Научно исследовательская работа по теме уравнения

Научно-исследовательская работа на тему: «Уравнения высших степеней и способы их решения»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Научно-исследовательская работа « Уравнения высших степеней и способы их решения » в ыполнил: Додыченко Степан у ченик 9 «Б» класса МБОУ Усть-Элегестинской СОШ р уководитель: Ильина Н.А., учитель математики

Актуальность выбранной темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением различных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать уравнения, что также пригодится и при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.

Цель работы: изучить уравнения высшей степени и различные способы их решения. Задачи: рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения уравнений высшей степени ; выявить наиболее удобные способы решения ; научиться решать уравнения высшей степени различными способами.

Объект исследования: уравнения высшей степени . Предмет исследования: способы решения уравнений высшей степени. Методы исследования: теоретические : изучение литературы по теме исследования, изучение тематических Интернет-ресурсов ; анализ полученной информации ; сравнение способов решения уравнений на удобство и рациональность.

Уравнения высшей степени и способы их решения Уравнение – это математическое выражение, являющееся равенством, содержащее неизвестное . Уравнение вида: называется уравнением n -ой степени .

Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй. Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю. Так, например, уравнение (х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х 5 – 2х 3 + 3 = 0 пятой степени.

Способы решения уравнений высших степеней 1. Введение новой переменной Метод введения новой переменной заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = x n или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни: (t 1 , t 2 , …, t n ). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n , из которых находят корни исходного уравнения.

Пример (х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 — 3x – 1 = 0. Решение: (х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 — 3x – 1 = 0. (х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0. Замена (х 2 + х + 1) = t. t 2 – 3t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = 1. Обратная замена: х 2 + х + 1 = 2 или х 2 + х + 1 = 1; х 2 + х — 1 = 0 или х 2 + х = 0; Из первого уравнения: х 1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.

Метод введения новой переменной находит применение при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида а 0 х n + а 1 х n – 1 + .. + а n – 1 х + а n =0, в котором коэффициенты членов уравнения, одинаково отстоящих от начала и конца, равны.

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

3. Разложение на множители методом неопределенных коэффициентов

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

5. Графический метод. Данный метод состоит в построении графиков и использовании свойств функций. Решение:

– кубическая парабола сдвинута в вниз на 45 единиц -парабола ветвями в вниз, сдвинута по оси OX вправо на 0,9 единиц и по OY вверх 0,81 единиц

6.Умножение уравнения на функцию. Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию – многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней – корней многочлена, на который умножили уравнение.

Пример Решить уравнение: X 8 – X 6 + X 4 – X 2 + 1 = 0. (1) Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен Х 2 + 1, не имеющий корней, получим уравнение: (Х 2 +1) (Х 8 – Х 6 + Х 4 – Х 2 + 1) = 0 (2) равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде: Х 10 + 1= 0 (3) Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому уравнение (1) их не имеет. Ответ: нет решений.

Так же этим способом можно решать уравнения вида , где a ≠ 0, d ≠ 0, c ≠ a , a ( c — a ) = d ( b — d ). Тогда умножение этого уравнения на многочлен получим симметрическое уравнение четной степени, среди корней которого содержится и корень Отметим, что этот корень может быть посторонним корнем для уравнения.

Заключение Кроме названных методов решения уравнений высших степеней существуют и другие. Из общих методов решения уравнений высших степеней, которые встречаются чаще всего, используют: метод разложения левой части уравнения на множители; метод замены переменной (метод введения новой переменной); графический способ.

Научно-исследовательская работа по теме: « Уравнения высших степеней»

Практика олимпиад, выпускных и вступительных экзаменов по математике показывает, что довольно часто приходится сталкиваться с уравнениями высших степеней. Решение таких уравнений зачастую вызывает большие трудности. Не все уравнения удается решить. В школьных учебниках уравнение высшей степени – редкость. В данной работе представлены методы решения указанных уравнений.

Цели работы: Узнать какие методы решения высших степеней существуют; Научиться решать уравнения высших степеней различными способами.

Задачи:

1.Подобрать необходимую литературу

2.Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

3.Проанализировать и систематизировать полученную информацию

4.Найти различные методы и приёмы решения уравнений высших степеней

5.Классифицировать исследуемые уравнения

6.Оформить работу в виде буклета

7.Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала

Объект исследования: уравнения высших степеней

Просмотр содержимого документа
«Научно-исследовательская работа по теме: « Уравнения высших степеней»»

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Богучарская средняя общеобразовательная школа № 1»

по теме: « Уравнения высших степеней»

Автор: Жуковская Татьяна Владимировна , 9 «Б» класс

Руководитель: Алабина Галина Юрьевна

Великие учёные, изучавшие уравнения высших степеней….……. 6

Виды уравнений высших степеней………………………………………. ….9

Методы решения высших степеней……………….………………..…………9

Решение уравнений разными способами..………………….……………. 10

Решение уравнений высших степеней – история полная драматизма, разочарования и радости открытия. В течение почти 700 лет математики разных стран пытались найти приёмы решения уравнений третьей, четвёртой и более высоких степеней.

Только в 11 веке таджикский поэт и ученый Омар Хаям впервые решил уравнение III степени. Установить, существует ли формула для нахождения корней любого уравнения, пытались многие. В конце 18 века французский ученый Луи Лагранж пытался доказать невозможность алгоритма общих уравнений, а вначале 19 века француз Галуа развил идею Лагранжа.

С тех пор математика пошла другим путем. Ученые стали искать другие методы решения уравнений высших степеней.

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Практика олимпиад, выпускных и вступительных экзаменов по математике показывает, что довольно часто приходится сталкиваться с уравнениями высших степеней. Решение таких уравнений зачастую вызывает большие трудности. Не все уравнения удается решить. В школьных учебниках уравнение высшей степени – редкость. Поэтому я выбрала эту тему для своей исследовательской работы.

Цели работы: Узнать какие методы решения высших степеней существуют; Научиться решать уравнения высших степеней различными способами.

1.Подобрать необходимую литературу

2.Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

3.Проанализировать и систематизировать полученную информацию

4.Найти различные методы и приёмы решения уравнений высших степеней

5.Классифицировать исследуемые уравнения

6.Оформить работу в виде буклета

7.Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала

Объект исследования: уравнения высших степеней

Методы исследования: изучение и анализ литературы, сравнение, обобщение, практический метод

Результат исследования: Я научилась решать возвратные и однородные уравнения,а также изучила теорему Безу и схему Горнера.

Гипотеза:Существует много различных видов и методов решения уравнений высших степеней, о которых не рассказывается в школьной программе 9 класса.

Великие учёные, изучавшие уравнения высших степеней

Омар Хайям (ок. 1048- ок. 1123)

Описал всевозможные виды уравнений третьей степени и рассмотрел сложные и красивые способы геометрических построений для отыскания их решения.

Никколо Тарталья (1499-1557)

Он вывел формулы для решения уравнений 3-ей степени, но своё открытие держал в тайне.

Обращался к Тарталье с просьбой сообщить ему формулу для решения кубических уравнений и обещал хранить её в секрете. Он не сдержал слово и опубликовал формулу, указав, что Тарталье принадлежит честь открытия «такого прекрасного и удивительного, превосходящего все таланты человеческого духа».

Нильс Хенрик Абель (1802-1829)

В 1826 году доказал, что нельзя вывести формулы для решения уравнений пятой степени и выше.

Этьен Безу (1730-1783)

Французский математик, член Парижской академии наук. Преподавал математику в Училище гардемаринов в 1763 и Королевском артиллерийском корпусе в 1768. Основные его работы относятся к алгебре (исследование систем алгебраических уравнений высших степеней, исключение неизвестных в таких системах и др.) Является автором шеститомного «Курса математики» (1764-1769).

Уильям Джордж Горнер (1786 – 1837)

Английский математик. Основные труды по теории алгебраических уравнений. С его именем связана (1819) схема Горнера деления многочлена на двучлен .

Виды уравнений высших степеней

Уравнения третьей степени

Уравнения четвёртой степени

Уравнения пятой степени

Способы решения уравнений высших степеней

Разложение многочлена на множители:

По формулам сокращенного умножения

По теореме Безу

Метод введения новой переменной

Данный способ применяют к многочленам, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена. Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно: Объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена. Вынести этот общий множитель за скобки.

Примеры решения уравнений способом группировки:

x-5=0 или x-4=0 или x+4=0

x-2=0 или x+2=0 или x-3=0

По формулам сокращенного умножения

1. Квадрат суммы: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности: (a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

3. Разность квадратов: а 2 — b 2 = (a — b) (a + b)

4. Куб суммы: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности: (a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

6. Сумма кубов: a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 — ab + b 2 )

7. Разность кубов: a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2 )

Примеры решения уравнений с помощью формул сокращённого умножения:

x=1 D=16-64=-48-корней нет

+18a⁴+108a²+216=0

Научно — исследовательская работа по математике на тему «Различные способы решения квадратных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя школа №12

городского округа город Выкса Нижегородской области

Различные способы решения квадратных уравнений

Естественно – научное отделение

Ученица 9 класса

Беспалова Галина Алексеевна

городской округ г. Выкса

Глава 1. Обзор литературы

1.1 История развития квадратных уравнений……………………………. 6

1.1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне……………………………. 6

1.1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения…………………6

1.1.3 Квадратные уравнения в Индии……………………………………………7

1.1.4 Квадратные уравнения ал- Хорезми ……………………………………. 8

1.1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII в.в………………. 9

Глава 2. Материалы и методы исследования

Способы решения квадратных уравнений ………………………. 12

Разложение левой части уравнения на множители………………. 12

Метод выделения полного квадрата.……………………….……. 13

Решение квадратных уравнений по формулам …………………..…… 13

Решение уравнений с использованием теоремы Виета……………. 14

2.1.5 Решение уравнений способом «переброски»…………………………. 16

2.1.6 Свойства коэффициентов квадратного уравнения……………………. 17

2.1.7 Графическое решение квадратного уравнения……………………..…. 17

2.1.8 Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки……. 19

2.1.9 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы…………….21

2.1.10 Геометрический способ решения квадратных уравнений……………..22

2.2. Исследование. Решение квадратных уравнений учащимися 9,11 классов……………………………………………………………………………23

Глава 3. Результаты и их обсуждения…………………………………………..24

Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.

Изучив решение квадратных уравнений, мне захотелось узнать, можно ли еще другими способами решить уравнение и в дальнейшем использовать различные способы при решении уравнений.

Цель работы : изучить способы решения квадратного уравнения, которые мы не изучаем на уроке. Научиться использовать эти способы.

Для достижения поставленной цели были намечены следующие задачи:

Изучить историю развития квадратных уравнений.

Найти информацию о способах решения квадратного уравнения.

Решить квадратное уравнение различными способами и выяснить, какой способ удобен для решения этого уравнения.

При решении сформулированных задач была изучена специальная литература, собрана информация статистических данных для последующего использования в работе, проведено исследование по решению квадратного уравнения учащимися 9 и 11 классов с целью выявления различных способов решения квадратного уравнения.

Результаты исследований показали, что учащиеся используют при решении квадратных уравнений методы, изученные по школьной программе.

Я считаю эту тему актуальной, т. к. она может пригодиться нам не только во время обучения в школе, а впоследствии и в ВУЗе, и на протяжении всей жизни.

Описание новизны и практической значимости : решение одного квадратного уравнения несколькими способами и выбор более рационального способа.

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»

Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.

В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомились с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатывали их решение по формулам. У меня возник вопрос «Существуют ли другие способы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные способы и можно ли ими пользоваться на практике?» Поэтому я выбрала тему исследования, связанную с квадратными уравнениями, в ходе работы она получила название «Различные способы решения квадратных уравнений». Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 10-11 классах, и при сдаче ОГЭ и ЕГЭ.

Цель работы: изучить различные способы решения квадратных уравнений, научиться применять их при решении и выбрать наиболее рациональныйспособ решения.

Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:

— изучить историю развития квадратных уравнений;

— рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;

— выявить наиболее рациональные способы решения квадратных уравнений;

— научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Объект исследования : квадратные уравнения.

Предмет исследования : способы решения квадратных уравнений.

Теоретические: изучение литературы по теме исследования;

Анализ: информации, полученной при изучении литературы; результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.

Сравнение: способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.

Гипотеза: существуют различные рациональные способы решения квадратных уравнений

Глава 1. Обзор литературы.

1.1 История развития квадратных уравнений .

1.1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне .

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.1.2 Квадратные уравнения в Греции или как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х , другое же меньше, т.е. 10 — х . Разность между ними 2х .

Отсюда х = 2 . Одно из искомых чисел равно 12 , другое 8 . Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

1.1.3 Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхатой. Другой индийский ученый, Брахмагупта ( VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах 2 + b х = с, а> 0.(1)

В уравнении (1) коэффициенты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

« Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис.).

Соответствующее задаче уравнение:

Бхаскара пишет под видом: х 2 — 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого

уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем: х 2 — 64х + 32 2 = -768 + 1024,

1.1.4 Квадратные уравнения ал — Хорезми.

В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = b х.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = b х.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал — мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с современным решением. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача . «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень»

(подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

1.1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII в.в.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из

« Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII .

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х 2 + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.1.6. О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D , умноженное на A — A 2 , равно BD , то A равно В и равно D ».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х ), гласные же В, D — коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.