Написать уравнение траектории точки которая

Траектория и уравнения движения точки

Траектория и уравнения движения точки

• Уравнение движения для локуса и точек 1°.Основные понятия. Траекторией точки называется линия, описываемая точкой движения в пространстве. Траектории могут быть плоскими или пространственными кривыми. Движение точки определяется установлением закона движения. Закон движения точек (уравнения) устанавливает зависимость расположения точек во временном пространстве.

Движение точки M в фиксированной системе координат xyz определяется установкой 3 функций (рис.3.1). * = / > ( ’). J’ = / *( Людмила Фирмаль

Создайте уравнение движения для точки N в декартовой системе координат. Найдите уравнение его орбиты. Определяет полный 1-кратный поворот точки N и точку, в которой координаты обеих точек равны. The solution. To составьте уравнение движения точки N, необходимо представить ее координаты в виде функции времени. Из рисунка найдите координату x в точке N. Х = О с COS Людмила Фирмаль

Затем по координатам определяется максимальное отклонение точки м от центра колебаний О. МПМ = а ХІ =-а. Величина a называется амплитудой колебаний, kt — (- (J называется фазой колебаний, ap-начальной фазой колебаний. Определите период колебаний, то есть время, в течение которого точки совершают 1 полное колебание, то есть возвращаются в исходное положение с той же скоростью и величиной. Обозначим период буквой Т и найдем его значение из условия, что приращение фазы колебаний за это время равно 2π. Иначе говоря

Задача 3.4.Точки перемещаются в соответствии с уравнением. x = A cos(kt-e), (1） г = Б, потому что КТ(2） Определите уравнение траектории движения точки. Как изменяется локус точек при увеличении разности фаз£от 0 до 2r? The solution. To найдя уравнение орбиты точки в явном виде, нужно исключить время из уравнения motion. To для этого сначала преобразуем уравнение движения. х = а соѕ(т-е)= а [потому что КТ потому что£-(- КТ грех грех ЭЖ.(3） решая уравнения (2) и (3) для cos kt и sin kt, получим: Х г — г соз£ а б. Преступление. потому что КТ =£о грех КТ = Добавьте эти уравнения, возведя их в квадрат. г, (т -£»»’) ’ 1 Б% ’ °1 (4） Sin2 е

Или в конце： — В + М — ^^ ко ^ грех ’、 уравнение (4) для любого значения e является уравнением эллипса. Из этого уравнения максимальные и минимальные значения являются Параметры±соответственно. a для x и zt b для y. таким образом, во всех случаях эллипс вписывается в прямоугольники со сторонами 2a и 2b. измените значение от 0 до 2ir. если e = 0, то выражение(4) принимает вид:

Так, если фазы обеих составляющих колебаний перпендикулярны друг другу, то эллипс вырождается в 2 совпадающие прямые, являющиеся диагоналями прямоугольника(рис. в коса -> -= учитывая it_y = 0, горизонтальная дальность полета I определяется из орбитального уравнения (4).

log A x cos2 a следовательно 2 значения x\ Т / л грех 2а х0 = 0, ХН = 1 = 8. Первое значение соответствует первому моменту (моменту отправления точки), А второе определяет горизонтальное расстояние. Сравнивая значения /и 5, можно сделать вывод, что/ = 2s, то есть точки достигают наивысшего положения в диапазоне горизонтальной половины. Итак, положение точки в пространстве в этой точке.

Уравнение (1) представляет собой параметрическое уравнение траектории a point. To найдя уравнение орбиты точки в координатной форме, нужно исключить время из уравнения(1) и получить форму зависимости. БФ,(Ци, г)= 0, 9а, КР, з)= 0. Комбинация этих 2 уравнений определяет кривую, по которой перемещаются точки. Есть и другие способы указать движение points. In векторным методом, определяющим законы движения, радиус-вектор r движущейся точки M (рис.3.1) задается как функция времени r = r (t).Связь между радиус-вектором r и Декартовыми координатами точки представлена уравнением Р = ХІ * \ — ый + ЗК. (2 ） Где i, j и k-единичные векторы (единичные векторы) осей. (2)

Если вы получаете x, y> z, текущие координаты точки A4, как определено y. уравнение(1), то (2) x Дайте закон движения точек в векторной форме. 3-й способ задания движения точек называется natural. In в этом случае движение точек определяется уравнением а = /( (). Сферические и цилиндрические координаты часто используются для изучения движения точки в пространстве. Сферическими координатами точки M (рис.3.4) являются расстояние r точки M от неподвижного центра O, угол φ (угол поворота плоскости zOM относительно неподвижной плоскости xOz) и угол ？ =?(’) * (5 *）

Уравнение движения для цилиндрических координат： р = п(о> т = м р = РЗ). (си *） м г Так… 1. Рисунок 3.4. Да. Чтобы перейти от сферических координат к декартовым, используйте следующую формулу:> х = р с с COS

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Написать уравнение траектории точки которая

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ

3.1. На проволочной окружности радиусом r надето колечко М, через него проходит стержень ОА, который поворачивается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью.

Определить уравнения движения и уравнение траектории колечка М, если бы в начальный момент стержень ОА был вертикален.

Дано: , .

Найти: , , .

Решение: Из рисунка видно, что амплитуда по оси равна радиусу окружности. При повороте стержня на угол , кольцо М проходит по окружности угол , из чего можно сделать вывод, что угловая скорость кольца М по окружности в два раза больше угловой скорости стержня . Координата в начальный момент равна нулю, так как стержень находится в вертикальном положении, поэтому координата изменяется по синусу и его уравнение:

.

Относительно точки О координата может изменяться от нуля до , поэтому амплитуда по оси равна . В начальный момент координата занимает максимальное значение, поэтому координата изменяется по косинусу и так как ее значение не может быть отрицательно, то, очевидно по квадрату косинуса:

.

Уравнение траектории – круг с центром в точке (0; r ) будет:

.

Второй рисунок – начальное положение.

4. 1 . Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Решение: 1. Из первого уравнения и из второго .

Уравнение траектории получается суммированием полученных уравнений:

.

2. Модуль скорости точки определяется по формуле , где

и

.

При t =0: , и тогда ,

При t =1 c : и и тогда .

Модуль ускорения точки определяется по формуле , где

и

.

При t =0: , и тогда ,

При t =1 c : , и тогда .

3. Траектория представляет собою эллипс с центром в начале координат (0;0) и полуосями 3и 4.

4. 2 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение Чтобы найти уравнение траектории точки выведем из уравнения время , подставляя во второе уравнение, получим уравнение траектории:

.

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

,

Ускорения в заданные моменты времени:

,

.

4. 3 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение Чтобы найти уравнение траектории точки необходимо из уравнений движения исключить время. Для этого уравнения движения разрешим относительно и и возведем полученные результаты в квадрат:

,

Тогда уравнение траектории — эллипс с полуосями 9 и 18, центр которого в точке (0;0).

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

,

Ускорения в заданные моменты времени:

,

.

4. 4 . Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , ,

Решение: 1. Из уравнений и выражаем:

и

,

Складывая их получим уравнение траектории точки:

.

Траектория является эллипсом с полуосями 8 и 4см с центром в точке (5;0).

2. Скорости точки по осям:

и

.

Модуль скорости точки определяется по формуле:

.

Для момента времени t =0:

и

и

.

Для момента времени t =1 c :

,

и

.

Ускорения по осям:

и

.

Модуль ускорения точки определяется по формуле:

,

Для момента времени t =0:

, и

.

Для момента времени t =1:

, и

.

4. 5 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение Чтобы найти уравнение траектории точки необходимо из уравнений движения исключить время. Для этого уравнения движения разрешим относительно и и возведем полученные результаты в квадрат:

,

Тогда уравнение траектории — эллипс с полуосями 4 и 8, центр которого в точке (3;2).

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

,

Ускорения в заданные моменты времени:

,

.

4. 6 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки: .

4. 7 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим: , тогда . Из уравнения выражаем уравнение траектории : .

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

,

Ускорения в заданные моменты времени:

,

.

4. 8 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим:

.

Распишем уравнение :

,

Подставив в уравнение , получим уравнение траектории:

.

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

4. 9 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

.

4.1 0 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

.

4.1 1 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

.

4.1 2 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

.

4. 13 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

.

4. 14 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Возведем оба уравнения в квадрат и вычтем:

,

,

,

Это уравнение окружности радиусом 8см.

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

Ускорения в заданные моменты времени:

,

.

4. 15 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Общее ускорение точки:

.

Ускорения в заданные моменты времени:

,

.

4. 16 . Даны уравнения движения точки:

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при и .

3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Дано: , , , .

Найти: , , , , .

Решение: Из уравнения выразим время:

.

Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :

,

Скорость точки по осям:

,

,

Общая скорость точки:

.

Скорости в заданные моменты времени:

,

.

Ускорения точки по осям:

,

,

Ускорения в заданные моменты времени:

,

Общее ускорение точки:

и

.

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

iSopromat.ru

Пример решения задачи по определению траектории равноускоренного движения точки, заданного уравнениями, скорости и ускорения в некоторые моменты времени, координаты начального положения точки, а также путь, пройденный точкой за время t.

Задача

где x и y – в см, а t – в с. Определить траекторию движения точки, скорость и ускорение в моменты времени t₀=0 с, t₁=1 с и t₂=5 с, а также путь, пройденный точкой за 5 с.

Решение

Расчет траектории

Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:

Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).

Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A₀, подставим в заданные уравнения значения t₀=0; из первого уравнения получим x₀=2 см, из второго y₀=1 см. При любом другом значении t координаты x и y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2 с началом в точке A₀ (2; 1).

Расчет скорости

Расчет ускорения

Определяем ускорение точки. Его проекции на оси координат:

Проекции ускорения не зависят от времени движения,

т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.

С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости:

Определение пути

Определяем путь, пройденный точкой за первые 5с движения. Выразим путь как функцию времени:

Проинтегрируем последнее выражение:

Если t=t₀=0, то C=s₀; в данном случае s₀=0, поэтому s=2,5t 2 . Находим, что за 5с точка проходит расстояние

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах