Напишите уравнение гармонических колебаний если их период

Напишите уравнение гармонических колебаний если их период

смещение положения равновесия точки

Написать уравнение синусоидального гармонического колебания, если амплитуда скорости 63 см/с, период колебаний 1 с, смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени равно нулю. Найти амплитуду ускорения, частоту колебаний.

Написать уравнение гармонического колебания, совершаемого по закону косинуса, если амплитуда ускорения 50 см/с 2 , частота колебаний 50 Гц, смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 25 мм. Найти амплитуду скорости.

Написать уравнение гармонического колебания, совершаемого по закону косинуса, если амплитуда ускорения 50 м/с 2 , частота колебаний 50 Гц, смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 0,25 мм. Найти амплитуду скорости.

Написать уравнение гармонических колебаний с амплитудой 50мм, периодом 4с и начальной фазой П/4. Найти смещение точки от положения равновесия при t = 0 и t = 1,5 с.

Уравнение незатухающих колебаний дано в виде: У = 4 ·10 –2 cos6πt, м. Найти смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 75 см от источника колебаний через 0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний 340 м/с.

Напишите уравнение гармонического колебания, если амплитуда скорости v_m = 63 см/с, период колебаний Т = 1 с, смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени равно нулю. Найдите амплитуду ускорения и частоту колебаний. Постройте график зависимости смещения от времени.

На каком ближайшем расстоянии от источника колебаний с периодом 45 мс через время, равное половине периода после включения источника смещение точки от положения равновесия равно половине амплитуды? Скорость распространения колебаний равна 158 м/с. Считать, что в момент включения источника все точки находятся в положении равновесия.

Уравнение незатухающих колебаний х = 4sin(600πt) см. Найти смещение x от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии l = 75 см от источника колебаний, для момента времени t = 0,01с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний v = 300 м/с.

Плоская монохроматическая волна распространяется вдоль оси Y. Амплитуда волны А = 0,05 м. Считая, что в начальный момент времени смещение точки Р, находящейся в источнике, максимально, определить смещение от положения равновесия точки М, находящейся на расстоянии у = λ/2 от источника колебаний в момент времени t = T/6.

Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4 см от источника колебаний, в момент времени Т/6 равно половине амплитуды. Найти длину бегущей волны.

Начальная фаза гармонического колебания ψ = 0. При смещении точки от положения равновесия х₁ = 2,4 см скорость точки v₁ = 3 см/с, а при смещении х₂ = 2,8 см ее скорость v₂ = 2 см/с. Найти амплитуду А и период Т этого колебания.

На каком расстоянии от источника колебаний, совершаемых по закону синуса, в момент времени t = T/2 смещение точки от положения равновесия равно половине амплитуды? Скорость распространения колебаний 340 м/с. Период колебаний 10 –3 с.

Источник плоских волн совершает колебания по закону x = A cos ωt. Через четверть периода после начала колебаний смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4 см от источника, равно половине амплитуды. Найти длину бегущей волны.

Источник плоских волн совершает колебания по закону x = A cos ωt. Какова амплитуда колебаний, если смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника на расстоянии λ/12 для момента времени T/4, равно 0,025 м?

Определить начальную фазу колебаний, которые происходят по закону косинуса, если максимальная скорость равна 16 см/с, период колебаний 1,4 с, а смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени составляет 2,84 см.

Начальная фаза гармонического колебания φ = 90°. При смещении точки от положения равновесия x₁ = 2,4 см скорость точки v₁ = 3 см/с, а при смещении х₂ = 2,8 см ее скорость v₂ = 2 см/с. Найти амплитуду А и период Т этого колебания.

Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии х = 4 см от источника колебаний, в момент t = Т/6, ξ = А/2 (А-амплитуда колебаний). Найти длину бегущей волны.

Гармоническое колебательное движение и волны

12.1. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой A = 5см, если за время t = 1мин совершается 150 колебаний и начальная фаза колебаний φ = P/4. Начертить график этого движения.

12.2. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой A = 0,1M, периодом T = 4с и начальной фазой φ = 0.

12.3. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой A = 50мм, периодом T = 4с и начальной фазой φ = P/4 . Найти смещение х колеблющейся точки от положения равновесия при t = 0 и t= 1,5 с. Начертить график этого движения.

12.4. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой А = 5 см и периодом Т = 8 с, если начальная фаза φколебаний равна: а) 0; б) P/2; в ) P г ) 3P/2 д) 2P. Начертить график этого движения во всех случаях.

12.5. Начертить на одном графике два гармонических колебания с одинаковыми амплитудами A₁ = А₂ = 2 см и одинаковыми периодами T₁ = Т₂ = 8 с, но имеющие разность фаз φ₂—φ₁,

равную: а) P/4; о) P/2; в) P; г) 2P.

12.6. Через какое время от начала движения точка, совершающая гармоническое колебание, сместится от положения равновесия на половину амплитуды? Период колебаний Т = 24 с, начальная фаза φ = 0.

12.7. Начальная фаза гармонического колебания φ= 0. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости?

12.8. Через какое время от начала движения точка, совершающая колебательное движение по уравнению х = 7 sinP/2*t, проходит путь от положения равновесия до максимального смещения?

12.9. Амплитуда гармонического колебания /4 = 5 см, период Г = 4с. Найти максимальную скорость v_mat колеблющейся _Точ кн и ее максимальное ускорение a_тах.

12.10. Уравнение движения точки дано в виде х = 2si>i^( + СМ ‘ ^ аити пе Р П0 ‘ а колебаний Г, максимальную скорость \>_тах и максимальное ускорение a_та точки.

t2.ll. Уравнение движения точки дано в виде x = sin—t. > 6

ahftm моменты времени /, в которые достигаются максималь-

^шГскорость и максимальное ускорение.

12.12. Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний Т = 2 с, амплитуда А = 50 мм, начальная фаза ; виот положения равновесия х = 25 мм.

12.13. Написать уравнение гармонического колебательного ^юкения, если максимальное ускорение точки a_тах =49,3 см/с 2 ,

период колебаний T = 2с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени х₀ = 25 мм.

12.14. Начальная фаза гармонического колебания φ= 0 . При смещении точки от положения равновесия х₁ = 2,4 см скорость точки v₁ = 3 см/с, а при смещении x₂ = 2,8 см ее скорость v₂ = 2 см/с. Найти амплитуду А и период Т этого колебания.

12.15. Уравнение колебания материальной точки массой

m=16г имеет вид х = 0,1 sin(P/8*t+P/4)- Построить график

зависимости от времени t ( в пределах одного периода) силы F, действующей на точку. Найти максимальную силу F_max.

12.16. Уравнение колебаний материальной точки массой

m=10г имеет вид x=5sin(P/5*t+P/4) см. Найти максимальную силу F_mix, действующую на точку, и полную энергию Wколеблющейся точки.

12.17. Уравнение колебания материальной точки массой

m=16г имеет вид х = 2sin(P/4*t+P/4) см. Построить график зависимости от времени t ( в пределах одного периода) кинетической W_K, потенциальной W„ и полной W энергии ТОЧКИ.

12.18. Найти отношение кинетической W_K энергии точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии W_n для моментов времени: a) t = T/12; б) t=T/8 в) t= T/6 . Начальная фаза колебаний φ= 0.

12.19. Найти отношение кинетической энергии W_K точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии W_a для моментов, когда смещение точки от положения равновесия составляет: а) х = A/4; б) х = A/2 ; в) х = А , где А — амплитуда колебаний.

12.20. Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, W=30 мкДж; максимальная сила, действующая на тело, F_mm. = 1,5 мН. Написать уравнение движения этого тела, если период колебаний Т = 2с и начальная фаза φ=P/3

Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми

Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами — загрузи их здесь!

Гармонические колебания

теория по физике 🧲 колебания и волны

Гармоническими законами называют законы синуса и косинуса. Следовательно, гармоническими колебаниями называют те колебания, при которых координата тела изменяется синусоидально или косинусоидально.

Гармонические колебания — колебания, при которых координата тела изменяется с течением времени по гармоническому закону.

Ниже представлен график косинусоидальной функции. Обратите внимание, что косинус при возрастании аргумента от нуля сначала меняется медленно, а потом он все быстрее и быстрее приближается к нулю. Пройдя через него, его модуль снова быстро возрастает. Но по мере приближения к максимальному значению он снова замедляется. Точно так же меняются координаты свободно колеблющегося тела.

Важно! Гармоническими можно считать только те колебания, что совершаются грузом, закрепленном на пружине, или математическим маятником, отклоняемым на малый угол, при котором ускорение тела пропорционально его смещению.

Уравнение движения гармонических колебаний

Известно, что ускорение колеблющегося на пружине груза пропорционально его смещению от положения равновесия:

Также известно, что ускорение есть вторая производная координаты. Следовательно, при свободных колебаниях координата изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку.

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

x″ = − x m a x cos . t = − x

Видно, что в этом случае теряется величина k m . . , служащая постоянной для каждой колебательной системы. Чтобы получить ее во второй производной, нужно усложнить функцию до следующего вида:

x = x m a x cos . √ k m . . t

Тогда первая производная примет

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

x′ = − √ k m . . x m a x sin . √ k m . . t

Вторая производная примет вид:

x″ = − k m . . x m a x cos . √ k m . . t = − k m . . x

Так как мы получили ровно такое же выражение, то описать свободные колебания можно уравнениями следующего вида:

x = x m a x sin . √ k m . . t

x = x m a x cos . √ k m . . t

Обозначим постоянную величину √ k m . . , зависящую от свойств системы, за ω₀:

x = x m a x sin . ω 0 t

x = x m a x cos . ω 0 t

Само уравнение движения, описывающего свободные колебания, примет вид:

Период и частота гармонических колебаний

Минимальный промежуток времени T, через который движение тела полностью повторяется, называют периодом колебания. Зная его, можно вычислить частоту колебаний, равную числу колебаний в единицу времени. Эти величины связаны между собой выражением:

Через промежуток времени, равный периоду T и соответствующий изменению аргумента косинуса на ω 0 T , движение тела повторяется, и косинус принимает прежнее значение. Но из математики известно, что наименьший период косинуса равен 2π. Следовательно:

ω 0 = 2 π T . . = 2 π ν

Таким образом, величина ω 0 представляет собой число колебаний тела, но не за 1 секунду, а за 2 π секунд. Эта величина называется циклической (круговой) частотой. А частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы.

Зависимость частоты и периода свободных колебаний от свойств системы

Изначально за величину ω 0 мы принимали постоянную, характеризующую свойства системы:

Теперь мы выяснили, что циклическая частота связана с периодом и частотой колебаний. Следовательно, период и частота колебаний также зависят от свойств системы:

ω 0 = √ k m . . = 2 π T . . = 2 π ν

Отсюда период и частота колебаний соответственно равны:

T = 2 π ω 0 . . = 2 π √ m k . .

ν = 1 2 π . . √ k m . .

Вспомним, что свойства колебательной системы математического маятника определяются постоянной величиной g l . . . Следовательно, циклическая частота для него равна:

Отсюда период и частота колебаний математического маятника соответственно равны:

T = 2 π ω 0 . . = 2 π √ l g . .

ν = 1 2 π . . √ g l . .

Эта формула была впервые получена и проверена на опыте голландским ученым Г. Гюйгенсом, современником И. Ньютона.

Период колебания возрастает с увеличением длины маятника. От массы маятника он не зависит. Это легко проверить на опыте с различными маятниками. Зависимость периода от ускорения свободного падения также легко прослеживается. Чем меньше величина g, тем больше период колебания маятника, и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут в сутки почти на 3 с, если их поднять из подвала на верхний этаж Московского университета, который находится на высоте 200 м. И это только за счет уменьшения ускорения свободного падения с высотой.

Зависимость периода колебаний маятника от значения g используется на практике. Измеряя период колебания, можно легко измерить g. Ускорение свободного падения меняется с географической широтой. Но и на данной широте оно неодинаково, так как плотность земной коры неоднородна. В районах, где залегают более плотные породы, ускорение свободного падения принимает большие значения.

Пример №1. Сколько колебаний совершает математический маятник длиной 4,9 м за время 5 минут?

Искомое число колебаний равно отношению времени к периоду колебаний:

Период колебаний для математического маятника определяется формулой:

N = t 2 π . . √ g l . . = 300 2 · 3 , 14 . . √ 9 , 8 4 , 9 . . ≈ 68

Фаза колебаний

При заданной амплитуде гармонических колебаний координата колеблющегося тела в любой момент времени однозначно определяется аргументом косинуса или синуса, который равен ω 0 t . Обозначим его за ϕ и получим:

Величину ϕ, стоящую под знаком косинуса или синуса, называют фазой колебаний, описываемой этой функцией. Выражается фаза в угловых единицах — радианах (рад).

Фаза определяет значение не только координаты, но и других физических величин (к примеру, скорости и ускорения, которые также изменяются по гармоническому закону). Отсюда можно сделать вывод, что фаза определяет при заданной амплитуде состояния колебательной системы в любой момент времени.

Колебания с одинаковыми частотами и амплитудами могут отличаться друг от друга фазами. Так как ω 0 = 2 π T . . , фаза определяется формулой:

ϕ = ω 0 t = 2 π t T . .

t T . . — отношение, которое указывает, какая часть периода прошла от момента начала колебаний. Любому моменту времени, выраженному в долях периода, соответствует значение фазы, выраженное в радианах. К примеру:

Можно изобразить на графике зависимость координаты колеблющейся точки не от времени, а от фазы. В этом случае графиком также будет являться косинусоида (или синусоида), но аргументом функции будет не время (период), а фаза, выражающаяся в радианах (см. рис.).

Синус от косинуса отличается только смещением аргумента на π 2 . . (см. рис. ниже). Поэтому для описания гармонических колебаний можно использовать как синусоидальный, так и косинусоидальный закон.

Выбор закона зависит от условий задачи. Если колебания начинаются с того, что тело выводят из положения равновесия и отпускают, удобнее пользоваться косинусоидальным законом, поскольку в начальный момент времени косинусоида показывает, что это тело отклонено максимально, а не находится в положении равновесия. Если для того чтобы начались колебания, совершают толчок, удобнее использовать синусоидальный закон, так как начальному моменту времени на синусоиде соответствует положение равновесия.

Колебания, совершаемые по закону синуса и косинуса, отличаются только фазой, которая смещена на значение, равное π 2 . . . Это значение называют сдвигом фаз, или их разностью. Поэтому косинусоидальная функция также может быть записана как:

x = x m a x cos . ω 0 t = x m a x sin . ( ω 0 t + π 2 . . )

Превращение энергии при гармонических колебаниях

Чтобы описать превращения энергии при гармонических колебаниях, условимся, что силой трения будем пренебрегать. Для описания обратимся к рисунку ниже.

Точке О на рисунке соответствует положение равновесия шарика. Если его оттянуть на расстояние x_max, равное амплитуде, пружина получит потенциальную энергию, которая примет в этом положении максимальное значение, равное:

W p m a x = k x 2 m a x 2 . .

Когда шарик отпускают, возникает сила упругости, под действием которой шарик устремляется влево. По мере уменьшения расстояния между точкой максимального отклонения и положением равновесия уменьшается и потенциальная энергия. Но в это время увеличивается кинетическая энергия шарика. Когда шарик проходит через положение равновесия в первый раз, его потенциальная энергия становится равной нулю, а кинетическая энергия обретает максимальное значение (скорость в этот момент времени тоже максимальна):

W k m a x = m v 2 m a x 2 . .

После прохождения точки О расстояние между шариком и положением равновесия снова увеличивается, и потенциальная энергия растет. Кинетическая же энергия при этом уменьшается. А в крайнем положении слева она становится равной нулю, в то время как потенциальная энергия снова примет максимальное значение.

Так как мы условились пренебрегать трением, данную колебательную систему можно считать изолированной. Тогда в ней должен соблюдаться закон сохранения энергии. Согласно ему, полная механическая энергия системы равна:

W = W p + W k = k x 2 x 2 . . + m v 2 x 2 . . = k x 2 m a x 2 . . = m v 2 m a x 2 . .

В действительности свободные колебания всегда затухают, так как в колебательной системе действует сила трения. И часть механической энергии рассеивается в виде тепла. Пример графика затухающих колебаний выглядит следующим образом:

Пример №2. Груз, прикрепленный к пружине, колеблется на горизонтальном гладком стержне. Найдите отношение кинетической энергии груза к его потенциальной энергии системы в момент, когда груз находится в точке, расположенной посередине между крайним положением и положением равновесия.

Так как груз находится посередине между крайним положением и положением равновесия, его координата равна половине амплитуды:

В это время потенциальная энергия груза будет равна:

W p = k x 2 2 . . = k ( x m a x 2 . . ) 2 2 . . = k x 2 m a x 8 . .

Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия в это время равна:

Полная механическая энергия системы равна максимальной потенциальной энергии:

W = W p m a x = k x 2 m a x 2 . .

Тогда кинетическая энергия равна:

W k = k x 2 m a x 2 . . − k x 2 m a x 8 . .

Следовательно, отношение кинетической энергии к потенциальной будет выглядеть так:

W k W p . . = k x 2 m a x 2 . . − k x 2 m a x 8 . . k x 2 m a x 8 . . . . = k x 2 m a x 2 . . 8 k x 2 m a x . . − 1 = 4 − 1 = 3

Резонанс

Самый простой способ возбуждения незатухающих колебаний состоит в том, что на систему воздействуют внешней периодической силой. Такие колебания называют вынужденными.

Работы силы над такой системой обеспечивает приток энергии к системе извне. Приток энергии не дает колебаниям затухнуть, несмотря на действие сил трения.

Особый интерес вызывают вынужденные колебаний в системе, способной совершать свободные колебания. Примером такой системы служат качели. Их не получится отклонить на большой угол всего лишь одним толчком. Если их толкать то в одну, то в другую сторону, тоже ничего не получится. Но если подталкивать качели всякий раз, как они сравниваются с нами, можно раскачать их очень сильно. При этом не нужно прикладывать большую силу, но на это понадобится время. Причем после каждого такого толчка амплитуда колебаний качелей будет увеличиваться до тех пор, пока не достигнет своего максимального значения. Такое явление называется резонансом.

Резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему, с частотой свободных колебаний.

Графически явление резонанса можно изобразить как резкий скачок графика вверх (см. рис. выше). Причем высота «зубца», или амплитуда колебаний, будет зависеть от величины сил трения. Чем больше сила трения, тем меньше при резонансе возрастает амплитуда вынужденных колебаний. Это можно продемонстрировать графиками на рисунке ниже. Графику 1 соответствует минимальное трение, графику 3 — максимальное.

На явлении резонанса основан принцип работы частотомера — устройства, предназначенного для измерения частоты переменного тока. Он состоит из набора упругих пластин, которые закреплены на одной планке. Каждая пластина обладает определенной собственной частотой колебаний, которая зависит от упругих свойств, длины и массы. Собственные колебания пластин известны. Под действием электромагнита планка, а вместе с ней и пластины совершают вынужденные колебания. Но лишь та пластина, собственная частота которой совпадает с частотой колебаний планки, будет иметь большую амплитуду колебаний. Таким образом, определяется частота переменного тока.

Пример №3. Автомобиль движется по неровной дороге, на которой расстояние между буграми равно приблизительно 8 м. Период свободных колебаний автомобиля на рессорах 1,5 с. При какой скорости автомобиля его колебания в вертикальной плоскости станут особенно заметными?

Колебания автомобиля в вертикальной плоскости будут заметны тогда, когда частота наезда на бугры сравняется с частотой свободных колебаний автомобиля на рессорах. Поскольку частота обратно пропорциональна периоду, можно сказать, что резонанс будет достигнут тогда, когда автомобиль будет наезжать на бугры каждые 1,5 секунды. Зная расстояние между буграми и время, можем вычислить скорость:

v = s t . . = 8 1 , 5 . . ≈ 5 , 33 ( м с . . ) ≈ 19 , 2 ( к м ч . . )

Смещение груза пружинного маятника меняется с течением времени по закону x = A cos . 2 π T . . t , где период Т = 1 с. Через какое минимальное время, начиная с момента t = 0, потенциальная энергия маятника вернется к своему исходному значению?