Напишите параметрическое уравнение прямой проходящей

Каноническое и параметрическое уравнения прямой

Пусть l — некоторая прямая пространства. Как и в планиметрии, любой вектор

а =/= 0, коллинеарный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой.

Положение прямой в пространстве полностью определяется заданием направляющего вектора и точки, принадлежащей прямой.

Пусть прямая l с направляющим вектором а проходит через точку M₀ , а М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М (рис. 197) принадлежит прямой l тогда и только тогда, когда вектор \(\overrightarrow\) коллинеарен вектору а, т. е.

Если точки М и M₀ заданы своими радиус-векторами r и r₀ (рис. 198) относительно некоторой точки О пространства, то \(\overrightarrow\) = r — r₀, и уравнение (1) принимает вид

Уравнения (1) и (2) называются векторно-параметрическими уравнениями прямой. Переменная t в векторно-параметрических уравнениях прямой называется параметром.

Пусть точка M₀ прямой l и направляющий вектор а заданы своими координатами:

Тогда, если (х; у; z) — координаты произвольной точки М прямой l, то

и векторное уравнение (1) равносильно следующим трем уравнениям:

$$ \begin x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end (3)$$

Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Задача 1. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

M₀(-3; 2; 4) и имеющей направляющий вектор а = (2; -5; 3).

В данном случае х₀ = -3, у₀ = 2, z₀ = 4; а₁ = 2; а₂ = -5; а₃ = 3. Подставив эти значения в формулы (3), получим параметрические уравнения данной прямой

$$ \begin x = -3 — 2t \\ y = 2 — 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\in R\end $$

Исключим параметр t из уравнений (3). Это можно сделать, так как а =/= 0, и поэтому одна из координат вектора а заведомо отлична от нуля.

Пусть сначала все координаты отличны от нуля. Тогда

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Заметим, что уравнения (4) образуют систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z.

Если в уравнениях (3) одна из координат вектора а, например а₁ равна нулю, то, исключив параметр t, снова получим систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z:

Эти уравнения также называются каноническими уравнениями прямой. Для единообразия их также условно записывают в виде (4)

считая, что если знаменатель равен нулю, то равен нулю и соответствующий числитель. Эти уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через точку M₀(х₀; у₀, z₀) параллельно координатной плоскости yOz, так как этой плоскости параллелен ее направляющий вектор (0; а₂; а₃).

Наконец, если в уравнениях (3) две координаты вектора а, например а₁ и а₂ равны нулю, то эти уравнения принимают вид

Это уравнения прямой, проходящей через точку M₀(х₀; у₀; z₀) параллельно оси Oz. Для такой прямой х = х₀, y = у₀, a z — любое число. И в этом случае для единообразия уравнения прямой можно записывать (с той же оговоркой) в виде (4)

Таким образом, для любой прямой пространства можно написать канонические уравнения (4), и, наоборот, любое уравнение вида (4) при условии, что хотя бы один из коэффициентов а₁ , а₂ , а₃ не равен нулю, задает некоторую прямую пространства.

Задача 2. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M₀(- 1; 1, 7) параллельно вектору а = (1; 2; 3).

Уравнения (4) в данном случае записываются слeдующим образом:

Выведем уравнения прямой, проходящей через две данные точки M₁(х₁; у₁; z₁) и

Это и есть уравнения прямой, проходящей через две точки M₁(х₁; у₁; z₁) и

Задача 3. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M₁(-4; 1; -3) и M₂(-5; 0; 3).

Задача 4. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M₁(3; -2; 1) и

После подстановки координат точек M₁ и M₂ в уравнения (5) получим

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

В данной статье мы рассмотрим параметрическое уравнение прямой на плоскости. Приведем примеры построения параметрического уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и направляющий вектор этой прямой. Представим методы преобразования уравнения в параметрическом виде в канонический и общий виды.

Параметрическое уравнение прямой L на плоскости представляется следующей формулой:

(1)

Отметим что при записи уравнения прямой в параметрическом виде, направляющий вектор прямой не должен быть нулевым вектором, т.е хотя бы один координат направляющего вектора q должен быть отличным от нуля.

Для построения прямой на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат, заданной параметрическим уравнением (1), достаточно задать параметру t две разные значения, вычислить x и y и провести через эти точки прямую линию. При t=0 имеем точку M₁(x₁, y₁) при t=1, получим точку M₂(x₁+m, y₁+p).

Для составления параметрического уравнения прямой на плоскости L достаточно иметь точку на прямой L и направляющий вектор прямой или две точки, принадлежащие прямой L. В первом случае, для построения параметрического уравнения прямой нужно координаты точки и направляющего вектора вставить в уравнение (1). Во втором случае сначала нужно найти направляющий вектор прямой q=<m, p>, вычисляя разности соответствующих координатов точек M₁ и M₂: m=x₂−x₁, p=y₂−y₁(Рис.1). Далее, аналогично первому случаю, подставить координаты одной из точек (не имеет значение какой именно) и направляющего вектора q прямой в (1).

Можно также вывести формулу параметрического уравнения прямой, проходящей через две точки. Для этого подставим значения m=x₂−x₁, p=y₂−y₁ в (1), получим параметрическое уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂):

(2)

Пример 1. Прямая проходит через точку M=(3,−1) и имеет направляющий вектор q=<−3, 5>. Построить параметрическое уравнение прямой.

Решение. Для построения параметрического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

Пример 2. Прямая проходит через точки M₁=(−5, 2) и M₂=(−2, 3). Построить параметрическое уравнение прямой.

Решение. Воспользуемся формулой (2). Подставим координаты точек M₁ и M₂ в уравнение (2):

Упростим полученное уравнение:

Приведение параметрического уравнения на плоскости к каноническому виду

Выразим параметр t в (1) через переменные x и y:

(3)

Из выражений (3), можем записать каноническое уравнение прямой на плоскости:

.

(4)

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 3. Прямая на плоскости представлена следующим параметрческим уравнением:

Привести данное уравнение прямой к каноническому виду.

Решение: Выразим параметр t через переменные x и y:

(5)

Из выражений (5), можем записать:

Приведение параметрического уравнения на плоскости к общему виду

Для приведения параметрического уравнения прямой на плоскости к общему виду, в формулах (1) выразим из второго уравнения параметр t через переменную y и подставим в первое уравнение:

(6)

Умножим обе части уравнения (6) на p и группируем элементы уравнения:

.

(7)

Сделаем обозначения: A=p, B=−m, C=−px₁+my₁. Тогда получим общее уравнение прямой:

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 4. Прямая на плоскости представлена следующим параметрческим уравнением:

(9)

Привести данное уравнение прямой к общему виду.

Решение: В уравнении (9) имеем: x₁=−5, y₁=0, m=4, p=−2. Подставим эти значения в формулу (7):

(10)

Упростив выражение (10) получим общее уравнение прямой (9):

Параметрическое уравнение прямой проходящей через две точки: онлайн-калькулятор

Параметрическое уравнение прямой можно легко составить с помощью онлайн-калькулятора. Просто выберите размерность (плоскость или трехмерное пространство), укажите координаты точек и нажмите «рассчитать». Онлайн-калькулятор выдаст подробное пошаговое решение.

Как найти параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки, с помощью онлайн-калькулятора

Рассмотрим пример, наглядно демонстрирующий работу с онлайн-калькулятором. Найдем параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки с координатами (1;4) и (3;0). Для этого:

1. Укажем размерность. Калькулятор позволяет работать с объектами на плоскости (2), или в пространстве (3). В нашем конкретном примере выберем плоскость (2):
   
2. Зададим прямую по двум точкам. Для этого впишем координаты этих точек в пустые поля калькулятора:
   
3. Нажмем «Рассчитать» и получим ответ с решением:
   

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

Параметрическое уравнение прямой онлайн

Параметрическое уравнение прямой представляет собой систему из двух или трех уравнений. Чтобы задать прямую на плоскости или в пространстве параметрически, достаточно знать координаты двух точек, через которые эта прямая проходит. Онлайн-калькулятор позволяет найти параметрическое уравнение прямой в один клик, минуя все расчеты.

Интерфейс онлайн-калькулятора устроен максимально понятно и просто: вы можете не только получить ответ, но и разобраться с ходом решения примера, так как программа выдает все математические выкладки с подробным пояснением.

Данный сервис будет полезен студентам, школьникам, преподавателям, а также всем людям, интересующимся математикой.