Найди значение параметра а при которых уравнение

Найди значение параметра а при которых уравнение

Задание C5 (ЕГЭ-2014)

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $$(x+\frac<1>)^2-(a+9)(x+\frac<1>)+2a(9-a)=0$$ имеет ровно четыре решения.

Решение

Сделаем замену: $$t=x+\frac<1>.$$ Тогда уравнение перепишется в виде:

Для того, чтобы исходное уравнение имело 4 решения, нужно, чтобы данное уравнение имело 2 корня, то есть, чтобы дискриминант был больше 0.

D>0, значит $$a\not=3.$$

Найдем корни уравнения:

Возможны два случая раскрытия модуля.

1) Пусть a>3. Тогда $$|a-3|=a-3.$$

Возвращаясь к замене, получим: $$x+\frac<1> = 2a,

Каждое из этих уравнений должно иметь 2 корня. Рассмотрим отдельно каждое уравнение:

Для того, чтобы это уравнение имело 2 корня, нужно, чтобы дискриминант D был больше 0.

$$a^2-4>0,$$ откуда следует, что $$a \in (-\infty;-2);(2;\infty).$$

Аналогично рассмарриваем второе уравнение: $$x+\frac<1> = 9-a.$$

$$D = 81-4(-a^2+9a+1) = 4a^2-36a+77>0, $$

откуда, решая неравенство, получаем: $$a \in (-\infty;7/2);(11/2;\infty).$$

Итак, в 1-ом случае получаем систему условий:

$$\begina>3, \\ a \in (-\infty;-2);(2;\infty), \\ a \in (-\infty;7/2);(11/2;\infty) \end$$

Решая систему, получим: $$a \in (3;7/2);(11/2;\infty).$$

Так как корни получили такие же, как и в 1-ом случае, то система будет аналогичной, только первое неравенство имеет другой вид:

Откуда получаем: $$a \in (-\infty;-2);(2;3).$$

Объединяя два ответа, получаем итоговое решение: $$a \in (-\infty;-2);(2;3);(3;7/2);(11/2;\infty).$$

Решение задачи 17. Вариант 362

Найдите все значения параметра, а, при каждом из которых уравнение:

имеет ровно 2 корня, хотя бы один из которых не менее 0,5.

Если ​ \( (10+5a)=0 \) ​, то ​ \( t=\frac<1> <10>\) ​, это нам не подходит, т.к нам нужно 2 корня

Чтобы было 2 корня, нужно потребовать ​ \( D>0 \) ​

Теперь хотя бы один корень >=0,5

Здесь легче рассмотреть противоположную задачу

​ \( f(t)=(10+5a)t^2-5at-1 \) ​ — парабола, ветви вниз

Отсюда и получаем

Но т.к мы рассматривали противоположную задачу, то

Квадратные уравнения с параметром

Уравнение называется квадратным, если имеет вид \(ax^2+bx+c=0,\) где \(a,b,c\) — любые числа \((a≠0)\). При этом надо быть внимательным, если \(a=0\), то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при \(x^2\) и рассматривать 2 случая: \(a=0\) (линейное уравнение); \(a≠0\) (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

Исследование квадратного многочлена

Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:

• Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа \(γ\): \(x_1≤x_2 0)\); ветки параболы направлены вниз \((a 0\). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число \(γ\) должно по условию лежать вне отрезка \((x_1,x_2)\), то \(f(γ)>0\).
• \(a 0\). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа \(γ\).

В итоге получаем:

если \(a*f(γ) 0\), то \(γ∉(x_1,x_2)\).

Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа \(γ\). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы \(x_0\) относительно \(γ\). Заметим, что вершина лежит между точками \(x_1\) и \(x_2\). Если \(x_0 0, \\x_0

При каких значениях параметра a уравнение $$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$ имеет более одного корня?

1 случай: Если \(a(a+3)=0\), то уравнение будет линейным. При \(a=0\) исходное уравнение превращается в \(6x-9=0\), корень которого \(x=1,5\). Таким образом, при \(a=0\) уравнение имеет один корень.
При \(a=-3\) получаем \(0*x^2+0*x-0=0\), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.

2 случай: Если \(a≠0; a≠-3\), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня: $$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-\frac<1><3>.$$ С учетом \(a≠0;\) \(a≠-3\), получим, что уравнение имеет два корня при \(a∈(-\frac<1><3>;0)∪(0;+∞)\). Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):

Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения $$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$ принадлежат отрезку \([-2;2]\).

1 случай: Если \(a=-1\), то \(0*x^2-x+1-1=0\) отсюда \(x=0\). Это решение принадлежит \([-2;2]\).

2 случай: При \(a≠-1\), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат \([-2;2]\). Для решения введем функцию \(f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1\) и запишем систему, которая задает требуемые условия:

Подставляем полученные выражения в систему: