Множество точек на плоскости

Пример №1 . Составить уравнение множества точек на плоскости, равноудаленных от точек A(1;2) и B(-2;0).
Решение
Пусть точка М принадлежит искомому множеству точек, тогда МА=МВ. Так как


то

После возведения левой и правой частей в квадрат и упрощений получим:
(x-1) 2 + (y-2) 2 = (x + 2) 2 + y 2
x 2 — 2x + 1 + y 2 — 4y + 4 = x 2 + 4x + 4 + y 2
или
— 6x — 4y + 1 = 0
Ответ: — 6x — 4y + 1 = 0.

Пример №2 .
Составить уравнение множества точек на плоскости, отношение расстояний которых от точки A(1;-2) и от прямой x=1 равно 1 /₂.
Решение
Из условия следует, что для любой точки M(x;y) искомого множества справедливо соотношение MA:MB = 1 /₂. Так как:


то

или

Возведя левую и правую части в квадрат и упрощая, получим:
4(x — 1) 2 + 4(y + 2) 2 = |x — 1| 2
т.е.
4(x 2 — 2x + 1) + 4(y 2 + 4y + 4) = x 2 — 2x + 1
или
3x 2 + 4y 2 — 6x +16y +19 = 0
Ответ: 3x 2 + 4y 2 — 6x +16y +19 = 0.

Пример №3 . Составить уравнение линий, если расстояние каждой ее точки А(2,0) относится к расстоянию до прямой 5x+8=0 как 5:4 .
Решение. Выражаем x = -8/5. λ=5/4. Подставляем данные в задание №2.

Пример №4 . Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от прямой x+6=0 и от начала координат.
Примечание. Здесь x=-6 , λ=1.

Составить уравнения множества точек равноудаленных от точки и прямой

Задание

Составить уравнение множества точек плоскости, равноудалённых от точки F (7; 3) и от прямой x — 2y = 11

Решение

Расстояние от точки А(x1, y1) до прямой Ax + By + C = 0 равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Она определяется по формуле

d1 = (Ax1 + By1 + C)/(A^2 + B^2)^0.5 = (x1 — 2y1 — 11)/(5^0.5)

Расстояние d2 между точками A(x1, y1) и B(x2, y2) плоскости определяется по формуле

d2 = ((x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2)^0.5

Из условия равноудалённости следует, что d1 = d2

(x1 — 2y1 — 11)/(5^0.5) = ((x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2)^0.5

Нужно возвести обе части в квадрат и привести подобные слагаемые

Получается квадратное уравнение, то есть геометрическим местом точек равноудалённых от заданной точи и прямой является парабола.

Урок 5

оПределение уравнения линии.

Примеры на отыскание множеств точек.

оПределение уравнения линии.

рассмотрим соотношение вида: F(x,y)=0 (1)

связывающее Переменные величины х и у. равенство вида (1) будем называть уравнением с двумя Переменными х и у, если это равенство сПраведливо не для всех Пар чисел х и у.

Примеры уравнений: 2х+3у=0, х 2 +у 2 -25=0.

если равенство (1) сПраведливо для всех Пар чисел х и у, то оно называется т ождеством .

Примеры тождеств: (х+у) 2 — х 2 -2ху -у 2 =0, (х-у)(х+у) — х 2 +у 2 =0.

уравнение (1) будем называть уравнением множества точек (х;у), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки множества и не удовлетворяют координатам никакой точки, не Принадлежащей этому множеству.

важным Понятием аналитической геометрии является Понятие уравнения линии. Пусть на Плоскости заданы Прямоугольная система координат и некоторая линия l.

оПределение. уравнение (1) называется уравнением линии l (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии l , и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

из оПределения следует, что линия l Представляет собой множество всех точек Плоскости (х;у), координаты которых удовлетворяют уравнению (1).

если (1) является уравнением линии l , то будем говорить, что уравнение (1) оПределяет (или задает) линию l .

Понятие уравнения линии дает возможность сводить геометрические задачи к алгебраическим. наПример, задача нахождения точки Пересечения двух линий, оПределяемых уравнениями х+у=0 и х 2 +у 2 =1, сводится к алгебраической задаче совместного решения этих уравнений.

линия l может оПределятся не только уравнением вида (1), но и уравнением вида F(. )=0, содержащим Полярные координаты.

рассмотрим несколько Простейших Примеров оПределения линий с Помощью уравнений.

1) х — у=0 . заПисав это уравнение в виде у=х, заключаем, что множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, Представляет собой биссектрису Первого и третьего координатных углов. это и есть линия, оПределенная данным уравнением.

2) х 2 — у 2 =0. Представив уравнение в виде (х-у)(х+у)=0, заключаем, что множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, — это две Прямые, содержащие биссектрисы четырех координатных углов. (см рисунок — гиПерссылка)

3) х 2 +у 2 =0. множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, состоит из одной точки (0;0). в данном случае уравнение оПределяет, как говорят, вырожденную линию.

4) х 2 +у 2 +1=0. так как При любых х и у числа х 2 и у 2 неотрицательны, то х 2 +у 2 +1>0. значит, нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяют данному уравнению, т.е. никакого геометрического образа на Плоскости данное уравнение не оПределяет. оно оПределяет «Пустое» множество точек.

5) p=а cOSf , где а — Положительное число, Переменные p и f — Полярные координаты. обозначим через м точку с Полярными координатами (p;f), через а — точку с Полярными координатами (а;0). если p=а cOSf , где 0

6) p=аf , где а — Положительное число, p и f — Полярные координаты. обозначим через м точку с Полярными координатами (p;f). если p=0, то и f=0. таким образом, При увеличении угла f точка м(p;f), начавшая свое движение в Полюсе, движется вокруг него, одновременно удаляясь от Полюса. множество точек, Полярные координаты которых удовлетворяют уравнению p=аf, называется сПиралью архимеда. При этом ПредПолагается, чтоf? может Принимать любые неотрицательные значения.

если точка м совершает один Полный оборот вокруг Полюса, то f возрастает на 2П, а р возрастает на 2аП, т.е. сПираль рассекает любую Прямую, Проходящую через Полюс, на равные отрезки (не считая отрезка, содержащего Полюс), которые имеют длину 2аП.

в рассмотренных Примерах По заданному уравнению линии мы исследовали ее свойства и тем самым устанавливали, что Представляет собой эта линия.

рассмотрим теПерь обратную задачу для заданного (какими-то его свойствами) множества точек, т.е. для заданной линии l , требуется найти его уравнение F (х;у)=0.

Примеры на отыскание множеств точек.

рассмотрим несколько Примеров на отыскание множеств точек По уравнениям и неравенствам, связывающим их координаты.

Пример 1. вывести уравнение (в заданной Прямоугольной системе координат) множества точек, каждая из которых отстоит от точки с(а;в) на расстояние R. иными словами, требуется найти уравнение окружности радиуса R с центром в точке с(а;в).

решение. вывести уравнение множества точек — значит составить зависимость между координатами любой точки этого множества.

обозначим через м Переменную точку, Принадлежащую данному множеству точек, а через х,у — ее текущие координаты, тогда из условия следует, что lсмl=R. Подставляя в формулу расстояния между точками, Получим: возведя обе части равенства в квадрат, Получаем уравнение окружности с центром в точке с(а;в) и радиусом R: (х-а) 2 +(у-в) 2 =R 2 . оно встречается во многих геометрических задачах. Полагая в равенстве а=0, в=0, Получим уравнение окружности с центром в начале координат: х 2 +у 2 =R 2 .

Пример 2. найти уравнение множества точек, равноудаленных от точек а(1;1) и в(3;3).

решение. возьмем Произвольную точку м(х;у), Принадлежащую данному множеству точек: тогда из условия следует, что отрезки ма и мв равны. исПользуя формулу расстояния между двумя точками, находим: , таким образом,

После Преобразования Приходим к искомому уравнению множества точек, равноудаленных от точек а(1;1) и в(3;3): х+у-4=0. как известно из элементарной геометрии, таким множеством точек является Прямая, Проходящая через середину отрезка, соединяющего данные точки, и ПерПендикулярная этому отрезку.

1. даны точки о(2;-2), а(2;2), в(2;-1), с(3;-3), м(5;-5) и к(3;-2). установите, какие из них лежат на линии, заданным уравнением х+у=0, а какие не лежат на ней. (ответ: точки о, с и м лежат на линии, а точки а, в и к не лежат на ней)
2. даны точки а(1;п / 3), в(2;0), с(2;п / 4), м(v3;п / 6) и к(1;2?п3). выясните, какие из них лежат на линии, оПределяемой уравнением р=2 cOSf , и какие не лежат на ней. (ответ: точки а, в и м — лежат на данной линии, точки с и к — не лежат на ней. уравнение оПределяет окружность с диаметром ов)
3. составьте уравнение линии, По которой движется точка м(х;у), равноудаленная от точек а(0;2) и в(4;-2). (ответ: х-у-2=0)
4. составьте уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки а(0;0,25) равно расстоянию этой же точки от Прямой у=-0,25. (ответ: у=х 2 )
5. найдите уравнение множества точек, сумма расстояний каждой из которых от точек а(2;0) и в(-2;0) равна 2v5. (ответ: 0,2х 2 +у 2 =1)
6. найдите уравнение множества точек, равноудаленных от точки а(2;2) и оси ох. (ответ: у=0,25х 2 -х+2)
7. найдите уравнение множества точек, равноудаленных от оси оу и точки а(4;0). (ответ: у 2 =8х-16)
8. составьте уравнение линии, оПисываемой серединой отрезка с длиной, равной D , один из концов которого Перемещается По оси абсцисс, а другой конец — По оси ординат. (ответ: х 2 +у 2 =0,25 D 3 )

Автор: Вяликова Мария Владимировна — учитель математики и информатики высшей квалификационной категории МАОУ Пролетарская СОШ Новгородского района Новгородской области