Расстояние от точки до плоскости
Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости
Если задано уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 , то расстояние от точки M(M x , M y , M z ) до плоскости можно найти, используя следующую формулу:
d = | |A·M x + B·M y + C·M z + D| |
√ A 2 + B 2 + C 2 |
Примеры задач на вычисление расстояния от точки до плоскости
Решение. Подставим в формулу коэффициенты плоскости и координаты точки
d = |2·0 + 4·3 + (-4)·6 — 6| √ 4 + 16 + 16 = |0 + 12 — 24 — 6| √ 36 = |-18| 6 = 3
Ответ: расстояние от точки до плоскости равно 3.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Уравнение высоты треугольника
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Расстояние от точки до плоскости онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние от точки до заданной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния от точки до плоскости введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Расстояние от точки до плоскости − теория, примеры и решения
Для нахождения расстояния от точки M0 до плоскости α, необходимо найти расстояние от точки M0 до проекции точки M0 на плоскость α:
Нахождение расстояния от точки до плоскости содержит следующие шаги:
- построение прямой L, проходящей через точку M0 и перпендикулярной плоскости α.
- нахождение точки M1 пересечения плоскости α с прямой L(Рис.1).
- вычисление расстояния между точками M0 и M1.
1. Общее уравнение плоскости имеет вид:
(1) |
где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:
(2) |
Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:
(3) |
Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее
Выразим переменные x, y, z через рараметр t.
(4) |
2. Найдем точку пересечения прямой (4) с плоскостью (1). Для этого нужно найти такой параметр t, при котором точка M(x, y, z) принадлежит плоскости (1). Поэтому подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t.
A(At+x0)+B(Bt+y0)+C(At+z0)+D=0, |
A 2 t+Ax0+B 2 t+By0+C 2 t+Cz0+D=0, |
(5) |
3. Найдем, наконец, расстояние от точки M0 до плоскости (1). Очевидно, что расстояние от точки M0 до плоскости (1) − это расстояние от точки M0 до точки M1. А это расстояние вычисляется так:
Учитывая значение параметра t, имеем:
(6) |
Пример 1. Найти расстояние от точки M0(2, -1, -9/31) до плоскости
(7) |
Нормальный вектор плоскости имеет вид:
Подставляя координаты точки M0 и нормального вектора плоскости в (5), получим:
(8) |
Из выражений (4) находим:
Проекцией точки M0(2, -1, -9/31) на плоскость (7) является точка:
. |
Вычислим расстояние между точками M0 и M1:
. |
. |
Расстояние от точки M0(2, -1, -9/31) до плоскости (7):
http://www.treugolniki.ru/uravnenie-vysoty-treugolnika/
http://matworld.ru/analytic-geometry/rasstojanie-tochka-ploskost-online.php