Задача 55370 Записать каноническое и параметрическое.
Условие
Записать каноническое и параметрическое уравнения прямой,
проходящей через точку М и параллельной прямой L. M(5;-7;1)
L: система 30x+21y+19z+2=0
x-3z+1=0
Решение
Найдем [b]две[/b] точки принадлежащие линии пересечения плоскостей
[m]\left\<\begin
30x+21y+19z+2=0\\x-3z+2=0 \end
Так как точек на прямой бесчисленное множество, то выберем такую точку A, у которой
координата z=0
и выберем такую точку В, у которой координата y=0
Параллельные прямые имеют одинаковые направляющие векторы.
Осталось подставить координаты точки М(x_(o);y_(o);z_(o)) и вектора [m]\vec
Параметрические уравнения прямой на плоскости: описание, примеры, решение задач
Одним из подпунктов темы «Уравнение прямой на плоскости» является вопрос составления параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. В статье ниже рассматривается принцип составления подобных уравнений при определенных известных данных. Покажем, как от параметрических уравнений переходить к уравнениям иного вида; разберем решение типовых задач.
Вывод параметрических уравнений прямой на плоскости
Конкретная прямая может быть определена, если задать точку, которая принадлежит этой прямой, и направляющий вектор прямой.
Допустим, нам задана прямоугольная система координат O x y . А также заданы прямая а с указанием лежащей на ней точки М 1 ( x 1 , y 1 ) и направляющий вектор заданной прямой a → = ( a x , a y ) . Дадим описание заданной прямой a , используя уравнения.
Используем произвольную точку М ( x , y ) и получим вектор М 1 М → ; вычислим его координаты по координатам точек начала и конца: M 1 M → = ( x — x 1 , y — y 1 ) . Опишем полученное: прямая задана множеством точек М ( x , y ) , проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( a x , a y ) . Указанное множество задает прямую только тогда, когда векторы M 1 M → = ( x — x 1 , y — y 1 ) и a → = ( a x , a y ) являются коллинеарными.
Существует необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов, которое в данном случае для векторов M 1 M → = ( x — x 1 , y — y 1 ) и a → = ( a x , a y ) возможно записать в виде уравнения:
M 1 M → = λ · a → , где λ – некоторое действительное число.
Уравнение M 1 M → = λ · a → называют векторно-параметрическим уравнением прямой.
В координатной форме оно имеет вид:
M 1 M → = λ · a → ⇔ x — x 1 = λ · a x y — y 1 = λ · a y ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ
Уравнения полученной системы x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ носят название параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Суть названия в следующем: координаты всех точек прямой возможно определить по параметрическим уравнениям на плоскости вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при переборе всех действительных значений параметра λ
Составление параметрических уравнений прямой на плоскости
Согласно вышесказанному, параметрические уравнения прямой на плоскости x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ определяют прямую линию, которая задана в прямоугольной системе координат, проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 ) и имеет направляющий вектор a → = ( a x , a y ) . Следовательно, если заданы координаты некоторой точки прямой и координаты ее направляющего вектора, то возможно сразу записать параметрические уравнения заданной прямой.
Необходимо составить параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат, если заданы принадлежащая ей точка М 1 ( 2 , 3 ) и ее направляющий вектор a → = ( 3 , 1 ) .
Решение
На основе исходных данных получим: x 1 = 2 , y 1 = 3 , a x = 3 , a y = 1 . Параметрические уравнения будут иметь вид:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ
Ответ: x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ
Необходимо отметить: если вектор a → = ( a x , a y ) служит направляющим вектором прямой а, а точки М 1 ( x 1 , y 1 ) и М 2 ( x 2 , y 2 ) принадлежат этой прямой, то ее возможно определить, задав параметрическими уравнениями вида: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , а также и таким вариантом: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .
К примеру, нам заданы направляющий вектор прямой a → = ( 2 , — 1 ) , а также точки М 1 ( 1 , — 2 ) и М 2 ( 3 , — 3 ) , принадлежащие этой прямой. Тогда прямую определяют параметрические уравнения: x = 1 + 2 · λ y = — 2 — λ или x = 3 + 2 · λ y = — 3 — λ .
Следует обратить внимание и на такой факт: если a → = ( a x , a y ) — направляющий вектор прямой a , то ее направляющим вектором будет и любой из векторов μ · a → = ( μ · a x , μ · a y ) , где μ ϵ R , μ ≠ 0 .
Таким образом, прямая а на плоскости в прямоугольной системе координат может быть определена параметрическими уравнениями: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ при любом значении μ , отличном от нуля.
Допустим, прямая а задана параметрическими уравнениями x = 3 + 2 · λ y = — 2 — 5 · λ . Тогда a → = ( 2 , — 5 ) — направляющий вектор этой прямой. А также любой из векторов μ · a → = ( μ · 2 , μ · — 5 ) = 2 μ , — 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 станет направляющим вектором для заданной прямой. Для наглядности рассмотрим конкретный вектор — 2 · a → = ( — 4 , 10 ) , ему соответствует значение μ = — 2 . В таком случае заданную прямую можно также определить параметрическими уравнениями x = 3 — 4 · λ y = — 2 + 10 · λ .
Переход от параметрических уравнений прямой на плоскости к прочим уравнениям заданной прямой и обратно
В решении некоторых задач применение параметрических уравнений является не самым оптимальным вариантом, тогда возникает необходимость перевода параметрических уравнений прямой в уравнения прямой другого вида. Рассмотрим, как же это сделать.
Параметрическим уравнениям прямой вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ будет соответствовать каноническое уравнение прямой на плоскости x — x 1 a x = y — y 1 a y .
Разрешим каждое из параметрических уравнений относительно параметра λ , приравняем правые части полученных равенств и получим каноническое уравнение заданной прямой:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y
При этом не должно смущать, если a x или a y будут равны нулю.
Необходимо осуществить переход от параметрических уравнений прямой x = 3 y = — 2 — 4 · λ к каноническому уравнению.
Решение
Запишем заданные параметрические уравнения в следующем виде: x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ
Выразим параметр λ в каждом из уравнений: x = 3 + 0 · λ y = — 2 — 4 · λ ⇔ λ = x — 3 0 λ = y + 2 — 4
Приравняем правые части системы уравнений и получим требуемое каноническое уравнение прямой на плоскости:
x — 3 0 = y + 2 — 4
Ответ: x — 3 0 = y + 2 — 4
В случае, когда необходимо записать уравнение прямой вида A x + B y + C = 0 , при этом заданы параметрические уравнения прямой на плоскости, необходимо сначала осуществить переход к каноническому уравнению, а затем к общему уравнению прямой. Запишем всю последовательность действий:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x · ( y — y 1 ) ⇔ A x + B y + C = 0
Необходимо записать общее уравнение прямой, если заданы определяющие ее параметрические уравнения: x = — 1 + 2 · λ y = — 3 · λ
Решение
Для начала осуществим переход к каноническому уравнению:
x = — 1 + 2 · λ y = — 3 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y — 3 ⇔ x + 1 2 = y — 3
Полученная пропорция идентична равенству — 3 · ( x + 1 ) = 2 · y . Раскроем скобки и получим общее уравнение прямой: — 3 · x + 1 = 2 · y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .
Ответ: 3 x + 2 y + 3 = 0
Следуя вышеуказанной логике действий, для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом, уравнения прямой в отрезках или нормального уравнения прямой необходимо получить общее уравнение прямой, а от него осуществлять дальнейший переход.
Теперь рассмотрим обратное действие: запись параметрических уравнений прямой при другом заданном виде уравнений этой прямой.
Самый простой переход: от канонического уравнения к параметрическим. Пусть задано каноническое уравнение вида: x — x 1 a x = y — y 1 a y . Каждое из отношений этого равенства примем равным параметру λ :
x — x 1 a x = y — y 1 a y = λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y
Разрешим полученные уравнения относительно переменных x и y :
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ
Необходимо записать параметрические уравнения прямой, если известно каноническое уравнение прямой на плоскости: x — 2 5 = y — 2 2
Решение
Приравняем части известного уравнения к параметру λ : x — 2 5 = y — 2 2 = λ . Из полученного равенства получим параметрические уравнения прямой: x — 2 5 = y — 2 2 = λ ⇔ λ = x — 2 5 λ = y — 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ
Ответ: x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ
Когда необходимо осуществить переход к параметрическим уравнениям от заданного общего уравнения прямой, уравнения прямой с угловым коэффициентом или уравнения прямой в отрезках, необходимо исходное уравнение привести к каноническому, а после осуществлять переход к параметрическим уравнениям.
Необходимо записать параметрические уравнения прямой при известном общем уравнении этой прямой: 4 x — 3 y — 3 = 0 .
Решение
Заданное общее уравнение преобразуем в уравнение канонического вида:
4 x — 3 y — 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4
Приравняем обе части равенства к параметру λ и получим требуемые параметрические уравнения прямой:
x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 · λ y = — 1 3 + 4 · λ
Ответ: x = 3 · λ y = — 1 3 + 4 · λ
Примеры и задачи с параметрическими уравнениями прямой на плоскости
Рассмотрим чаще всего встречаемые типы задач с использованием параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат.
- В задачах первого типа заданы координаты точек, принадлежащих или нет прямой, описанной параметрическими уравнениями.
Решение таких задач опирается на следующий факт: числа ( x , y ) , определяемые из параметрических уравнений x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при некотором действительном значении λ , являются координатами точки, принадлежащей прямой, которая описывается этими параметрическими уравнениями.
Необходимо определить координаты точки, которая лежит на прямой, заданной параметрическими уравнениями x = 2 — 1 6 · λ y = — 1 + 2 · λ при λ = 3 .
Решение
Подставим в заданные параметрические уравнения известное значение λ = 3 и осуществим вычисление искомых координат: x = 2 — 1 6 · 3 y = — 1 + 2 · 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5
Ответ: 1 1 2 , 5
Также возможна следующая задача: пусть задана некоторая точка M 0 ( x 0 , y 0 ) на плоскости в прямоугольной системе координат и нужно определить, принадлежит ли эта точка прямой, описываемой параметрическими уравнениями x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ .
Чтобы решить подобную задачу, необходимо подставить координаты заданной точки в известные параметрические уравнения прямой. Если будет определено, что возможно такое значение параметра λ = λ 0 , при котором будут верными оба параметрических уравнения, тогда заданная точка является принадлежащей заданной прямой.
Заданы точки М 0 ( 4 , — 2 ) и N 0 ( — 2 , 1 ) . Необходимо определить, являются ли они принадлежащими прямой, определенной параметрическими уравнениями x = 2 · λ y = — 1 — 1 2 · λ .
Решение
Подставим координаты точки М 0 ( 4 , — 2 ) в заданные параметрические уравнения:
4 = 2 · λ — 2 = — 1 — 1 2 · λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2
Делаем вывод, что точка М 0 принадлежит заданной прямой, т.к. соответствует значению λ = 2 .
Далее по аналогии проверим заданную точку N 0 ( — 2 , 1 ) , подставив ее координаты в заданные параметрические уравнения:
— 2 = 2 · λ 1 = — 1 — 1 2 · λ ⇔ λ = — 1 λ = — 4
Очевидно, что не существует такого параметра λ , которому будет соответствовать точка N 0 . Другими словами, заданная прямая не проходит через точку N 0 ( — 2 , 1 ) .
Ответ: точка М 0 принадлежит заданной прямой; точка N 0 не принадлежит заданной прямой.
- В задачах второго типа требуется составить параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Самый простой пример такой задачи (при известных координатах точки прямой и направляющего вектора) был рассмотрен выше. Теперь разберем примеры, в которых сначала нужно найти координаты направляющего вектора, а потом записать параметрические уравнения.
Пример 8
Задана точка M 1 1 2 , 2 3 . Необходимо составить параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку и параллельной прямой x 2 = y — 3 — 1 .
Решение
По условию задачи прямая, уравнение которой нам предстоит опередить, параллельна прямой x 2 = y — 3 — 1 . Тогда в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через заданную точку, возможно использовать направляющий вектор прямой x 2 = y — 3 — 1 , который запишем в виде: a → = ( 2 , — 1 ) . Теперь известны все необходимые данные для того, чтобы составить искомые параметрические уравнения:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + ( — 1 ) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 — λ
Ответ: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 — λ .
Задана точка М 1 ( 0 , — 7 ) . Необходимо записать параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно прямой 3 x – 2 y – 5 = 0 .
Решение
В качестве направляющего вектора прямой, уравнение которой надо составить, возможно взять нормальный вектор прямой 3 x – 2 y – 5 = 0 . Его координаты ( 3 , — 2 ) . Запишем требуемые параметрические уравнения прямой:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = — 7 + ( — 2 ) · λ ⇔ x = 3 · λ y = — 7 — 2 · λ
Ответ: x = 3 · λ y = — 7 — 2 · λ
- В задачах третьего типа требуется осуществить переход от параметрических уравнений заданной прямой к прочим видам уравнений, которые ее определяют. Решение подобных примеров мы рассматривали выше, приведем еще один.
Пример 10
Дана прямая на плоскости в прямоугольной системе координат, определяемая параметрическими уравнениями x = 1 — 3 4 · λ y = — 1 + λ . Необходимо найти координаты какого-либо нормального вектора этой прямой.
Решение
Чтобы определить искомые координаты нормального вектора, осуществим переход от параметрических уравнений к общему уравнению:
x = 1 — 3 4 · λ y = — 1 + λ ⇔ λ = x — 1 — 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x — 1 — 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 · x — 1 = — 3 4 · y + 1 ⇔ x + 3 4 y — 1 4 = 0
Коэффициенты переменных x и y дают нам требуемые координаты нормального вектора. Таким образом, нормальный вектор прямой x = 1 — 3 4 · λ y = — 1 + λ имеет координаты 1 , 3 4 .
Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору
Параметрическое уравнение прямой
Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е. принадлежащий или параллельный ей.
Пусть на координатной плоскости заданы точка и ненулевой вектор (рис. 3.13). Требуется составить уравнение прямой, коллинеарной вектору и проходящей через точку .
Выберем на прямой произвольную точку . Обозначим и — радиус-векторы точек и (рис.3.14).
Точка принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Запишем условие коллинеарности : , где — некоторое действительное число (параметр). Учитывая, что , получим векторное параметрическое уравнение прямой :
где — направляющий вектор прямой, а — радиус-вектор точки, принадлежащей прямой.
Координатная форма записи уравнения (3.11) называется параметрическим уравнением прямой
где — координаты направляющего вектора прямой. Параметр в уравнениях (3.11),(3.12) имеет следующий геометрический смысл : величина пропорциональна расстоянию от начальной точки до точки . Физический смысл параметра в параметрических уравнениях (3.11), (3.12) — это время при равномерном и прямолинейном движении точки по прямой. При точка совпадает с начальной точкой , при возрастании движение происходит в направлении, определяемым направляющим вектором .
Каноническое уравнение прямой
Выразим параметр из каждого уравнения системы (3.12): , а затем исключим этот параметр:
Уравнение (3.13) называется каноническим уравнением прямой . В этом уравнении коэффициенты и не равны нулю одновременно, так как это координаты направляющего вектора прямой.
1. Если один из знаменателей дробей в (3.13) равен нулю, то считается, что соответствующий числитель дроби равен нулю:
– каноническое уравнение – это уравнение прямой , параллельной оси ординат (рис.3.15,а);
– каноническое уравнение — это уравнение прямой , параллельной оси абсцисс (рис.3.15,6).
2. Поскольку направляющий вектор коллинеарен прямой, а нормаль ей перпендикулярна, то векторы и ортогональны. Следовательно, их скалярное произведение равно нулю:
т.е. координаты направляющего вектора прямой и ее нормали связаны однородным уравнением: . Подставим, например, решение этого уравнения в общее уравнение прямой (3.7):
Это соотношение позволяет по координатам направляющего вектора и координатам точки записать уравнение прямой без промежуточных вычислений.
3. Направляющий вектор прямой определяется неоднозначно. Например, любой ненулевой вектор , где , также является направляющим вектором для той же прямой.
4. Для перехода от общего уравнения прямой (3.8) к каноническому (3.13) нужно выполнить следующие действия:
1) найти любое решение уравнения , определяя тем самым координаты точки , принадлежащей прямой;
2) найти любое ненулевое решение однородного уравнения , определяя тем самым координаты направляющего вектора , в частности, можно взять ;
3) записать каноническое уравнение (3.13).
5. Чтобы перейти от канонического уравнения к общему , достаточно перенести все члены уравнения (3.13) в левую часть:
Полученное уравнение (при ) имеет вид (3.8) с .
6. Чтобы перейти от канонического уравнения к параметрическому , следует приравнять левую и правую части уравнения (3.13) параметру и записать полученное двойное равенство в виде системы (3.12):
7. Параметрическое (3.12) и каноническое (3.13) уравнения прямой, полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним.
Пример 3.8. На координатной плоскости (в прямоугольной системе координат) заданы прямая и точка (рис.3.16). Требуется:
а) Нормаль к прямой является направляющим вектором для прямой . Координаты нормали определяем по общему уравнению прямой , тогда , . Составляем параметрическое уравнение (3.12) прямой :
б) Проекция точки является точкой пересечения прямых и . Найдем ее координаты. Для этого подставляем в уравнение прямой выражения координат и из параметрического уравнения прямой . Получим уравнение
Значению параметра отвечает точка с координатами и . Следовательно, искомая точка .
в) В пункте «а» составлено параметрическое уравнение прямой . В этом уравнении при получаем точку , при — точку , значит искомую точку получим при , поскольку в силу симметрии . Вычисляем координаты искомой точки:
Пример 3.9. На координатной плоскости (в прямоугольной системе координат) заданы вершины треугольника (рис.3.17). Составить:
а) каноническое уравнение прямой, содержащей высоту треугольника;
б) каноническое и параметрическое уравнения прямой, содержащей биссектрису треугольника.
а) В примере 3.7 было получено общее уравнение прямой . Перейдем от общего уравнения к каноническому.
1) Найдем любое решение уравнения , например, и (точкам принадлежит прямой ).
2) Найдем ненулевое решение однородного уравнения , например (направляющий вектор прямой имеет координаты ).
3) Запишем каноническое уравнение: .
б) Найдем направляющий вектор биссектрисы . Для этого отложим от вершины единичные векторы и построим на них ромб (изображенный на рис.3.17 штриховой линией). Поскольку диагональ ромба является биссектрисой, то вектор . является направляющим вектором биссектрисы . Находим координаты и длины векторов:
Составляем каноническое уравнение прямой с направляющим вектором , проходящей через точку :
Чтобы получить параметрическое уравнение прямой , приравниваем левую и правую части канонического уравнения параметру . Записываем полученную систему в виде
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/parametricheskie-uravnenija-prjamoj-na-ploskosti/
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=uravneniya-pryamoi-kollinyearno-vektoru