Напишите уравнение функции график которой изображен на рисунке

Задание 9 ЕГЭ по математике. Графики функций

В 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня появилась задание №9 по теме «Графики функций». Можно считать его подготовительным для освоения задач с параметрами.

Как формулируется задание 9 ЕГЭ по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.

Чтобы выполнить это задание, надо знать, как выглядят и какими свойствами обладают графики элементарных функций. Надо уметь читать графики, то есть получать из них необходимую информацию. Например, определять формулу функции по ее графику.

Вот необходимая теория для решения задания №9 ЕГЭ.

Да, теоретического материала здесь много. Но он необходим — и для решения задания 9 ЕГЭ, и для понимания темы «Задачи с параметрами», а также для дальнейшего изучения математики на первом курсе вуза.

Рекомендации:

Запоминай, как выглядят графики основных элементарных функций. Замечай особенности графиков, чтобы не перепутать параболу с синусоидой : -)

Проверь себя: какие действия нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали, растянуть, перевернуть?

Разбирая решения задач, обращай внимание на то, как мы ищем точки пересечения графиков или неизвестные переменные в формуле функции. Такие элементы оформления встречаются также в задачах с параметрами.

Задание 9 в формате ЕГЭ-2021

Линейная функция

1. На рисунке изображён график функции . Найдите значение , при котором

Найдем, чему равны k и b. График функции проходит через точки (3; 4) и (-1; -3). Подставив по очереди координаты этих точек в уравнение прямой y = kx + b, получим систему:

Вычтем из первого уравнения второе:

Уравнение прямой имеет вид:

Найдем, при каком значение функции равно -13,5.

2. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Запишем формулы функций.

Одна из них проходит через точку (0; 1) и ее угловой коэффициент равен -1. Это линейная функция

Другая проходит через точки (-1; -1) и (-2; 4). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу линейной функции

Вычтем из первого уравнения второе.

Прямая задается формулой:

Найдем абсциссу точки пересечения прямых. Эта точка лежит на обеих прямых, поэтому:

3. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Прямая, расположенная на рисунке ниже, задается формулой так как ее угловой коэффициент равен 1 и она проходит через точку (-3; -2).

Для прямой, расположенной выше, угловой коэффициент равен

Эта прямая проходит через точку (-2; 4), поэтому: эта прямая задается формулой

Для точки пересечения прямых:

Квадратичная функция. Необходимая теория

4. На рисунке изображен график функции Найдите b.

На рисунке — квадратичная парабола полученная из графика функции сдвигом на 1 вправо, то есть

5. На рисунке изображен график функции . Найдите с.

На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх, значит, коэффициент при положительный. График сдвинут относительно графика функции на 1 единицу вправо вдоль оси Ох. Формула функции имеет вид .

6. На рисунке изображён график функции Найдите

График функции проходит через точки с координатами (1; 1) и (-2; -2). Подставляя координаты этих точек в формулу функции, получим:

Формула функции имеет вид:

7. На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Найдем a, b и c в формуле функции . График этой функции пересекает ось ординат в точке (0; -3), поэтому

График функции проходит через точки (-1; -3) и (2; 3). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу функции:

Найдем абсциссу точки B. Для точек A и B:

(это абсцисса точки A) или (это абсцисса точки B).

Степенные функции. Необходимая теория

8. На рисунке изображены графики функций и , которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

График функции проходит через точку (2; 1); значит,

График функции проходит через точки (2; 1) и (1; -4), — угловой коэффициент прямой; (находим как тангенс угла наклона прямой и положительному направлению оси X); тогда

Для точек A и B имеем:

Отсюда (абсцисса точки A) или (абсцисса точки B).

9. На рисунке изображён график функции . Найдите f (6,76).

Функция задана формулой:

Ее график проходит через точку (4; 5); значит,

10. На рисунке изображен график функции . Найдите .

График функции на рисунке симметричен графику функции относительно оси Y. Он проходит через точку (-1; 1). Значит, формула изображенной на рисунке функции: , а = — 1. Тогда =5.

Показательная функция. Необходимая теория

11. На рисунке изображён график функции Найдите

График функции проходит через точки (-3; 1) и (1; 4). Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции получим:

Поделим второе уравнение на первое:

Подставим во второе уравнение:

12. На рисунке изображен график функции . Найдите

График функции проходит через точку Это значит, что

формула функции имеет вид: .

Логарифмическая функция. Необходимая теория

13. На рисунке изображён график функции Найдите

График функции проходит через точки (-3; 1) и (-1; 2). Подставим по очереди эти точки в формулу функции.

Вычтем из второго уравнения первое:

или — не подходит, так как (как основание логарифма).

14. На рисунке изображен график функции .

График логарифмической функции на рисунке проходит через точки и . Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции, получим систему уравнений:

Тригонометрические функции. Необходимая теория

15. На рисунке изображён график функции Найдите

График функции сдвинут на 1,5 вверх; Значит, Амплитуда (наибольшее отклонение от среднего значения).

Это график функции Он получен из графика функции растяжением в 2 раза по вертикали и сдвигом вверх на .

16. На рисунке изображён график функции

На рисунке — график функции Так как

График функции проходит через точку A Подставим и координаты точки А в формулу функции.

Так как получим:

17. На рисунке изображен график периодической функции у = f(x). Найдите значение выражения

Функция, график которой изображен на рисунке, не только периодическая, но и нечетная, и если то

Пользуясь периодичностью функции , период которой T = 4, получим:

Друзья, мы надеемся, что на уроках математики в школе вы решаете такие задачи. Для углубленного изучения темы «Функции и графики» (задание 9 ЕГЭ по математике), а также задач с параметрами и других тем ЕГЭ — рекомендуем Онлайн-курс для подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.

Графики функций на клетчатой бумаге

Задача 1. На рисунке 1 изображён график функции

f(x) = ax 2 + bx + c, где числа a, b и c — целые. Найдите f(-8).

Квадратичную функцию f(x) = ax 2 + bx + c также можно представить в виде:

f(x) = a(x-m) 2 + n, где m и n — координаты вершины параболы, а – коэффициент сжатия.

На рисунке мы видим параболу. Мысленно перенесём её вершину в начало координат и понимаем, что в этом случае на рисунке окажется график привычной нам функции

у = х 2 , т.е. а = 1.

У нашей параболы вершина находится в точке A(3; -2), т.е. m = 3, n = -2.

Получаем y = (x-3) 2 -2. Это и есть функция, график которой изображён на рисунке 1. Нам нужно найти f(-8), поэтому нет необходимости преобразовывать полученную функцию к виду f(x) = ax 2 + bx + c.

Мы просто подставим число -8 вместо х.

f(-8) = y(-8) = (-8-3) 2 -2 = 121-2 = 119.

Задача 2. На рисунке 2 изображён график функции

f(x) = ax 2 + bx + c, где числа a, b и c — целые. Найдите f(7).

Вершина параболы А(-3; -4),

Искомую функцию запишем в виде:

y = a(x-m) 2 + n, где m и n – координаты вершины параболы.

У нас m = -3, n = -4.

Получаем у = а(х+3) 2 -4.

Подставляем в это равенство координаты точки В(-2; -1) и найдём коэффициент а.

-1 = а-4, значит, а = 3.

Итак, уравнение параболы, изображённой на рисунке: у = 3(х+3) 2 -4.

А теперь находим значение f(7).

у(7) = 3(7+3) 2 -4 = 3 ∙ 100-4 = 296. Ответ: 296.

Задача 3. На рисунке 3 изображён график функции

f(x) = ax 2 + bx + c, где числа a, b и c — целые. Найдите f(-5).

Рассуждаем точно так же!

Вершина параболы А(4; 3),

Квадратичную функцию запишем в виде y = a(x-m) 2 + n, где m и n – координаты вершины параболы.

У нас m = 4, n = 3.

Получаем у = а(х-4) 2 + 3.

Для того, чтобы найти коэффициент а, в полученное уравнение подставим координаты точки В(2; 1).

4а = -2, отсюда а = -0,5.

у = -0,5(х 4) 2 + 3 – уравнение функции, график которой изображён на рисунке.

А теперь находим значение f(-5).

у(-5) = -0,5 ∙ (-5-4) 2 + 3 = -0,5 ∙ 81 + 3 = -40,4 + 3 = -37,5. Ответ: -37,5.

Однако, могут быть случаи, когда на рисунке не представляется возможным указать точные значения координат вершины параболы. Как быть? Рассмотрим пример.

Задача 4. На рисунке 4 изображён график функции

f(x) = ax 2 + bx + c, где числа a, b и c — целые. Найдите f(-10).

График функции у = ax 2 + bx + c пересекает ось Ох в точке В(0; -4), следовательно, значение с = -4.

Теперь функция имеет вид: у = ax 2 + bx-4.

Осталось найти значения а и b.

Так как парабола проходит через точки

А(-2; -2) и В(1; 1), то, подставив координаты этих точек в равенство у = ax 2 + bx-4, мы получим систему уравнений:

Почленно сложим равенства и получим 3а = 6, отсюда а = 2.

Подставим это значение в равенство a + b = 5, тогда b = 3.

Получаем функцию f(x = 2x 2 + 3x-4. Находим f(-10).

у(-10) = 2 ∙ (-10) 2 + 3 ∙ (-10)-4 = 200-30-4 = 166. Ответ: 166.

Задача 5. На рисунке 5 изображён график функции f(x) =k/x + a. Найдите f(-10).

На рисунке мы видим гиперболу, состоящую из двух ветвей. Это график дробно-линейной функции вида:

Правую часть равенства легко можно преобразовать к виду:

где x = m – вертикальная асимптота графика,

y = n – горизонтальная асимптота графика.

Асимптота – прямая, к которой неограниченно приближается график функции, но которую никогда не пересечёт.

Смотрим на рисунок.

Вертикальная асимптота х = 0 (ось Оу), следовательно, m = 0.

Горизонтальная асимптота у = -2 (штрих-пунктирная прямая),

следовательно, n = -2. Тогда наша функция принимает вид:

Для нахождения коэффициента k в полученное равенство подставим координаты точки А(2; -4).

Это уравнение функции, график которой изображён на рисунке.

Отвечаем на вопрос задачи.

Задача 6. На рисунке 6 изображён график функции f(x) =k/x + a. Найдите f(24).

Запишем функцию в виде:

где x = m – вертикальная асимптота графика,

y = n – горизонтальная асимптота графика.

Вертикальная асимптота х = 0 (ось Оу), следовательно, m = 0.

Горизонтальная асимптота у = 1 (штрих-пунктирная прямая),

следовательно, n = 1. Тогда наша функция принимает вид:

Для нахождения коэффициента k в полученное равенство подставим координаты точки А(-3; -1).

Это уравнение функции, график которой изображён на рисунке.

Отвечаем на вопрос задачи.

Задача 7. На рисунке 7 изображён график функции f(x) = (kx+a)/(x+b).

Найдите значения k и а.

Будем искать функцию в виде:

где x = m – вертикальная асимптота графика,

y = n – горизонтальная асимптота графика.

Вертикальная асимптота х = 2 (вертикальная штрих-пунктирная прямая),

следовательно, m = 2.

Горизонтальная асимптота у = -3 (горизонтальная штрих-пунктирная прямая),

следовательно, n = -3. Тогда наша функция принимает вид:

Подставим в это уравнение вместо х и у координаты точки А(1; 2).

Осторожно! Это не искомое k.

Ответ: k = -3; a = 1.

Как составить уравнение прямой по её графику?

Задача 8. Записать уравнения прямых AB, CD, EF и PK, изображённых на рисунке.

Пусть прямые AB и EF пересекаются в точке М(х₀; у₀). Найти абсциссу точки пересечения.

Рассмотрим различные способы составления уравнения прямой по её изображению.

1) Прямая АВ является графиком линейной функции y = kx + b.

Значение b – это ордината точки В(0; 7) — пересечения прямой АВ с осью Оу.

Тогда уравнение прямой АВ : у = 0,4х + 7.

2) Прямая CD пересекла ось Ох в точке С(-2; 0), а ось Оу — в точке D(0; 3). Так как прямая CD отсекает отрезки от координатных осей, то можно использовать уравнение прямой в отрезках:

у = 1,5х+3. Это уравнение прямой CD.

3) Прямая EF проходит через точки E(x₁; y₁) и F(x₂; y₂). Уравнение прямой будем искать в виде y = kx + b. Значение k найдём по формуле:

Теперь уравнение прямой EF имеет вид у = -0,6х + b.

Для нахождения значения b подставим координаты точки Е(4; 7) в последнее равенство:

7 = -0,6 ∙ 4 + b, отсюда b = 7 + 2,4 = 9,4.

Окончательно, EF : у = -0,6х + 9,4.

4) Уравнение прямой РК запишем в виде ax + by = c, используя уравнение прямой, проходящей через точки (х₁; у₁) и (х₂; у₂):

У нас Р(3; 2) и К(9; 1), т.е. х₁ = 3, у₁ = 2; х₂ = 9, у₂ = 1. Подставляем эти значения в последнее равенство.

х + 6у = 15 – уравнение прямой РК.

5) По условию прямые AB и EF пересекаются в точке М(х₀; у₀). Требуется найти абсциссу точки пересечения, т.е. нужно найти значение х₀.

Уравнение прямой АВ : у = 0,4х + 7.

Уравнение прямой EF : у = -0,6х + 9,4.

Решаем совместно эти уравнения. Левые части этих уравнений равны, следовательно, равны и правые части:

0,4х + 7 = -0,6х + 9,4;

х = 2,4. Это искомая абсцисса х₀ точки М, в которой пересекаются прямые AB и EF .

Решение №1468 На рисунке изображён график линейной функции.

На рисунке изображён график линейной функции. Напишите формулу, которая задаёт эту линейную функцию.

Источник задания: fioco.ru

Линейная функция имеет вид y = kx + l

k – коэффициент, который влияет на угол наклона прямой. Видим, что на каждую 1 клетку вправо по х , прямая возрастает по у на 2 клетки .

k = 2/1 = 2

l – сдвиг прямой по оси у, относительно начала координат, по графику видим, что прямая равна сдвинута на 1 единицу вниз .

Формула данной прямой:

Ответ: y = 2x – 1.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 2

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.