Е = р2/2т, где постоянная т называется массой частицы. В квантовой механике те же требования приводят к такому же соотношению для собственных значений энергии и импульса – одновременно измеримых сохраняющихся (для свободной частицы) величин.</p><p>Но для того чтобы соотношение Е = р2/2т имело место для всех собственных значений энергии и импульса, оно должно быть справедливым и для их операторов:</p><p style=)
 механике взаимодействие с внешним полем описывается аддитивным членом в функции Гамильтона – потенциальной энергией взаимодействия U. являющейся функцией координат. Прибавлением такой же функции к гамильтониану системы описывается и взаимодействие в квантовой механике – гамильтониан для частицы, находящейся во внешнем поле:</p><p style=)
. Таким образом, в рассматриваемом случае дискретный спектр содержит бесконечное множество уровней, которые сгущаются по направлению к уровню Е = 0.</p><p>Если же на бесконечности поле спадает, как – 1/rs с s > 2, то сколь угодно малых по абсолютной величине отрицательных уровней нет. Дискретный спектр кончается уровнем с отличным от нуля абсолютным значением, так что общее число уровней конечно.</p><p>Уравнение Шрёдингера для волновых функций ψ стационарных состояний, как и накладываемые на его решения условия, – вещественно. Поэтому его решения всегда могут быть выбраны вещественными (хотя это не справедливо для систем, находящихся в магнитном поле). Что касается собственных функций невырожденных значений энергии, то они автоматически оказываются вещественными с точностью до несущественного фазового множителя. В самом деле, ψ* удовлетворяет тому же уравнению, что и ψ, и потому тоже есть собственная функция для того же значения энергии; поэтому если это значение не вырождено, то ψ и ψ* должны быть по существу одинаковыми, т. е. могут отличаться лишь постоянным множителем (с модулем, равным единице). Волновые же функции, соответствующие одному и тому же вырожденному уровню энергии, не обязательно вещественны, но путем соответствующего выбора их линейных комбинаций всегда можно получить набор вещественных функций.</p><p>Полные же (зависящие от времени) волновые функции Ψ определяются уравнением, в коэффициенты которого входит i. Это уравнение, однако, сохраняет свой вид, если в нем заменить i на – i и одновременно перейти к комплексно сопряженному. Поэтому можно всегда выбрать функции Ψ такими, чтобы Ψ и Ψ* отличались только знаком у времени.</p><p>Как известно, уравнения классической механики не меняются при обращении времени, т. е. при изменении его знака. В квантовой механике симметрия по отношению к обоим направлениям времени выражается, как мы видим, в неизменности волнового уравнения при изменении знака i и одновременной замене Ψ на Ψ*. Надо, однако, помнить, что эта симметрия относится здесь только к уравнениям, но не к самому понятию измерения, играющему фундаментальную роль в квантовой механике.</p><p>5. О квантово-механическом представлении движения микрочастиц</p><p>Квантовая механика не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве или траекторию, по которой движется частица. С помощью волновой функции можно лишь предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в различных точках пространства. На первый взгляд может показаться, что квантовая механика дает значительно менее точное и исчерпывающее описание движения частицы, чем классическая механика, которая определяет «точно» местоположение и скорость частицы в каждый момент времени. Однако в действительности это не так. Квантовая механика гораздо глубже вскрывает истинное поведение микрочастиц. Она лишь не определяет того, чего нет на самом деле. В применении к микрочастицам понятия определенного местоположения и траектории вообще теряют смысл. Движение по определенной траектории несовместимо с волновыми свойствами, что становится совершенно очевидным, если проанализировать существо опытов по дифракции.</p><p style=)
http://elementy.ru/trefil/21/Uravnenie_Shryodingera
http://www.km.ru/referats/07D665D9203E429F99F28455F3B72CEE