Написать уравнение точки пересечения высот треугольника

Точка пересечения высот треугольника

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 299.

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 299.

Точка пересечения высот треугольника относится к одной из трех замечательных точек треугольника. Замечательными эти точки зовутся не за красоту, а за отношение к золотому сечению треугольника, которое характеризует данную фигуру.

Высота

Что такое высота? Высота это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону треугольника (может получиться, что высота будет падать на продолжение стороны, как это бывает с тупоугольными треугольниками).

Рис. 1. Высота в треугольнике.

Точка пересечения высот

У любого треугольника есть три высоты, и они всегда пересекаются в одной точке. Эта точка является одним из 3 центров треугольника и зовется ортоцентром.

Еще со времен Древней Греции приставкой «орто» обозначали перпендикуляр. Ортогоналями звались перпендикулярные прямые.

Ортоцентр имеет три варианта расположения в зависимости от вида треугольника:

• Внутри фигуры. В остроугольных треугольниках точка пересечения высот всегда находится внутри фигуры. Это обусловлено тем, что все высоты в таком треугольнике внутренние.
• Совпадает с вершиной. Этот случай характерен для прямоугольных треугольников. В таких треугольниках две из трех высот будут совпадать со сторонами. Если быть точнее, то совпадающие стороны это катеты. Остается одна высота, которая будет опускаться из вершины при остром угле. Именно эта вершина и будет ортоцентром треугольника.
• Вне фигуры. Внешнее расположение ортоцентра возможно только в тупоугольном треугольнике. Для того, чтобы получить ортоцентр такого треугольника, иногда потребуется продлить высоты до пересечения с внешней высотой. Почему?

Золотое сечение треугольника

Золотое сечение треугольника это маленький треугольник внутри фигуры, который определяется как пересечение трех центров треугольника.

Три центра треугольника это:

• Точка пересечения биссектрис
• Точка пересечения высот
• Точка пересечения медиан.

Золотое сечение иногда может вырождаться в прямую или даже точку. В равнобедренном треугольнике точка пересечения высот и медиан совпадает, в результате для построения золотого сечения понадобится только 2 точки и золотое сечение выродится в отрезок.

О центрах треугольника существует целая онлайн энциклопедия. Список центров треугольника и свойств каждого из них был начат Карлом Кемберлингом в 1994 году. Онлайн ресурс пополняется все новыми и новыми данными по мере их открытия в высшей математике. В школьном курсе рассматривается только 3 центра треугольника.

В правильном треугольнике и вовсе каждая высота будет совпадать с соответствующей медианой, биссектрисой и высотой. Значит, все три центра треугольника совпадут, и золотым сечением треугольника будет – точка.

Обратите внимание, что нельзя составить уравнение точки пересечения высот треугольника. Можно составить только уравнение прямой. Например, составить два уравнения высот, затем приравнять их и найти координату точки пересечения.

Что мы узнали?

Мы узнали, в каких построениях участвует точка пересечения высот треугольника. Поговорили о случаях, когда эта точка совпадает с другими центрами треугольника, выяснили особенности расположения ортоцентра в разных видах треугольников.

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

1. Найти уравнение стороны треугольника.
2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Точка пересечения высот треугольника – уравнение, примеры

Точка пересечения высот треугольника относится к одной из трех замечательных точек треугольника. Замечательными эти точки зовутся не за красоту, а за отношение к золотому сечению треугольника, которое характеризует данную фигуру.

Высота

Что такое высота? Высота это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону. Может получиться, что высота будет падать на продолжение стороны, как это бывает с тупоугольными треугольниками.

Рис. 1. Высота в треугольнике.

Точка пересечения высот

У любого треугольника есть три высоты, и они всегда пересекаются в одной точке. Эта точка является одним из 3 центров треугольника и зовется ортоцентром.

Еще со времен Древней Греции приставкой «орто» обозначали перпендикуляр. Ортогоналями звались перпендикулярные прямые.

Рис. 2. Ортогональные прямые.

Ортоцентр имеет три варианта расположения в зависимости от вида треугольника:

• Внутри фигуры. В остроугольных треугольниках точка пересечения высот всегда находится внутри фигуры. Это обусловлено тем, что все высоты в таком треугольнике внутренние.
• Совпадает с вершиной. Этот случай характерен для прямоугольных треугольников. В таких треугольниках две из трех высот будут совпадать со сторонами. Если быть точнее, то совпадающие стороны это катеты. Остается одна высота, которая будет опускаться из вершины при остром угле. Именно эта вершина и будет ортоцентром треугольника.
• Вне фигуры. Внешнее расположение ортоцентра возможно только в тупоугольном треугольнике. Для того, чтобы получить ортоцентр такого треугольника, иногда потребуется продлить высоты до пересечения с внешней высотой. Почему? Потому что внешняя высота проходит за пределами треугольника и опускается на продолжение одной из сторон, а две внутренние стороны всегда ограничены треугольником. Поэтому без дополнительных построений ортоцентр тупоугольного треугольника не найти.

Рис. 3. Точка пересечения высот треугольника.

Золотое сечение треугольника

Золотое сечение треугольника это маленький треугольник внутри фигуры, который определяется как пересечение трех центров треугольника.

Три центра треугольника это:

• Точка пересечения биссектрис
• Точка пересечения высот
• Точка пересечения медиан.

Золотое сечение иногда может вырождаться в прямую или даже точку. В равнобедренному треугольнике точка пересечения высот и медиан совпадает, в результате для построения золотого сечения понадобится только 2 точки и треугольник выродится в отрезок.

О центрах треугольника существует целая онлайн энциклопедия. Список центров треугольника и свойств каждого из них был начат Карлом Кемберлингом в 1994 году. Онлайн ресурс пополняется все новыми и новыми данными по мере их открытия в высшей математике. В школьном курсе рассматривается только 3 центра треугольника.

В правильном треугольнике и вовсе каждая высота будет совпадать с соответствующей медианой, биссектрисой и высотой. Значит, все три центра треугольника совпадут и золотым сечением треугольника будет точка.

Обратите внимание, что нельзя составить уравнение точки пересечения высот треугольника. Можно составить только уравнение прямой. Например, составить два уравнения высот, затем приравнять их и найти координату точки пересечения.

Что мы узнали?

Мы узнали, в каких построениях участвует точка пересечения высот треугольника. Поговорили о случаях, когда эта точка совпадает с другими центрами треугольника, выяснили особенности расположения ортоцентра в разных видах треугольников.