Напишите уравнение колебаний в контуре

Напишите уравнение колебаний в контуре

«Физика — 11 класс»

Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре

Есть колебательный контур, сопротивлением R которого можно пренебречь.

Уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре, можно получить с помощью закона сохранения энергии.
Полная электромагнитная энергия W контура в любой момент времени равна сумме его энергий магнитного и электрического полей:

Полная энергия не меняется с течением времени, если сопротивление R контура равно нулю, тогда производная полной энергии по времени равна нулю.
Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей:

Физический смысл вышеприведенного уравнения состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля.
Знак «—» указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот).

После вычисления производных в уравнении, получается

Производная заряда по времени представляет собой силу тока в данный момент времени:

Производная силы тока по времени есть не что иное, как вторая производная заряда по времени, подобно тому как производная скорости по времени (ускорение) есть вторая производная координаты по времени.
Тогда основное уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре:

Полученное уравнение ничем, кроме обозначений, не отличается от уравнения, описывающего колебания пружинного маятника.

Период свободных колебаний в контуре

Формула Томсона
В основном уравнении коэффициент представляет собой квадрат циклической частоты для свободных электрических колебаний:

Период свободных колебаний в контуре, таким образом, равен:

Эта формула называется формулой Томсона в честь английского физика У. Томсона (Кельвина), который ее впервые вывел.

Период свободных колебаний зависит от L и С.
При увеличении индуктивности L ток медленнее нарастает со временем и медленнее падает до нуля.
А чем больше емкость С, тем большее время требуется для перезарядки конденсатора.

Гармонические колебания заряда и тока.

Координата при механических колебаниях изменяется со временем по гармоническому закону:

Заряд конденсатора меняется с течением времени по такому же закону:

где
q_m — амплитуда колебаний заряда.

Сила тока также совершает гармонические колебания:

где
I_m = q_mω₀ — амплитуда колебаний силы тока.
Колебания силы тока опережают по фазе на колебания заряда.

Точно так же колебания скорости тела в случае пружинного или математического маятника опережают на колебания координаты (смещения) этого тела.

В действительности, из-за неизбежного наличия сопротивления электрической цепи, колебания будут затухающими.
Сопротивление R также будет влиять и на период колебаний, чем больше сопротивление, тем бо́льшим будет период колебаний.
При достаточно большом сопротивлении колебания совсем не возникнут.
Конденсатор разрядится, но перезарядки его не произойдет, энергия электрического и магнитного полей перейдет в тепло.

Источник: «Физика — 11 класс», учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин

Электромагнитные колебания. Физика, учебник для 11 класса — Класс!ная физика

Колебательный контур

Чаще всего в контур включают конденсатор определенной емкости, катушку индуктивности, сопротивление и источник сторонних ЭДС. На рисунке показана общая схема:

При особом соотношении элементов в контуре могут возникать колебания. Тогда такая система получает название колебательного контура.

Собственные колебания контура

Если системе в начальный момент времени сообщили определенное количество энергии, то она начинает совершать собственные колебания.

Важно, что постоянный источник ЭДС при этом отсутствует.

Если собственные колебания вызваны наличием только квазиупругой силы, то они являются гармоническими.

Возьмем для примера ситуацию, когда в колебательном контуре отсутствует источник ЭДС. В таком случае уравнение колебательного контура можно записать в следующем виде:

d 2 I d t 2 + ω 0 2 I = 0 .

Решить уравнение можно, описав свободные колебания при сопротивлении, входящем в состав контура:

I ( t ) = e — β t ( A cos ω t + B sin ω t ) .

Здесь может быть указан косинус вместо синуса. В обоих случаях это будет верно, поскольку обе функции имеют соответствующий сдвиг. Если R > 2 L C , то изменения заряда нельзя считать колебаниями. Если β = 0 , то колебания в цепи становятся свободными. Если же β > 0 и потери энергии на сопротивление незначительны, то такие колебания будут гармоническими.

Заряд конденсатора, изменения которого нельзя считать колебаниями, называется апериодическим.

Решение задач с колебательным контуром

Условие: дана схема цепи с конденсатором емкостью С , резистором, сопротивление которого равно R , и генератором тока I ( t ) , который формирует ток следующего вида:

I ( t ) = 0 при t = 0 .

Запишите функцию данного конденсатора.

Решение

Для начала запишем формулу суммарного тока в цепи, воспользовавшись первым правилом Кирхгофа.

Здесь показателем I R , I C обозначаются те токи, которые текут через конденсатор, преодолевая сопротивление, а l – это ток, вырабатываемый генератором.

Поскольку на схеме указано параллельное соединение сопротивления и конденсатора, то запишем так:

Далее нам необходимы будут следующие формулы:

I R = U R , I C = C d U d t .

Подставим это значение в нужное уравнение и получим следующее:

C d U d t + U R = I → d U d t + 1 R C ( U — R I ) = 0 .

Примем напряжение на конденсаторе равным нулю при t = 0 в качестве изначального условия. Тогда установившееся на нем позже напряжение будет равно:

Решением уравнения станет запись следующего вида:

U ( t ) = U ‘ — ( U ‘ — U ( 0 ) ) e x p — t R C = I 0 R 1 — e x p — t R C .

Ответ: U ( t ) = I 0 R 1 — e x p — t R C .

Условие: дана схема электрической цепи. Сопротивление резистора на ней равно R , емкость конденсатора – C . Также в ней есть генератор постоянного напряжения. Сформулируйте зависимость напряжения на конденсаторе от времени ( U ( t ) ) после замыкания ключа при условии, что конденсатор не заряжен изначально.

Решение

Зная второе правило Кирхгофа, мы можем записать следующее:

Здесь показатели U C , U R выражают напряжение на сопротивлении и конденсаторе.

Также нам известно, что:

U R = R I R , I C = C d U C d t .

На рисунке мы видим последовательное соединение элементов цепи, значит:

I ( t ) = I R = I C .

Выбрав направление обхода контура и учитывая все нужные формулы, получим:

U C + R C d U C d t = ε → d U C d t + 1 R C ( U C — ε ) .

Вспомним начальные условия:

Следовательно, решением данного уравнения является функция U C ( t ) = ε 1 — e — t R C .

Ответ: U C ( t ) = ε 1 — e — t R C .

Напишите уравнение колебаний в контуре

Электромагнитные колебания и волны

Для колебательного контура предыдущей задачи написать уравнение (с числовыми коэффициентами) изменения со временем t энергии электрического поля W_эл, энергии магнитного поля W_м и полной энергии поля W. Найти энергию электрического поля, энергию магнитного поля и полную энергию поля в моменты времени Т/8, Т/4 и Т/2. Построить графики этих зависимостей в пределах одного периода.

Дано:

q = 2,5 мкКл = 2,5·10 -6 Кл

Решение:

Энергия электрического поля на обкладках конденсатора

Энергия магнитного поля в катушке индуктивности

Полная энергия в контуре

Закон изменения напряжения на обкладках конденсатора

Период колебаний находим по формуле Томсона

Циклическая частота связана с периодом соотношением

Уравнение колебания напряжения запишется в виде

Аналогично можно записать уравнение изменения заряда на обкладках конденсатора

Ток в контуре – первая производная от заряда по времени