Задача 57675 Напишите уравнение касательной к графику.
Условие
Напишите уравнение касательной к графику функции y=x^2+2x-1 параллельной прямой y=2x+1
Решение
Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты
y=2x+1 — уравнение прямой с угловым коэффициентом k=2
Геометрический смысл производной функции в точке:
Задача сводится к нахождению точек x_(o), в которых производная равна 2
Осталось решить стандартную задачу.
Написать уравнение касательной к кривой y=x^2+2x-1 в точке x_(o)=0
f`(x_(o)) уже есть . f `(x_(o))=k_(касательной)=[b]2[/b]
Осталось вычислить
f(x_(o))=0^2+2*0-1=-1
и подставить в общее уравнение касательной к кривой в точке x_(o):
дана функция f(x)=x^3-3x^2-3x+5. Напишите уравнение касательной к графику y=F(x), параллельной прямой y=-3x+4
дана функция f(x)=x^3-3x^2-3x+5. Напишите уравнение касательной к графику y=F(x), параллельной прямой y=-3x+4
чтобы найти касательную, сначала находим производную: f'(x) = 3x^2-6x-3
условие параллельности заключается в том, что f(x) = k (в данном случае k=-3, это коэффициент перед х в уравнении прямой)
3x^2-6x-3 = -3 решаем
x(3x-6)=0
x1=0, x2=2
x1=0
f(x1)=5
f'(x1)=-3
искомое уравнение выглядит как f(x)=f(корень уравнения) (х — корень уравнения) + f'(корень уравнения) , то бишь f(x)=5-3x
а вообще гугл в помощь, на будущее) очень легко решается, занимает около 5-7 минут) максимум)
читай источник
тему: Nigma математика
Уравнение касательной к графику функции
п.1. Уравнение касательной
Рассмотрим кривую \(y=f(x)\).
Выберем на ней точку A с координатами \((x_0,y_0)\), проведем касательную AB в этой точке.
Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке \(x_0\): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: \((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)\).
Для \(A(x_0,y_0),\ B(x,y)\) получаем: \begin
Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде \(y=kx+b\), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=\underbrace
п.2. Алгоритм построения касательной
На входе: уравнение кривой \(y=f(x)\), абсцисса точки касания \(x_0\).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания \(f(x_0)\)
Шаг 2. Найти общее уравнение производной \(f’ (x)\)
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания \(f'(x_0 )\)
Шаг 4. Записать уравнение касательной \(y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)\), привести его к виду \(y=kx+b\)
На выходе: уравнение касательной в виде \(y=kx+b\)
Пусть \(f(x)=x^2+3\). Найдем касательную к этой параболе в точке \(x_0=1\). |
\(f(x_0)=1^2+3=4 \)
\(f'(x)=2x \)
\(f'(x_0)=2\cdot 1=2\)
Уравнение касательной: $$ y=2(x-1)+4=2x-2+4=2x+2 $$ Ответ: \(y=2x+2\)
п.3. Вертикальная касательная
Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода \(x_0\notin D\), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку \(x_0\in D\), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку \((x_0,y_0)\).
Вертикальные касательные характерны для радикалов вида \(y=\sqrt[n]
Пусть \(f(x)=\sqrt[5] Найдем касательную к этой кривой в точке \(x_0=1\). |
\(f(x_0)=\sqrt[5]<1-1>+1=1\)
\(f'(x)=\frac15(x-1)^<\frac15-1>+0=\frac15(x-1)^<-\frac45>=\frac<1><5(x-1)^<\frac45>> \)
\(f'(x_0)=\frac<1><5(1-1)^<\frac45>>=\frac10=+\infty\)
В точке \(x_0\) проходит вертикальная касательная.
Её уравнение: \(x=1\)
Ответ: \(y=2x+2\)
п.4. Примеры
Пример 1. Для функции \(f(x)=2x^2+4x\)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.
Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0\Rightarrow 2x(x+2)=0\Rightarrow \left[ \begin Касательная в точке \(x_0=0\): \begin |
б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.
Общее уравнение касательной: \(f'(x)=4x+4\) По условию \(f'(x_0)=tg\alpha=tg45^\circ=1\) Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1\Rightarrow 4x_0=-3\Rightarrow x_0=-\frac34 $$ Точка касания \(x_0=-\frac34\) \begin |
в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой \(2x+y-6=0\). Напишите уравнение этой касательной.
Найдем угловой коэффициент заданной прямой: \(y=-2x+6\Rightarrow k=-2\). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже \(k=-2\). Получаем уравнение: \begin |
г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.
У горизонтальной прямой \(k=0\). Получаем уравнение: \(f'(x_0)=0\). \begin |
Ответ: а) \(y=4x\) и \(y=-4x-8\); б) \(y=x-\frac98\); в) \(2x+y+\frac92=0\); г) \(y=-2\)
Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции \(f(x)=\frac
Угловой коэффициент данной прямой \(k_1=11\).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой \(k_2=-\frac<1>
Уравнение касательной при \(x_0=-14\) \begin
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение \(y=-\frac
и точка касания (8;-2), уравнение \(-\frac
Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам \(y=x^2-5x+6\) и \(y=x^2+x+1\). Укажите точки касания.
Найдем производные функций: \begin
Запишем уравнения касательных \(g_1(x)\) и \(g_2(x)\) через эти переменные. \begin
Точки касания: \begin
Ответ: касательная \(y=-\frac x3+\frac59\); точки касания \(\left(\frac73;-\frac29\right)\) и \(\left(-\frac23;\frac79\right)\)
Пример 5*. Докажите, что кривая \(y=x^4+3x^2+2x\) не пересекается с прямой \(y=2x-1\), и найдите расстояние между их ближайшими точками.
Решим уравнение: \(x^4+3x^2+2x=2x-1\) \begin
Значит, \(x\in\varnothing\) — решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.
Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом \(k=2\), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой \(y=2x-1\).
Строим уравнение касательной. По условию: \(f'(x)=4x^3+6x+2=2\) \begin
Уравнение касательной: \(y=2(x-0)+0=2x\)
Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: \(y=2x\) и \(y=2x-1\). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую \(y=2x-1\) имеет угловой коэффициент \(k=-\frac12\), его уравнение: \(y=-\frac12 x+b\). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и \(b=0\). |
Уравнение перпендикуляра: \(y=-\frac x2\).
Находим точку пересечения прямой \(y=2x-1\) и перпендикуляра \(y=-\frac x2\): \begin
Находим расстояние \(OA=\sqrt<0,4^2+(-0,2)^2>=0,2\sqrt<2^2+1^2>=\frac<\sqrt<5>><5>\)
Ответ: \(\frac<\sqrt<5>><5>\)
http://sprashivalka.com/tqa/q/7432152
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/uravnenie-kasatelnoj-k-grafiku-funkcii/