VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе
Краткие теоретические сведения
Кривая в пространстве
Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $\gamma$.
Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:
\begin
Пусть в точке $M$ $ \vec
Касательная к кривой
Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $\vec
Пусть $\vec
Здесь $\lambda\in(-\infty,+\infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $\lambda$ будут соответствовать разные значения $\vec
Если $\vec
Нормальная плоскость
Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.
Пусть $\vec
Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:
\begin
Соприкасающаяся плоскость
Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ параллельно векторам $\vec
Если $\vec
Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:
\begin
Бинормаль и главная нормаль
Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.
Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.
Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.
Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.
Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ \vec
Как и раньше, $\vec
Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $\vec
Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.
Спрямляющая плоскость
Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.
Другое определение: Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.
Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $\vec
Репер Френе
Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим: $$ \vec<\tau>=\frac<\vec
Правая тройка векторов $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\beta>$ называется репером Френе.
Решение задач
Задача 1
Кривая $\gamma$ задана параметрически:
Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$. Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.
Решение задачи 1
Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.
Начнем с производных.
\begin
\begin
\begin
Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\beta>$ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $\vec<\tau>\times\vec<\beta>$ направлен так, что тройка векторов $\vec<\tau>$, $\vec<\beta>$, $\vec<\nu>=\vec<\tau>\times\vec<\beta>$
— правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть
Теперь тройка $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\tilde<\beta>>$ образует репер Френе для кривой $\gamma$ в точке $M$.
Задача 2
Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой $$ x=t,\,\, y=\frac
Решение задачи 2
Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $\gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)\in\gamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.
Найдем значение параметра $t_0$.
Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.
Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $\vec
\begin
Задача 3
Через точку $P\left(-\frac45,1,2\right)$ провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой: $$ x=t^2,\,\, y=1+t,\,\, z=2t. $$
Решение задачи 3
Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.
Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $\vec
Записываем уравнение спрямляющей плоскости: \begin
Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$: \begin
Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид: \begin
Соприкасающаяся плоскость
Плоскость, проходящую через касательную и главную нормаль в данной точке кривой, называют соприкасающейся плоскостью.
Отсюда и из определения главной нормали следует, что соприкасающаяся плоскость определена для точек кривой, в которых кривизна \(k\neq 0\).
Если гладкая кривая \(\Gamma=\<\textbf
$$
(r-r(t_0),r'(t_0),r″(t_0))=0.\label
$$
\(\circ\) Если \(s=s(t)\) — переменная длина дуги кривой \(\Gamma\), то дифференцируя \(r(t)\) как сложную функцию и используя эту и эту формулы, получаем
$$
\textbf’s_
$$
где индексы указывают, по каким переменным производится дифференцирование. Отсюда следует, что векторы \(\textbf
Рис. 22.8
Так как векторы \(\textbf
Запишем уравнение \eqref
$$
\begin
$$
Написать уравнение соприкасающейся плоскости в произвольной точке
Пространственные кривые. Задание пространственной кривой. Регулярное задание кривой. Регулярная кривая. Неявное задание пространственной кривой. Касательная к пространственной кривой. Единичный вектор касательной. Бинормаль и главная нормаль и их единичные векторы. Нормальная, соприкасающаяся и спрямляющая плоскости. Ускорение при криволинейном движении и векторы сопровождающего трехгранника. Кривизна пространственной кривой. Теорема о прямой. Кручение пространственной кривой. Теорема о плоской кривой. Формулы Френе. Естественный параметр и натуральные уравнения кривой.
Основные определения, результаты, комментарии
Элементарной кривой в пространстве называется образ открытого интервала при его гомеоморфизме в евклидово трехмерное пространство.
Общей кривой на плоскости называется подмножество евклидова пространства, локально гомеоморфное прямой.
Как и в случае плоских кривых, всякая общая кривая допускает покрытие элементарными кривыми.
Кривая задана неявным способом
если координаты каждой точки кривой удовлетворяют обоим уравнениям .
Наиболее удобны и наиболее часто используются векторно-параметрическое представление
и координатно-параметрическое представление
отличающиеся лишь формой записи.
Определение регулярности параметрического представления пространственной кривой полностью аналогично плоскому случаю.
Неявное задание (5) кривой регулярно в точке , если матрица частных производных
имеет в этой точке ранг 2.
Понятия длины кривой, ее естественной параметризации, а также определение касательной полностью аналогичны тем же понятиям для плоских кривых. Направляющий вектор касательной - это, по-прежнему, производная , имеющая физический смысл скорости, если параметрическое представление кривой интерпретировать как кинематическое описание движения точки.
Нормальная плоскость кривой в точке - это плоскость, проходящая через точку ортогонально касательной.
Соприкасающейся плоскостью кривой в ее точке (рис. 17) называется содержащая эту точку плоскость , удовлетворяющая соотношению
где - точка, принадлежащая элементарной окрестности точки .
Спрямляющей плоскостью кривой в ее точке называется содержащая эту точку плоскость, ортогональная нормальной и соприкасающейся плоскостям в этой точке.
Прямые, ортогональные соприкасающейся и спрямляющей плоскостям в точке , называются соответственно бинормалью и главной нормалью кривой в точке .
Нормальная, соприкасающаяся и спрямляющая плоскости образуют сопровождающий трехгранник кривой , или трехгранник Френе , в точке , и называются его гранями . Касательная, бинормаль и главная нормаль называются ребрами сопровождающего трехгранника (рис. 18).
Уравнения элементов сопровождающего трехгранника вычисляются по следующим правилам:
| Касательная | Нормальная плоскость |
| Бинормаль | Соприкасающаяся плоскость |
| Главная нормаль | Спрямляющая плоскость |
Единичные векторы
| касательной |
| главной нормали |
| бинормали |
Если параметризация естественная , то вектор главной нормали может быть вычислен по формуле .
Вектор ускорения может быть разложен в сумму двух составляющих: нормальной (ортогональной вектору скорости) и тангенциальной (параллельной вектору скорости). При этом нормальная составляющая ускорения сонаправлена единичному вектору главной нормали.
Пусть и - две различные точки кривой , соответствующие значениям и естественного параметра. Тогда - длина дуги кривой, заключенной между точками и . Пусть - величина угла, образуемого касательной к кривой в точке по отношению к касательной в точке . Кривизна кривой в ее точке - это предел
В отличие от кривизны плоской кривой, кривизна пространственной кривой всегда положительна . Кривизна пространственной кривой в регулярной точке может быть вычислена по формулам:
| если параметризация естественная. |
Пусть и - две различные точки кривой , соответствующие значениям естественного параметра и соответственно, и - единичные векторы бинормалей в этих точках (рис. 19).
Обозначим за величину угла между ними. Очевидно, этот угол равен углу, образованному соприкасающимися плоскостями в точках и .
Абсолютным кручением кривой в точке называют величину
Кручение кривой определяется в соответствии со следующим правилом: если при движении вдоль кривой по направлению возрастания параметра вектор бинормали поворачивается в сторону, указываемую вектором , в противном случае. Наглядно это означает, что кривая с положительным кручением "закручена" по правилу правого винта.
Кручение кривой в точке, соответствующей значению параметра , может быть вычислено по следующим формулам:
Для производных векторов , по естественному параметру справедливы формулы Френе :
Уравнения и называются натуральными уравнениями кривой. По натуральным уравнениям вид кривой может быть восстановлен с точностью до перемещения. В большинстве случаев решение такой задачи оказывается очень сложным.
1. Для данных представлений кривых укажите область допустимых значений параметра и область значений параметра, в которой задание кривой регулярно.
1)
2)
3)
4) .
2. Кривая задана неявными уравнениями. Изобразите на рисунке вид кривой. Постройте какое-нибудь параметрическое представления этой кривой. Укажите область допустимого изменения параметра и область регулярности параметризации.
1)
2) R,\;\; y>0;$ --> R,\;\; y>0;$">
3)
3. Кривая Вивиани образована пересечением сферы радиуса и цилиндра радиуса , проходящего через центр сферы. Постройте параметрическое представление кривой Вивиани.
4. Винтовая линия. Окружность радиуса движется так, что ее центр перемещается вдоль оси , плоскость ортогональна оси . По окружности равномерно движется точка. В начальный момент времени точка имеет координаты . Составьте параметрические уравнения кривой, описываемой данной точкой.
5. Кривая задана пересечением цилиндрических поверхностей и Постройте параметрическое представление кривой , не содержащее радикалов, и дайте ее изображение.
6. Покажите, что линия
принадлежит сфере и является линией пересечения параболического и кругового цилиндров.
7. Найдите длину дуги линии
между плоскостями и .
8. Покажите, что кривая замкнута и имеет длину .
9. Запишите в естественной параметризации
a) винтовую линию ;
б) гиперболическую винтовую линию .
10. Кривая задана параметрически: 0. \end
Напишите уравнения
а) касательной и нормальной плоскости в точке (1/4; 1/3; 1/2);
б) касательной, параллельной плоскости .
11. Найдите линию, по которой касательные к линии
Сферической индикатрисой данной кривой называется геометрическое место концов единичных касательных векторов, отложенных от начала координат.
12. Дана винтовая линия
a) Напишите уравнение семейства касательных этой кривой;
б) убедитесь в том, что все касательные к винтовой линии образуют с плоскостью один и тот же угол;
в) составьте уравнение кривой, образуемой точками пересечения касательных с плоскостью ;
г) найдите сферическую индикатрису винтовой линии.
13. Докажите, что все нормальные плоскости кривой Вивиани (задача 3) проходят через начало координат.
14. Составьте уравнения бинормали и главной нормали кривой в указанной точке:
1)
2)
3) ;
4)
15. Найдите точки на кривой
в которых бинормаль параллельна плоскости .
16. Материальная точка движется в пространстве по закону
Укажите моменты времени, в которые
а) ее скорость равна нулю, и сравните их со значениями параметра , при которых параметризация траектории нерегулярна;
б) нормальное ускорение точки ортогонально .
17. Составьте уравнения ребер и граней сопровождающего трехгранника данной кривой в указанной точке
1)
2)
3)
4)
18. Для данной кривой вычислите кривизну в данной точке сначала по готовой формуле, а затем по следующему плану: 1) составьте уравнение поля единичных касательных векторов данной кривой; 2) вычислите абсолютную величину производной этого поля по естественному параметру. Результаты сравните.
1) 0,\;\; b\ne 0, \;\; t_0=\pi/2$ --> 0,\;\; b\ne 0, \;\; t_0=\pi/2$">
2)
19. Для кривых задачи 18 вычислите абсолютное кручение в данной точке сначала по готовой формуле, а затем по следующему плану: 1) составьте уравнение поля единичных векторов бинормали данной кривой; 2) вычислите абсолютную величину производной этого поля по естественному параметру. Результаты сравните.
20. Вычислите кривизну и кручение данной кривой произвольной регулярной точке:
1) 0,\;\; b\ne 0$ --> 0,\;\; b\ne 0$">;
2)
3)
4) .
21. Найдите точки распрямления следующих кривых:
1)
2)
3) .
22. Найдите точки уплощения и дуги, на которых кручение сохраняет свой знак, у следующих кривых:
1)
2)
23. Напишите натуральные уравнения, которым удовлетворяют следующие кривые:
1) 0,\;\; b\ne 0$ --> 0,\;\; b\ne 0$">;
2)
24. Найдите точки на кривой
в которых кривизна принимает локально минимальное значение.
25. Найдите точки на кривой
в которых радиус кривизны достигает локального максимума.
26. Докажите, что следующие кривые плоские, и составьте уравнения плоскостей, в которых они расположены:
27. Найдите такую функцию , чтобы кривая
была плоской. Решите задачу двумя способами: 1) используя условие плоскости и 2) используя тот факт, что искомая кривая принадлежит круговому цилиндру (составьте его уравнение!). Результаты сравните.
28. Докажите, что если все соприкасающиеся плоскости линии проходят через неподвижную точку , то линия плоская.
29. Докажите, что если соприкасающиеся плоскости линии (отличной от прямой) параллельны некоторому вектору , то линия плоская.
30. Докажите, что если все нормальные плоскости линии параллельны некоторому вектору , то линия или прямая, или плоская.
http://univerlib.com/mathematical_analysis/derivative/osculating_plane/
http://cito-web.yspu.org/link1/metod/met21/node7.html