Квадратные уравнения. Способы решения.
проект по алгебре (8 класс)
Учебный материал представляет разнообразные способы решения квадратных уравнений (в том числе и нестандартные).
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| Учебный материал представляет разнообразные способы решения квадратных уравнений (в том числе и нестандартные). | 327.12 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
гимназия №19 им. Н.З. Поповичевой г. Липецка
Выполнили: Александрова Анастасия
учащиеся 8а класса
Руководитель проекта: Алябьева Елена Анатольевна
- Введение. 2
- Классические способы решения квадратных уравнений………………..3
- Решение квадратных уравнений по формулам. .4
- Графический способ решения квадратного уравнения……………….5
Разложение левой части уравнения на множители………………. …..6
- Нестандартные способы решения квадратных уравнений………………. 8
- Геометрический способ решения квадратных уравнений …….……. 8
- Использование свойств коэффициентов квадратного уравнения……….8
- Выводы………………………………………………. …………. ……….…10
- Заключение………………………………………………………………….…12
- Библиографический список. 13
В прошлом году темой нашего исследования была «Геометрическая алгебра древних греков». В процессе работы мы изучили способ решения квадратных уравнений с использованием метода геометрической алгебры Древней Греции. Задача решения квадратных уравнений заинтересовала нас, и мы решили поподробнее разобраться в этом вопросе уже в этом году. Так и возникла идея нашего проекта.
Актуальность темы «Квадратные уравнения» заключается в том, что она является одной из самых важных в математике. Уравнения – это язык алгебры, квадратные уравнения – это фундамент, на котором построено величественное здание алгебры. Они находят широкое применение в разных разделах математики и применяются в других науках. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения.
В школьном курсе изучаются формулы корней квадратного уравнения, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Это позволило нам выдвинуть гипотезу: существуют методы решения квадратных уравнений без использования формул, изучаемых в школьном курсе алгебры.
Изученные способы решения квадратных уравнений будут применяться и при дальнейшем изучении математики, при решении уравнений, сводящихся к решению квадратных.
Цель проекта: изучить разнообразные способы решения квадратных уравнений (в том числе и нестандартные) и создать сборник «Квадратные уравнения».
- Обобщить и систематизировать имеющийся материал о квадратных уравнениях и способах их решения.
- Изучить дополнительные литературу и источники информации.
- Установить связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения и найти нестандартные приемы решения некоторых квадратных уравнений.
- Систематизировать найденные способы решения квадратных уравнений.
- Разработать дидактический материал.
- Классические способы решения квадратных уравнений
В школе изучаются классические способы решения квадратных уравнений с использованием формул корней квадратных уравнений, теоремы Виета. Также имеются и другие способы решения квадратных уравнений – графический, разложение квадратного трёхчлена на множители, выделение квадрата двучлена, которые также позволяют решать квадратные уравнения.
Квадратным уравнением называют уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где коэффициенты, а, в, с- действительные числа, а ≠ 0.
Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых т.е. коэффициенты в и с отличны от нуля.
Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или/и с равен нулю.
Корнем квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах 2 + вх + с обращается в нуль.
Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет.
Ниже мы рассмотрим классические способы решения квадратных уравнений.
Исследовательская работа на тему»10 способов решения квадратных уравнений»
Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Значимость ее заключается не только в теоретическом значении для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.
Просмотр содержимого документа
«Исследовательская работа на тему»10 способов решения квадратных уравнений»»Муниципальное учреждение «Отдел образования администрации муниципального района Мишкинский район
Муниципальное Бюджетное Общеобразовательное
Учреждение Лицей № 1 им. Флорида Булякова с. Мишкино
Тема: 10 способов решения квадратных уравнений
Выполнила: ученица 9 В класса
МБОУ Лицей № 1 им. Флорида Булякова с. Мишкино
Руководитель: учитель математики
МБОУ Лицей № 1 им. Флорида Булякова с. Мишкино
Алексеева Гузель Фанавиевна
Мишкино 2017 год
Исторические сведения о квадратных уравнениях……………………..стр.4
Определение квадратного уравнения………………………………. стр.7
Способы решения квадратных уравнений…………………………. стр.8
Разложение на множители левой части……………………………. стр.10
Метод выделения полного квадрата…………………………………стр.10
Решение квадратных уравнений по формуле…………………. стр.11
Решение уравнений с использованием теоремы Виета………. стр.11
Решение уравнений способом «переброски»…………………. стр.12
Свойства коэффициентов квадратного уравнения………………….стр.13
Графическое решение квадратного уравнения……………………. стр.13
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки….стр.14
Уменьшение степени уравнения (использование теоремы Безу)….стр.15
Геометрический способ решения квадратных уравнений…………стр.15
Тренировочные задания для отработки различных способов решения квадратных уравнений…………………………………………………. стр.16
Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Значимость ее заключается не только в теоретическом значении для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.
В школьной программе рассматривается только 3 способа их решения. Готовясь к предстоящим экзаменам, я заинтересовался другими способами их этих уравнений. Поэтому я выбрала тему «10 способов решения квадратных уравнений».
Актуальность темы: на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно, и рационально решать квадратные уравнения, что также пригодится и при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов. Плюс выбранная тема мне очень интересна.
Цель работы: выявить способы решения уравнений второй степени и рассмотреть применение данных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах.
1) Проследить историю развития теории и практики решения квадратных уравнений;
2) Описать технологии различных существующих способов решения квадратных уравнений;
3) Выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;
4) Подобрать тренировочные задания для отработки изученных приемов;
5) Провести кружок для одноклассников.
Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить всеми существующими способами.
Объект исследования: квадратные уравнения.
Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.
теоретические: изучение литературы по теме исследования, изучение тематических Интернет-ресурсов;
анализ полученной информации;
сравнение способов решения квадратных уравнений на удобство и рациональность.
Время исследования: с 12 октября 2016 года по 20 декабря 2016 года.
Исторические сведения о квадратных уравнениях.
Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид — при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем, виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Квадратные уравнения в древнем Вавилоне
В математических текстах, выполненных клинописью на глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне также не использовали букв, а приводили решение «типовых» задач, из которых решение аналогичных задач получались заменой числовых данных.
Необходимость решать квадратные уравнения возникла ещё в древности, была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются кроме неполных квадратных уравнений и полные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общее методы решения квадратных уравнений.
Квадратные уравнения у ал-Хорезми
В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений. Основная идея для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-Джабр и ал-Мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с современным решением. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII века., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.
XIII-XVII ввКвадратные уравнения в Европе . Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII в.
Квадратные уравнения в ИНДИИ
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «АРИАБХАТТИАМ», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом АРИБХАТТОЙ. Другой индийский ученый, БРАХМАГУПТА VII век, изложил общее правило решения квадратных уравнений приведенных к единой канонической форме. В уравнении коэффициенты, кроме положительных, могут быть и отрицательными. Правило БРАХМАГУПТЫ по существу совпадает с современным решением. В древней ИНДИИ были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующие: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Одна из задач знаменитого индийского математика XIIв. Бхаскары:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать повисая…
Сколько было обезьянок
Ты скажи мне, в этой стае?
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.
Часть страницы из алгебры Бхаскары (вычисление корней).
2.Определение квадратного уравнения
Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bх+с=0, где коэффициенты а, b, с — любые действительные числа, причем, а≠0. Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а – первый или старший коэффициент; b – второй или коэффициент при х; с – свободный член, свободен от переменной х.
Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.
х²+рх+q=0 – стандартный вид приведенного квадратного уравнения
Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.
Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.
Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.
Корнем квадратного уравнения ах²+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль.
Можно сказать и так: корень квадратного уравнения – это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство (0=0).
Решить квадратное уравнение – найти все его корни или установить, что их нет.
3.Способы решения квадратных уравнений
Сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать.
Индивидуальный проект на тему «Научись решать квадратные уравнения» 8 класс
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАЕТЛЬНАЯ ШКОЛА № 42»
«Научись решать квадратные уравнения»
Автор проекта: Ярина Ольга,
ученица 8 класса МКОУ«СОШ № 42».
Наставник проекта: Кнышова Вера Петровна,
учитель математики МКОУ«СОШ № 42»
1. Способы решения
1.2 Формула четного коэффициента……………………………………………..……..6
1.5 Разложение с использование корней квадратного уравнения……………………10
1.6 Графическое решение квадратных уравнений…………………………………….11
Список используемой литературы………………. …………………………………….14
Квадратные уравнения-это уравнения вида
, причем a ≠0a -1ый коэффициент
b -2ой коэффициент
c — свободный член уравнения
Квадратные уравнения делятся на
1. Полные: имеет два коэффициента и свободный член, отличные от нуля.
– приведенное квадратное уравнение, относится к полным квадратным уравнениям;2. Неполные: один или оба коэффициента равны нулю, кроме коэффициента a . Если коэффициент a будет равен нулю, то такое уравнение не считается квадратным!
Цель: научиться решать квадратные уравнения с помощью перечисленных в проекте способов
- Рассмотреть способы решения квадратных уравнений
- Разобраться в их применении
- Научиться применять на практике
Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты. Другой индийский ученый Брахммагуппта ( VII ) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду аx2 + bx + c = 0 было Сформулировано в Европе лишь в 1544 Году немецким математиком Михаэлем Штифелем.
1. Способы решения
Дискриминант- D (определитель)
D ‹󠇕0 – нет корней
Пример решения квадратного уравнения
Неполное квадратное уравнение не рекомендуется решать формулой дискриминанта, т.к. другими способами они решаются проще.
Полное квадратное уравнение:
D = b 2 -4 ac ; D =(-7) 2 -4*3*(-8)=49-96=-47 – нет корней, Д –отрицательно
Ответ: данное уравнение не имеет корней.
1.2 Формула четного коэффициента
Пример решения квадратного уравнения
Неполное квадратное уравнение не рекомендуется решать формулой формулой четного коэффициента.
Полное квадратное уравнение:
1.3 Теорема Виета
Прямая теорема Виета
Если
— корни уравнения, то числа , Обратная теорема Виета
Если числа
, b связаны равенствами:то
— корни уравнения.Пример решения квадратного уравнения прямой теоремой Виета
Неполное квадратное уравнение:
Полное квадратное уравнение:
1.3.1 Биография Виета
По образованию Виет был юристом. Виет мог просиживать по трое суток подряд за столом, только иногда забываясь сном на несколько минут. Свободное время он посвящал астрономии. Занятия астрономией требовали знаний алгебры и тригонометрии. Виет занялся этими науками и вскоре пришел к выводу о необходимости их усовершенствования, над чем и проработал ряд лет. Вскоре он смог добиться успеха и стал Французским математиком. Он ввел в алгебру буквенные обозначения, до него в математике не было формул. Разработал почти всю элементарную алгебру.
1.4 Метод коэффициентов
Если
Если
Пример решения квадратного уравнения
Полное квадратное уравнение:
Ответ:
.1.5 Разложение квадратного трехчлена на множители с использованием корней квадратного уравнения
Этот способ в основном используется для решения задач. Для решения отдельных примеров (квадратных уравнений) этот способ применяю реже.
Пример решения квадратного уравнения
Полное квадратное уравнение:
Корни находят по формуле дискриминанта.
1.6 Графическое решение квадратных равнений
1)Разделим квадратный трехчлен на две части и введем функции
1) Построим графики полученных функций
2) Найдем точки пересечения графиков функций
3) Абсциссы точек пересечения являются корнями данного уравнения
Пример решения квадратного уравнения графическим способом:
Неполное квадратное уравнение:
— одна точка пересечения.Полное квадратное уравнение:
— точек пересечения нет!Ответ: корней уравнения нет.
В ходе исследования, выяснилось, что существует множество способов решения квадратных уравнений. Здесь я, перечислив многие способы нахождения корня, постаралась более доступно изложить интересные факты и известную Вам информацию о квадратных уравнениях и их истории.
В ходе написания работы я применила все способы на практике.
Изучив несколько способов решения квадратных уравнений, я считаю, что при решении важно правильно выбрать рациональный способ решения и применить соответствующий алгоритм.
Список используемой литературы
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Дистанционные курсы для педагогов
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 569 270 материалов в базе
Другие материалы
- 21.06.2021
- 86
- 2
- 21.06.2021
- 143
- 18
- 21.06.2021
- 443
- 103
- 21.06.2021
- 153
- 1
- 21.06.2021
- 241
- 25
- 21.06.2021
- 64
- 0
- 21.06.2021
- 299
- 7
- 21.06.2021
- 147
- 11
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
- 21.06.2021 125
- DOCX 3.3 мбайт
- 5 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Кнышова Вера Петровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
- На сайте: 6 лет и 2 месяца
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 7588
- Всего материалов: 19
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагоговДистанционные курсы
для педагогов663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ
Время чтения: 0 минут
Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга
Время чтения: 1 минута
В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы
Время чтения: 1 минута
В России могут объявить Десятилетие науки и технологий
Время чтения: 1 минута
В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов
Время чтения: 1 минута
Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения
Время чтения: 3 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
источники:http://multiurok.ru/files/issliedovatiel-skaia-rabota-na-tiemu-10-sposobov-r.html
http://infourok.ru/individualnyj-proekt-na-temu-nauchis-reshat-kvadratnye-uravneniya-8-klass-5243141.html
, причем a ≠0
— корни уравнения, то числа 
связаны равенствами:
.
— одна точка пересечения.
— точек пересечения нет!
