Напишите уравнение плоскости касающейся в точке

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М₀ называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М₀.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M₀(x₀,y₀,z₀) имеет вид:

Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 0 , y₀ = 1 , тогда z₀ = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_x = 3•x 2
f’_x(x,y) = (x 3 +5•y)’_y = 5
В точке М₀(0,1) значения частных производных:
f’_x(0;1) = 0
f’_y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0

Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M₀(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М₀(1,0,1) значения частных производных:
f’_x(1;0;1) = -3 /₁₆
f’_y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀: z — 1 = -3 /₁₆(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /₁₆•x+z- 19 /₁₆ = 0

Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М₀(x₀, y₀, z₀), принадлежащей ей, если x₀ = –1, y₀ = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
f_x’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f_y’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’_y = 1/x + x.
Точка М₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z₀, подставив заданные x₀ = –1 и y₀ = 2 в уравнение поверхности:

Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х₀, y₀) и В(х₁,y₁). Требуется: 1) вычислить значение z₁ функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z₁ функции в точке В исходя из значения z₀ функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x₀,y₀,z₀).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z₀ = f’_x(x₀,y₀,z₀)(x — x₀) + f’_y(x₀,y₀,z₀)(y — y₀)
По условию задачи x₀ = 1, y₀ = 2, тогда z₀ = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_x = 2•x+3•y 3
f’_x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’_y = 9•x•y 2
В точке М₀(1,2) значения частных производных:
f’_x(1;2) = 26
f’_y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М₀:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0

Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение

Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и через данную прямую (точка не лежит на этой прямой). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L:

.

(1)

Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через точку M₀ и и через прямую L(Рис.1).

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> имеет следующий вид:

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=<m, p, l>. Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) имеет вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:

Решая совместно уравнения (4) и (5) отностительно коэффициентов A, B, C получим такие значения A, B, C, при которых уравнение (2) проходит через точку M₀ и через прямую (1). Для решения систему уравнений (4), (5), запишем их в матричном виде:

.

(6)

Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн.

Получив частное решение уравнения (6) и подставив полученные значения A, B, C в (2), получим решение задачи.

(7)

Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀)=M₀(1, 2, 5) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой (2).

Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

(10)

(11)

Решим систему линейных уравнений (10) и (11) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:

(12)

Решив однородную систему линейных уравнений (12) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:

Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (2), получим:

(13)

Упростим уравнение (13):

(14)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(1, 2, 5) и через прямую (7) имеет вид (14).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M₀(4, 3, −6) и через прямую L, заданной параметрическим уравнением:

(15)

Решение. Приведем параметрическое уравнение (15) к каноническому виду:

(16)

Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой:

Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=(0, 2, 4). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) имеет вид:

Вычитая уравнение (18) из уравнения (17), получим:

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n должен быть ортогональным направляющему вектору прямой L :

(21)

(22)

Решим систему линейных уравнений (21) и (22) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:

(23)

Решив однородную систему линейных уравнений (23) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:

Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (17), получим:

(24)

Упростим уравнение (24):

(25)

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 23.

(26)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(4, 3, −6) и через прямую (16) имеет вид (26).

Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором чтобы найти уравнение плоскости.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.

Найти уравнение плоскости

Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:

В задаче известны:

Ввод данных в калькулятор для составления уравнения плоскости

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления уравнения плоскости

• Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Уравнение плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки

В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:

Если заданы координаты трех точек A( x ₁, y ₁, z ₁), B( x ₂, y ₂, z ₂) и C( x ₃, y ₃, z ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле

Если заданы координаты точки A( x ₁, y ₁, z ₁) лежащей на плоскости и вектор нормали n = , то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.