Наука о решении уравнений это

Наука о решении уравнений это

Алгебра − часть математики, принадлежащая, наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших разделов этой науки. Алгебра изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями. В отличие от арифметики, эти величины обозначаются буквами, а не цифрами. В этом смысле уровень абстракции в алгебре выше, чем в арифметике, так как, по сути, в алгебре формируются обозначения, позволяющие записать свойства действий над числами в краткой форме, удобной для построения исчисления над буквенными выражениями.

Таким образом, алгебра отделилась от арифметики: алгебра, пользуясь буквенными обозначениями, изучает общие свойства числовых систем и общие методы решения задач при помощи уравнений; арифметика занимается приёмами вычислений с конкретными числами. В этом смысле алгебра является обобщением арифметики и потому описывает реальные факты на абстрактном универсальном языке.

Выработка абстрактных алгебраических понятий явилась результатом длительного исторического процесса накопления алгебраических фактов. Первоначальное установление законов алгебры происходило экспериментальным путём на огромном числе частных примеров. Правила, полученные в этих частных случаях, обобщались на другие случаи. Так, например, поступали древние египтяне и вавилоняне, которым удалось разработать множество частных подходов к решению некоторых уравнений, в числе которых были даже уравнения третьей степени.

В средние века алгебра развивалась как наука о решении уравнений, особенно в трудах восточных математиков. Да и само название «алгебра» пошло от названия трактата IX века узбекского математика и астронома Мухаммеда аль-Хорезми «Китаб аль-джебр валь-мукабала», где он дал общие правила для решения уравнений первой степени. Слово «аль-джебр» (восстановление), от которого алгебра получила своё название, означало перенос отрицательных членов уравнения из одной его части в другую с изменением знака.

Первым математическим достижением после открытий древних греков стало получение общей формулы для решения кубического уравнения. После этого вскоре была получена общая формула для решения уравнения четвертой степени, и наука алгебра стала активно развиваться. Ключевым был вопрос о разрешимости любого уравнения. На этом пути, в частности, возникло понятие комплексного числа. В начале XIX века вопрос о разрешимости произвольных уравнений был решён отрицательно, а именно, оказалось, что уравнения степени выше четвёртой в общем случае не имеют решений, выражающихся явно через коэффициенты уравнения. Значимость этого доказательства, принадлежащего великому норвежскому математику Н. Х. Абелю настолько высока, что оно позволило алгебре развиваться сразу в нескольких направлениях.

Сейчас алгебра как наука значительно расширилась и усложнилась. Однако элементарная алгебра по-прежнему, как и во времена древних египтян, является наилучшим тренажёром для развития мышления. Надеемся, этот курс поможет вам в этом. Наверняка вы уже знакомы со структурой курсов компании «Физикон», однако в этом курсе в отличие от других задачи с решениями помещены непосредственно в тексте теории.

Доклад по алгебре Наука о решении уравнений

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №16 с углубленным изучением отдельных предметов»

Наука о решении уравнений

Автор: ученица 10 «А» класса

Руководитель: учитель математики

Содержание

Истоки алгебры.. 4

Древний Египет. 4

Древний Вавилон. 5

Древняя Греция. 6

Выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики. 7

Мухаммад ибн Муса Хорезми. 7

Седьмая операция. 8

Математический турнир. 9

Антонио Марио Фиоре. 9

Гибрид из мира идей. 10

Кубические уравнения. 10

Список использованной литературы.. 12

Цели работы

I. Рассмотреть алгебру как науку о решении уравнений;

II. Рассмотреть решение уравнений на протяжении с Древних времён до наших дней;

III. Рассмотреть формулы записи алгебраических уравнений.

Истоки алгебры

Древний Египет

1. Древние египтяне излагали свои алгебраические познания в числовой форме;

2. Решали задачи практического содержания:

b) Объём сосудов;

c) Количество зерна и т. д.

Все задачи были с конкретными числовыми данными.

Задача из папируса Кахуна

X:Y=1: »

В папирусе эта задача решена методом «ложного положения».

Если положить x=1, то y= и x²+y²=

Но по условию задачи x²+y²=10², следовательно, в качестве x надо брать не 1, а 10: =8. Тогда y=6.

Древний Вавилон

В Древнем Вавилоне решались уравнения первой, второй и даже отдельные уравнения третьей степени;

I. Эти достижения нельзя назвать наукой;

II. Все задачи излагались в словесной форме;

III. Вавилоняне владели и общими правилами происхождения корней уравнения первой и второй степени.

Рассмотрим задачу из клинописной таблички:

«Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870»

«Ты берешь 1, число. Делишь пополам 1 , это ½. Умножаешь ½ на ½, это ¼. Ты складываешь (это) с 870, и это есть , что является квадратом для . Ты складываешь½ , которую ты умножал, с

получаешь 30, сторона квадрата»

(Все числа в табличке записаны в 60-ричной системе счисления)

Древняя Греция

У древних греков вся математика приобрела геометрическую форму.

Например: Соотношение (а+b)²=a²+2ab+b², в «Началах» Евклида формулируется так: «Если отрезок АВ разделён точкой С на два отрезка, то квадрат, построенный на АВ, равен двум квадратам на отрезках АС и СВ вместе с удвоенным прямоугольником на АС и СВ».

Вывод: Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Поэтому найти неизвестное для них означало построить искомый отрезок.

Выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики

ü Произошло в арабских странах;

ü В Багдаде создаются хорошие условия для работы ученых;

ü Открывается множество библиотек;

ü Построен Дом мудрости;

ü Усердно изучаются труды древнегреческих авторов и достижения индийских учёных

Мухаммад ибн Муса Хорезми

1) В арифметическом трактате он изложил «индийское исчисление», открыв тем самым для арабов десятичную систему счисления.

2) наиболее значительным является его трактат по алгебре. Здесь ал-Хорезми, по-видимому, впервые разработал правила преобразования уравнений. Уравнения у него, конечно, были с числовыми коэффициентами и выражались в словесной форме.

3) ал-Хорезми показывает способы решения основных типов линейных и квадратных уравнений. Квадратные уравнения различались по типу не в зависимости от знака дискриминанта, как сейчас

4) В греческих традициях ал-Хорезми строго геометрически обосновывает свои способы. Любое другое уравнение должно было быть преобразовано к одному из рассмотренных видов с помощью 2-ух операций: восполнение и противопоставление

Седьмая операция

Если начать счет, как в средние века, с нумерации, то седьмая операция над числами после четырех арифметических действий и возведения в степень – это извлечение корня.

I. Отличается от остальных шести неприятной особенностью — не всегда выполняется;

II. Извлечение квадратных и кубических корней всегда имеет наглядный смысл;

III. Ответ не всегда выражается натуральными или рациональными числами;

IV. Разрабатывалась специальная техника работы с корнями.

Теэтет

В решении первой задачи значительных успехов достиг древнегреческий философ и математик Теэтет.

Теэтет жил в Афинах, был членом академии Платона. Вслед за Феодором из Кирены (V в. До н. э.),доказавшими иррациональность квадратных корней из чисел 3,5,6,…,17.

Ø Теэтет доказал это утверждение относительно корней из любых натуральных чисел, не являющихся целыми квадратами;

Ø Изучал различные выражения, которые можно составить из натуральных чисел с помощью арифметических операций и извлечения квадратного корня;

Ø Исследования Теэтета были облечены в геометрическую форму.

Ø Теэтет рассматривал выражения вида:

Математический турнир

В феврале 1535 года жители итальянского города Болоньи оказались свидетелями необычного зрелища. К зданию Болонского университета направлялись торжественные процессии с герольдами и знаменами. Студенты и профессора, ученые-монахи и пышно одетые дворяне стремились поскорее занять места в аудитории – ведь в университете должен был состояться турнир! Состязаться собирались математики.

v В то время ученые часто соревновались в решении трудных задач;

v От исхода этих состязаний зависела научная репутация и право занимать кафедру;

v Каждый университет старался заполучить к себе победителей таких турниров.

Антонио Марио Фиоре

Болонцы надеялись на победу своего «бойца»-Антонио Марио Фиоре.

Сам Фиоре не слишком славился своими математическими открытиями;

Ø Фиоре был одним из ближайших учеников известного алгебраиста Сцепиона дель Ферро(),который перед смертью открыл ему великую тайну – правило решения кубического уравнения;

v С тех пор он побеждал очень легко – он давал своим противникам задачи, сводящиеся к кубическим уравнениям.

v Соперники сдавались без боя.

Гибрид из мира идей

Общие методы решения уравнений 3-й и 4-й степеней стали первыми математическими результатами нового времени после многовекового застоя. А неприводимый случай для кубического уравнения привлек внимание ученых к квадратным корням из отрицательных чисел

Ø С такими корнями математики сталкивались не впервые — ведь они часто возникают при решении квадратных уравнений;

Ø От этой ситуации античные математики были защищены диоризмами – так в Древней Греции называли ограничения, накладываемые на условия задачи;

От квадратных корней из отрицательных чисел можно было «отмахнуться»: если они вдруг появлялись, значит, коэффициенты шагнули через границу дозволенной области и уравнение просто не имеет корней (действительных).

Кубические уравнения

Но для кубических уравнений такие рассуждения не проходят.

q В неприводимом случае решение по формуле Кордано – Тартальи содержит квадратный корень из отрицательного числа, тем не менее, уравнение имеет корни — полный набор, и все действительные;

q Складывалась какая-то непостижимая связь между действительными числами и удивительными корнями из отрицательных чисел;

q Эту связь пытался понять Тарталья, над ней размышлял и Кардано;

q В своем «Великом искусстве» Кардано привел задачу, но соответствующая этой задаче система уравнений не имеет действительных решений. Кардано назвал её корни софистическими.

Вывод

Итак, цели алгебры оставались неизменными на протяжении тысячелетий – решались уравнения: сначала линейные, потом квадратные, затем кубические, а там и уравнения еще больших степеней. Но форма, в которой излагались алгебраические результаты, менялись до неузнаваемости.

Список использованной литературы

1. Полная энциклопедия школьника. 5-11 класс. Курс подготовки к ЕГЭ: том2.// Под редакцией д-ра пед. наук, проф. , проф. — СПб.: ИГ «Весь»,2005

2. Виленкин, Шибасов, Шибасова: За страницами учебника математики: арифметика. Алгебра: пособие для учащихся 10-11 классов

А́ЛГЕБРА

В книжной версии

Том 1. Москва, 2005, стр. 415

Скопировать библиографическую ссылку:

А́ЛГЕБРА [ср.-век. лат. al­geb­ra, от араб. аль-джебр, аль-джабр – вос­со­е­ди­не­ние (от­дель­ных ча­стей урав­не­ния)], раз­дел ма­те­ма­ти­ки, при­над­ле­жа­щий, на­ря­ду с ариф­ме­ти­кой и гео­мет­ри­ей, к чис­лу ста­рей­ших вет­вей этой нау­ки; она изу­ча­ет опе­ра­ции над ма­те­ма­тич. объ­ек­та­ми и влия­ет на фор­ми­ро­ва­ние об­щих по­нятий и ме­то­дов ма­те­ма­ти­ки. За­да­чи и ме­то­ды А. за­клю­ча­лись пер­во­на­чаль­но в со­став­ле­нии и ре­ше­нии урав­не­ний. В свя­зи с ис­сле­до­ва­ния­ми урав­не­ний раз­ви­ва­лось по­ня­тие чис­ла, бы­ли вве­де­ны от­ри­ца­тель­ные, ра­ци­о­наль­ные, ир­ра­цио­наль­ные и ком­плекс­ные чис­ла; об­щее ис­сле­до­ва­ние свойств этих чи­сло­вых сис­тем от­но­сит­ся к А. В ал­геб­ре сфор­ми­ро­ва­лись бу­к­вен­ные обо­зна­че­ния, по­зво­лив­шие за­пи­сать свой­ст­ва дей­ст­вий над чис­ла­ми в фор­ме, не со­дер­жа­щей кон­крет­ных чи­сел. Пре­об­ра­зо­ва­ния по оп­ре­де­лён­ным пра­ви­лам (свя­зан­ным со свой­ст­ва­ми дей­ст­вий) бу­к­вен­ных вы­ра­же­ний со­став­ля­ет ап­па­рат клас­сич. А. Раз­ви­тие А. ока­за­ло боль­шое влия­ние на раз­ви­тие но­вых об­лас­тей ма­те­ма­ти­ки, в ча­ст­но­сти ма­те­ма­тич. ана­ли­за, диф­фе­рен­ци­аль­но­го и ин­те­граль­но­го ис­чис­ле­ния. При­ме­не­ние А. воз­мож­но всю­ду, где при­хо­дит­ся иметь де­ло с опе­ра­ция­ми, ана­ло­гич­ны­ми сло­же­нию и ум­но­же­нию чи­сел. Эти опе­ра­ции мо­гут про­из­во­дить­ся над объ­ек­та­ми са­мой раз­лич­ной при­ро­ды. Наи­бо­лее из­вест­ным при­ме­ром та­ко­го рас­ши­рен­но­го при­ме­не­ния ал­геб­ра­ич. ме­то­дов яв­ля­ет­ся век­тор­ная ал­геб­ра (см. Ли­ней­ная ал­геб­ра ) и её даль­ней­шее обоб­ще­ние – тен­зор­ная ал­геб­ра (см. Тен­зор­ное ис­чис­ле­ние ), став­шая од­ним из важ­ных средств совр. фи­зи­ки.