Напишите уравнение касательной проходящей через точку

Уравнение касательной к графику функции

п.1. Уравнение касательной

Рассмотрим кривую \(y=f(x)\).
Выберем на ней точку A с координатами \((x_0,y_0)\), проведем касательную AB в этой точке.

Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке \(x_0\): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: \((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)\).
Для \(A(x_0,y_0),\ B(x,y)\) получаем: \begin (y-y_0)=k(x-x_0)\\ y=k(x-x_0)+y_0\\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \end

Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде \(y=kx+b\), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=\underbrace_<=k>x+\underbrace_ <=b>$$

п.2. Алгоритм построения касательной

На входе: уравнение кривой \(y=f(x)\), абсцисса точки касания \(x_0\).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания \(f(x_0)\)
Шаг 2. Найти общее уравнение производной \(f’ (x)\)
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания \(f'(x_0 )\)
Шаг 4. Записать уравнение касательной \(y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)\), привести его к виду \(y=kx+b\)
На выходе: уравнение касательной в виде \(y=kx+b\)

Пусть \(f(x)=x^2+3\). Найдем касательную к этой параболе в точке \(x_0=1\).

\(f(x_0)=1^2+3=4 \)
\(f'(x)=2x \)
\(f'(x_0)=2\cdot 1=2\)
Уравнение касательной: $$ y=2(x-1)+4=2x-2+4=2x+2 $$ Ответ: \(y=2x+2\)

п.3. Вертикальная касательная

Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода \(x_0\notin D\), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку \(x_0\in D\), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку \((x_0,y_0)\).

Вертикальные касательные характерны для радикалов вида \(y=\sqrt[n]\).

Пусть \(f(x)=\sqrt[5]+1\). Найдем касательную к этой кривой в точке \(x_0=1\).

\(f(x_0)=\sqrt[5]<1-1>+1=1\)
\(f'(x)=\frac15(x-1)^<\frac15-1>+0=\frac15(x-1)^<-\frac45>=\frac<1><5(x-1)^<\frac45>> \)
\(f'(x_0)=\frac<1><5(1-1)^<\frac45>>=\frac10=+\infty\)
В точке \(x_0\) проходит вертикальная касательная.
Её уравнение: \(x=1\)
Ответ: \(y=2x+2\)

п.4. Примеры

Пример 1. Для функции \(f(x)=2x^2+4x\)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.

Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0\Rightarrow 2x(x+2)=0\Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x=-2 \end \right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0). Касательная в точке \(x_0=0\): \begin f(x_0)=0,\ \ f'(x)=4x+4\\ f'(x_0)=4\cdot 0+4=4\\ y=4(x-0)+0=4x \end Касательная в точке \(x_0=-2\): \begin f(x_0)=0,\ \ f'(x)=4x+4\\ f'(x_0)=4\cdot (-2)+4=-4\\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 \end

б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.

Общее уравнение касательной: \(f'(x)=4x+4\) По условию \(f'(x_0)=tg\alpha=tg45^\circ=1\) Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1\Rightarrow 4x_0=-3\Rightarrow x_0=-\frac34 $$ Точка касания \(x_0=-\frac34\) \begin f(x_0)=2\cdot\left(-\frac34\right)^2+4\cdot\left(-\frac34\right)=\frac98-3=-\frac<15> <8>\end Уравнение касательной: \begin y=1\cdot\left(x+\frac34\right)-\frac<15><8>=x-\frac98 \end

в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой \(2x+y-6=0\). Напишите уравнение этой касательной.

Найдем угловой коэффициент заданной прямой: \(y=-2x+6\Rightarrow k=-2\). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже \(k=-2\). Получаем уравнение: \begin f'(x_0)=-2\\ 4x_0+4=-2\Rightarrow 4x_0=-6\Rightarrow x_0=-\frac32 \end Точка касания \(x_0=-\frac32\) \begin f(x_0)=2\cdot\left(-\frac32\right)^2+4\cdot\left(-\frac32\right)=\\ =\frac92-6=-\frac32 \end Уравнение касательной: \begin y=-2\cdot\left(x+\frac32\right)-\frac32=-2x-\frac92 \end Или, в каноническом виде: \begin 2x+y+\frac92=0 \end

г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.

У горизонтальной прямой \(k=0\). Получаем уравнение: \(f'(x_0)=0\). \begin 4x_0+4=0\Rightarrow 4x_0=-4\Rightarrow x_0=-1 \end Точка касания \(x_0=-1\) \begin f(x_0)=2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)=-2 \end Уравнение касательной: \begin y=0\cdot(x+1)-2=-2 \end

Ответ: а) \(y=4x\) и \(y=-4x-8\); б) \(y=x-\frac98\); в) \(2x+y+\frac92=0\); г) \(y=-2\)

Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции \(f(x)=\frac-x\) перпендикулярна прямой \(y=11x+3\). Напишите уравнение этой касательной.

Угловой коэффициент данной прямой \(k_1=11\).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой \(k_2=-\frac<1>=-\frac<1><11>\) \begin f'(x)=\left(\frac\right)’-x’=\frac<2x(x+3)-(x^2+2)\cdot 1><(x+3)^2>-1=\frac<2x^2+6x-x^2-2-(x+3)^2><(x+3)^2>=\\ =\frac<(x+3)^2>=- \frac<11> <(x+3)^2>\end В точке касания: \begin f'(x_0)=k_2\Rightarrow=-\frac<11><(x+3)^2>=-\frac<1><11>\Rightarrow (x+3)^2=121\Rightarrow (x+3)^2-11^2=0\Rightarrow\\ \Rightarrow (x+14)(x+8)=0\Rightarrow \left[ \begin x=-14\\ x=8 \end \right. \end
Уравнение касательной при \(x_0=-14\) \begin f(x_0)=\frac<(-14)^2+2><-14+3>+14=\frac<198><-11>+14=-18+14=-4\\ y=-\frac<1><11>(x+14)-4=-\frac <11>\end Уравнение касательной при \(x_0=8\) \begin f(x_0)=\frac<8^2+2><8+3>-8=\frac<66><11>-8=-2\\ y=-\frac<1><11>(x-8)-2=-\frac <11>\end
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение \(y=-\frac<11>\)
и точка касания (8;-2), уравнение \(-\frac<11>\)

Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам \(y=x^2-5x+6\) и \(y=x^2+x+1\). Укажите точки касания.

Найдем производные функций: \begin f_1′(x)=2x-5,\ \ f_2′(x)=2x+1 \end Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b — для второй.
Запишем уравнения касательных \(g_1(x)\) и \(g_2(x)\) через эти переменные. \begin g_1(x)=f_1′(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\\ \\ g_2(x)=f_2′(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) \end Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: \begin \begin 2a-5=2b+1\\ 6-a^2=1-b^2 \end \Rightarrow \begin 2(a-b)=6\\ a^2-b^2=5 \end \Rightarrow \begin a-b=3\\ (a-b)(a+b)=5 \end \Rightarrow \begin a-b=3\\ a+b=\frac53 \end \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin 2a=3+\frac53\\ 2b=\frac53-3 \end \Rightarrow \begin a=\frac73\\ b=-\frac23 \end \end Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2\cdot\frac73-5=-\frac13,\ \ b=6-a^2=6-\frac<49><9>=\frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-\frac x3+\frac59 $$
Точки касания: \begin a=\frac73,\ \ f_1(a)=\left(\frac73\right)^2-5\cdot\frac73+6=\frac<49><9>-\frac<35><3>+6=\frac<49-105+54><9>=-\frac29\\ b=-\frac23,\ \ f_2(b)=\left(-\frac23\right)^2-\frac23+1=\frac49-\frac23+1\frac<4-6+9><9>=\frac79 \end
Ответ: касательная \(y=-\frac x3+\frac59\); точки касания \(\left(\frac73;-\frac29\right)\) и \(\left(-\frac23;\frac79\right)\)

Пример 5*. Докажите, что кривая \(y=x^4+3x^2+2x\) не пересекается с прямой \(y=2x-1\), и найдите расстояние между их ближайшими точками.

Решим уравнение: \(x^4+3x^2+2x=2x-1\) \begin x^4+3x^2+1=0\Rightarrow D=3^2-4=5\Rightarrow x^2=\frac<-3\pm\sqrt<5>> <2>\end Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
Значит, \(x\in\varnothing\) — решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.

Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом \(k=2\), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой \(y=2x-1\).
Строим уравнение касательной. По условию: \(f'(x)=4x^3+6x+2=2\) \begin 4x^3+6x=0\Rightarrow 2x(2x^2+3)=0\Rightarrow \left[ \begin x=0\\ 2x^2+3=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x^2=-\frac32 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=0\\ x\in\varnothing \end \right. \Rightarrow x=0 \end Точка касания \(x_0=0,\ y_0=0^4+3\cdot 0^2+2\cdot 0=0\).
Уравнение касательной: \(y=2(x-0)+0=2x\)

Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: \(y=2x\) и \(y=2x-1\). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую \(y=2x-1\) имеет угловой коэффициент \(k=-\frac12\), его уравнение: \(y=-\frac12 x+b\). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и \(b=0\).

Уравнение перпендикуляра: \(y=-\frac x2\).
Находим точку пересечения прямой \(y=2x-1\) и перпендикуляра \(y=-\frac x2\): \begin 2x-1=-\frac x2\Rightarrow 2,5x=1\Rightarrow x=0,4;\ y=-\frac<0,4><2>=-0,2 \end Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние \(OA=\sqrt<0,4^2+(-0,2)^2>=0,2\sqrt<2^2+1^2>=\frac<\sqrt<5>><5>\)
Ответ: \(\frac<\sqrt<5>><5>\)

Как составить уравнение касательной к графику функции

Задания, связанные с нахождением уравнения касательной, часто вызывают трудности у учеников старших классов. Подобные задачи встречаются и на ЕГЭ по математике. Они могут иметь различную формулировку. К примеру, школьникам предлагают определить тангенс угла наклона касательной или написать, чему будет равна производная в какой-либо конкретной точке. Для решения всех подобных заданий нужно придерживаться простой последовательности действий, которая будет подробно рассмотрена ниже.

Как составлять уравнение касательной в заданной точке

При написании уравнения будем использовать следующие обозначения:

• x0 — заданная в условии точка, принадлежащая функции, через которую проводится касательная;
• f(x) — исходная функция;
• f'(x) — производная от функции;
• k — угловой коэффициент.

Перед написанием уравнения следует проверить существование функции в заданной точке касания, является ли она непрерывной и дифференцируемой в ней. Например, гипербола f(x) = 14 / (x + 11) прерывается в x = –11, а g(x) = |8x + 9|, хоть и является непрерывной на всей числовой прямой, в x = 0 не является дифференцируемой.

Алгоритм написания уравнения

После проверки можно приступать к нахождению уравнения. Разберем несложную задачу, в которой нужно найти касательную к f(x) = 3x³ – 6x² + 2x – 1 в x0 = 1. Для этого будем следовать данному алгоритму:

1. Вычислим f(x0). Для этого просто подставим значение 1 в функцию: f(1) = 3·1³ – 6·1² + 2·1 – 1 = –2.
2. Теперь необходимо записать производную: f'(x) = 9x² – 12x + 2.
3. Подсчитаем значение производной в x0: f'(1) = 9·1² – 12·1 + 2 = –1.
4. Необходимо подставить все найденные выше значения в общую формулу: y = f(x0) + f'(x0)(x – x0). После этого получаем: y = –2 + (–1)·(x – 1) = –x – 1.

В результате приобретает вид: y = –x – 1. Изобразим графики исходной функции и касательной в x0 = 1.

Рассмотрим уравнение более подробно. Как уже было сказано ранее, в общем виде оно имеет вид y = kx + b. В задачах, встречающихся на ЕГЭ, часто нужно рассчитать угловой коэффициент, тангенс угла наклона или же определить, чему будет равна производная в точке касания. Их роль выполняет k — коэффициент, находящийся перед x. Для полученного в примере уравнения k = –1.

Рассмотрим некоторые виды заданий, для решения которых необходимо уметь выписывать касательную к функции в конкретной точке.

Задачи на написание уравнения касательной

Различают несколько типов задач на уравнение касательной в определенной точке. Самый первый и простой тип уже был разобран при написании алгоритма решения подобных заданий. В них необходимо выписать уравнение или коэффициент k. Условием определяется исходная функция и точка касания.

Ко второму типу относятся задачи, в которых известно k, но неизвестно, где происходит касание. Как правило, в их формулировках указывается, что касательная будет проходить параллельна по отношению к оси абсцисс (тогда подразумеваем k = 0), или к какой-либо линейной функции (тогда угловой коэффициент касательной совпадает с коэффициентом k линейной функции). Рассмотрим, как нужно рассуждать, решая такие задания.

Записать уравнение касательной для параболы f(x) = 2x² – 3, если известно, что она будет параллельна y = –8x + 2.

• Поскольку касательная параллельна заданной прямой, можно сделать вывод, что угол их наклона совпадает. Запишем, что k = f'(x0) = –8.
• Возьмем от функции производную: f'(x) = 4x.
• Определим точку касания. Для этого приравняем производную к числу k: 4x = –8. Решим уравнение и найдем x0 = –2.
• Вычислим, чему будет равна функция в этой точке: f(–2) = 2·(–2)² – 3 = –11.
• Теперь мы располагаем всеми необходимыми данными для записи уравнения. Подставим их в формулу для нахождения уравнения: y = –11 + (–8)(x – (–2)) = –8x – 27.

В третьем типе заданий в условии задается функция и точка, которая не принадлежит ее графику, но лежит на ее касательной.

Написать уравнение касательной к кубической функции g(x) = 2x³, если известно, что она проходит через точку Q(0;–0,5).

• Поскольку точка принадлежит касательной, подставим ее координаты в общий вид уравнения: –0,5 = g(x0) + g'(x0)(– x0).
• Запишем производную: g'(x) = 6x².
• Очевидно, что g(x0) = 2·(x0)³, a g'(x0) = 6·(x0)². Подставим в общий вид: –0,5 = 2·.(x0)³ + 6·(x0)²(– x0). Решим уравнение, и из него определим абсциссу точки касания: x0 = 0,5.
• Подсчитываем значение функции в точке: g(0,5) = 2·0,5³ = 0,25.
• Вычисляем производную в точке касания: g'(0,5) = 6·0,5² =1,5.
• В заключение записываем готовое уравнение, подставив в него рассчитанные данные: y = 0,25 + 1,5(x – 0,5) = 1,5x – 0,5.

Часто встречаются различные графические задачи, не требующие подробного решения. Пример такого задания приведен ниже.

Показан график функции, которая определена на участке [–7;7]. Необходимо выяснить, сколько точек существует на промежутке [–4;6], в которых касательная к изображенной функции будет параллельна y = –66.

Будем рассуждать так. Прямая y = –66 проходит параллельно оси абсцисс. Это значит, что ее угловой коэффициент, а также значение производной в точке, где произошло касание, и угол наклона касательной будут нулевыми. Это возможно лишь в точках экстремума. Подсчитать их количество не составит труда: 4 максимума и 3 минимума, т. е. 7 точек. Однако –5 не входит в промежуток, заданный условием. Поэтому окончательным ответом будет число 6.

Видео

Закрепить это тему вам поможет видео.

Касательная к графику функции в точке. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной

Время чтения: 30 минут

Касательная к графикам функции в точке

Угол наклона прямой линии \[y=k x+b\] — это угол \[a\], который берет свой отсчет от положительного направления оси координат ox по направлению к прямой. Угол наклона может иметь значение как со знаком плюс, так и со знаком минус.

Рисунок 1. График прямой и угол наклона относительно оси Ox.

На расположенном рис.1 показана прямая и угол наклона относительно оси.

Для каждого угла наклона характерен угловой коэффициент прямой.

Угловой коэффициент — это числовой коэффициент прямой вида \[\boldsymbol\]. В уравнение он обозначается буквой k.

Угловой коэффициент равен значению тангенса наклона заданной прямой линии: \[k=\operatorname \alpha\].

Основные значения угла наклона прямой

• Угол наклона прямой линии будет иметь нулевое значение, только в случае, когда параллельна ось Ox, и значение углового коэффициента равняется нулю. Потому что \[\operatorname 0=0\]. Следовательно уравнение прямой будет записываться следующим образом: \[y=b\].
• В случае, когда угол наклона будет острым, то должно выполняться два следующих условия: \[0 0\]. При этом будет наблюдаться возрастание графика функции на протяжении всей координатной прямой.
• При условии, что угол \[\alpha=\frac<\pi><2>\], из этого следует, что прямая будет располагаться относительно оси Ox в перпендикулярном положении. Условие задается следующим равенством \[x=c\]. Где с — это простое действительное число.
• Если угол наклона прямой, является тупым, то будет применяться следующее условие: \[\frac<\pi><2>Рисунок 2. Секущая прямая на графике функции.

На графике показана секущая, которая обозначена красным цветом и точками А и В.

Если угловой коэффициент прямой линии равен тангенсу угла наклона, то используя прямоугольный треугольник можно найти значение тангенса. Сделать это можно вычислением по правилу: тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Чтобы определить значение секущий, нужно использовать следующую формулу:

Значение секущий определяется, используя следующее неравенство:

Уравнение записывается следующим образом:

Касательная к графику функции — это прямая, которая проходит через определенную заданную точку, которая в свою очередь имеет отрезок с множеством числовых значений x.

Пример:

Прямая задана следующей функцией: \[y=x+1\]. Данная функция считается касательной к графику \[y=2 \sqrt\] с координатными точками (1;2).

Рассмотрим графики со значениями (1;2). Функция обозначается черным цветом, а касательная линия соответственно синим цветом.

Рисунок 3. Графики касательной линии.

Чтобы определить касательную к функции, нужно исследовать поведение касательной АВ. При этом должно быть бесконечное приближение точки В к точке А.

Значение производной функции в точке и ее геометрический смысл

Для заданной функции \[f(\chi)\] рассмотрим секущую АВ. Точки А и В заданы следующими значениями: \[\left(\chi_<0>, f\left(\chi_<0>\right)\right)\] и \[\left(\chi_<0>+\Delta \chi ,\left(\chi_<0>+\Delta \chi\right)\right.\].

\[\Delta \chi\] — это показатель приращения значения аргумента.

Подставив все значения в исходную функцию получим следующий вид:

\[\Delta y=\Delta f(\chi)=f\left(\chi_<0>+\Delta \chi\right)-f(\Delta \chi)\].

Для более лучшего восприятия решения, построим график.

Рисунок 4. График секущей относительно координатных осей

Из графика видно, что образуется прямоугольный треугольник ABC. Составим соотношение \[\frac<\Delta y><\Delta x>=\operatorname \alpha\], для этого необходимо применить основное определение тригонометрической функции, а именно тангенса.

Исходя из основного определения касательной, запишем следующее выражение:

Используя правило производной, имеем следующее:

• производная \[f(x)\] в точке \[x_<0>\] — является пределом отношения приращения функции к аргументу.
• \[\Delta_ <\chi>\rightarrow 0 \text < и >f\left(x_<0>\right)=\lim _ <\Delta x \rightarrow 0>\frac<\Delta y><\Delta x>\].

\[k_\] — это угловой коэффициент касательной функции.

Из данной функции можно сделать следующий вывод:

• функция \[f(x)\] может находится в точке со значением \[x_<0>\]
• функция может быть касательной к графику в некой точке касания, где угловой коэффициент равняется производной.

Понятие уравнения касательной прямой

Чтобы составить уравнение прямой, нужно знать угловой коэффициент с заданной точкой. Это точка, через которую проходит прямая. При пересечении угловой коэффициент записывается как значение \[x_<0>\].

Уравнение касательной записывается следующим образом:

График функции \[y=f(x)\].

Расположение касательной прямой непосредственно зависит от значения углового коэффициента. Если прямая параллельна оси Ox, то значение коэффициента равно нулевому значению. При параллельном расположении относительно оси Oy, коэффициент угловой принимает значение бесконечности. При это уравнение касательной записывается как: \[x=x_<0>\].Также угловой коэффициент будет возрастать при значении больше нуля, а если коэффициент меньше нуля, то функция соответственно будет убывать.

Нужно составить уравнение касательной к графику функции.

Порядок решения: Из условия задачи следует, что функция может быть определенной для всех действительных значений. Точка, которая задана с координатами (1;3) будет являться точкой касания, следовательно , \[x_<0>=-1, f\left(x_<0>\right)=-3\].

Для точки со значение равным -1, нужно определить производную. Для этого составим уравнение:

Показатель \[f^<\prime>(x)\] в точке, которая является касательной, будет равен угловому коэффициенту.

Угловой коэффициент равен наклону тангенса. Отсюда следует, что:

Подведем итоги, и запишем ответ:

По условию задачи нужно определить касательную к графику функции \[y=3 \cdot \sqrt[5]+1\]. Точки координат равны (1;1). Также нужно составить уравнение и определить значение угла наклона. Согласно условию задачи, область определения функции — это простые действительные числа. Определим значение производной.

При условии, что \[x_<0>=1\] тогда функция будет не определенной, но пределы ее можно записать как:

Это значит, что вертикальная касательная в точке существует.

Ответ: после всех проведенных вычислений уравнение приобретает вид x=1, где угол наклона будет равен \[\frac<\pi><2>\].