5.6.3. Как найти ортогональную проекцию прямой на плоскость?
г) Во-первых, что это за проекция?
Проведём очередную физкульт-пятиминутку:
Пожалуйста, найдите дома швабру и поместите её между ног. Представьте, что она бесконечна. Подбородок плотно прижат к груди. Теперь строго перпендикулярно смотрим вниз на швабру. при этом получается такое умное лицо…. Все выполнили задание? Тень от швабры – это и есть её ортогональная проекция на пол.
На чертеже выше наша «швабра» проведена малиновым цветом, а её проекция, прямая – коричневым цветом. Легко заметить, что проекция задаётся пересечением плоскостей: , и на самом деле ответ уже готов:
Другое дело, что часто требуется представить уравнения прямой в канонической форме, это стандартная задача:
Точка , принадлежащая проекции, уже известна, осталось найти её направляющий вектор. Для быстроты используем формулу:
Таким образом, канонические уравнения проекции:
Как уже отмечалось, для решения этой задачи, не обязательно находить именно точку пересечения (лишняя работа). Нас устроит любая точка, принадлежащая проекции, и её легко подобрать из системы .
Есть и другой способ нахождения проекции, связанный с построением перпендикуляра к плоскости «сигма», но я тут прикинул, он вряд ли короче. Однако на всякий случай озвучу алгоритм, вдруг понадобится кому:
– находим точку пересечения прямой и плоскости: (вот в этом способе уже обязательно находим);
– берём произвольную точку , не совпадающую с точкой ) и опускаем из неё перпендикуляр на плоскость (см. следующие параграфы);
– находим основание перпендикуляра (как пересечение прямой и плоскости );
– составляем канонические уравнения проекции по двум точкам: .
Задача 31787 Найти проекцию прямой (x–2)/5 = (y–3)/1.
Условие
Найти проекцию прямой (x–2)/5 = (y–3)/1 = (z+1)/2 на плоскость x+4y–3z+7=0
Решение
Точка (2;3;-1) принадлежит данной прямой.
Составим уравнение прямой || нормальному вектору плоскости
vector
Найдем координаты точки K — точки пересечения этой прямой и плоскости Обозначим отношение подставим в уравнение плоскости Найдем координаты точки В — точки пересечения данной прямой и данной плоскости. Обозначим отношение подставим в уравнение плоскости Составляем уравнение прямой ВК, как уравнение прямой, проходящей через две точки Проекцией прямой на плоскость является прямая пересечения двух плоскостей: данной плоскости и плоскости, которая перпендикулярна данной и проходит через данную прямую. Поэтому для решения задачи достаточно найти уравнение плоскости, содержащей данную прямую и перпендикулярной данной плоскости., Пусть — уравнение искомой плоскости. Тогда из условия перпендикулярности плоскостей получаем уравнение а из условия (4) принадлежности прямой плоскости уравнения 9A — 4В — 7С = 0 и A — В + D = 0. Из полученных уравнений следует: А = -5С, В = -13С, D = -8С. Итак, уравнением плоскости, перпендикулярной данной плоскости и проходящей через данную прямую, будет уравнение Искомая проекция является пересечением найденной плоскости и данной. Следовательно, ее уравнения: http://reshimvse.com/zadacha.php?id=31787 http://razdupli.ru/primer-626
Решаем систему:
<(x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3)
(x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3) = λ ⇒
получим параметрические уравнения прямой
x= λ +2
y= 4λ +3
z=-3 λ +1
(x-2)/5=(y-3)/1=(z+1)/2=t ⇒
получим параметрические уравнения прямой
x=5t+2
y=t+3
z=2t+1Напишите уравнение проекции прямой на плоскость